SỞ GD & ĐT GIA LAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TP
LỚP 9 NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1(3 điểm).Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự
nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau lớn hơn 2019.
Câu 2(5 điểm).
1. Chứng minh A  3n3  15n chia hết cho 18 với mọi n
2. Một đoàn học sinh đi tham quan quãng trƣờng Đại Đoàn Kết Tỉnh Gia Lai .Nếu
mỗi ô tô chở 12 ngƣời thì thừa 1 ngƣời. Nếu bớt 1 ô tô thì số học sinh của đoàn chia
dều đƣợc cho các ô tô còn lại . Hỏi có bao nhiêu học sinh đi tham quan và có bao
nhiêu ô tô ? Biết rằng các ô tô chở không quá 16 ngƣời.
Câu 3(6 điểm).
1.Một cây nến hình lăng trụ đứng đáy lục giác đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy
lần lƣợt là 20cm và 1cm. Ngƣời ta xếp cây nến vào trong một cái hộp có dạng hình
hộp chữ nhật sao cho cây nến nằm khít trong hộp tính thể tích cái hộp
2.Cho đƣờng tròn (O;R) và điểm I cố định nằm bên trong đƣờng tròn (I khác A), qua
điểm I dựng hai cung bất kỳ AB và CD. Gọi M,N,P,Q lần lƣợt là trung điểm của IA,
IB, IC, ID.
a)Chứng minh bốn điểm M,N,P,Q cùng thuộc 1 đƣờng tròn.
b)Giả sử các dây cung AB và CD thay đổi nhƣng luôn luôn vuông góc nhau tại I.
Xác định vị trí các dây cung AB và CD sao cho tứ giác MNPQ có diện tích lớn nhất.
Câu 4(4 điểm).

 x  1  4  2 y  5  2 y  ( x  1) 2  5
1.Giải hệ phƣơng trình 

13
dƣơng).Ta có
. Để (3) dƣơng thì a-1 là ƣớc của 13 nên chỉ

 12 
a 1
a 1
a 1

Thay (1) vào (2) và ta có mỗi xe chở

xảy ra hai trƣờng hợp là a =2 hoặc a=14 .
Khi a=2 thì b=25 khi đó (3) có giá trị là 25 >16 nên loại .
Khi a=14 thì b=169 khi đó (3) có giá trị là 13
0

1
1 MN 2  PQ 2 1 AB 2  CD2
MN .PQ  .
 .
tại I thì
.Tứ giác MNPQ có diện tích lớn
2
2
2
2
8
2
2
1 AB  CD
nhất là .
khi I trùng với O.
2
8
SMPNQ 

Câu 4(4 điểm).
1.Ta có điều kiện x  1; y  2 .Ta có
 x  1  4  2 y  5  2 y  ( x  1) 2  5
 x  1  4  2 y  5  2 y  ( x  1) 2  5


.Ta tiến



TH2.Ta có  x  1  4  2 y  5  2 y  ( x  1)  5    x  3 .
x  2y



 y  3
 

2
1
2

1
2

2.Do bất đẳng thức có tính đối xứng nên ta giả sử x, y  hoặc x, y  .Ta có
1
(2x  1)(2 y  1)  0  x  y  2xy  .Mặt khác ta có
2
2
2
2
2
1  x  y  z  2 xyz  2xy  z  2xyz  z  1  2xy .Nhân hai bất đẳng thức trên ta có
1
1
1
xy  yz  zx   2xyz  xy  yz  zx-2xyz  .Vậy giá trị lớn nhất của P là khi x,y,z là các
2