Trường THPT Tân Quới – Năm học 2008 - 2009
Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN
I. Hệ phương trình đối xứng loại 1:
Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng.
− Phương trình n ẩn x
1
, x
2
, ..., x
n
gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay x
i
bởi x
j
; x
j
bởi x
i
thì phương trình
không thay đổi.
− Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:
x
1
+ x
2
+ ... + x
n
x
1
x

* Nếu đa thức F(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n
−
1
+... a
n
, a
0
≠ 0, a
i
∈ P có nhgiệm trên P là c
1
, ..., c
n
thì:
1
1 2
0
2
1 2 1 3 1 2 1 2 3 -1
0
1 1
0
...



(Định lý Viét tổng quát)
Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn:
A. LÝ THUUYẾT
1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2:
Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thì:
1 2
1 2

.
b
S x x
a
c
P x x
a

= + = −




= =

=


=

, trong đó
( , ) ( , )
( , ) ( , )
f x y f y x
g x y g y x
=


=

3.Cách giải:
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và
2
4S P≥
.
Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y.
Chú ý:
+ Cần nhớ: x
2
+ y
2
= S
2
– 2P, x

2
4S P≥
. Hệ phương trình trở thành:
2
2
30
P
SP 30
S
90
S(S 3P) 35
S S 35
S
ì
ï
ï
=
ï
ì
=
ï
ï
ï ï
Û
í í
æ ö
ï ï
- =
÷
ç

x y
− = −


− =

.
GIẢI
Đặt
, , t y S x t P xt= − = + =
, điều kiện
2
4S P≥
Hệ phương trình trở thành:
3 3 3
xt(x t) 2 SP 2
x t 2 S 3SP 2
ì ì
+ = =ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ = - =
ï ï
î î
S 2 x 1 x 1
P 1 t 1 y 1
ì ì ì
= = =

GIẢI
Điều kiện
0, 0x y≠ ≠
.
Hệ phương trình tương đương với:
2 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 8
x y
ì æ ö æ ö
ï
÷ ÷
ç ç
ï
+ + + =
÷ ÷
ç ç
ï
÷ ÷
ç ç÷ ÷
ï
è ø è ø
ï
í
ï
æ ö æ ö
ï

1 1
x y 4
S 4 S 4
x y
P 4 1 1
S 2P 8
x y 4
x y
ì
æ ö æ ö
ï
÷ ÷
ç ç
ï
+ + + =
÷ ÷
ç ç
ï
ì
ì
÷ ÷
=ï =
ï
ç ç
÷ ÷
ï
è ø è ø
ï ï ï
Û Û
í í í

ï
ì
=
ï
ï
ï ï
Û Û
í í
ï ï
=
ï ï
î
+ =
ï
ï
ï
î
.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
2 2
2 8 2 (1)
4 (2)
x y xy
x y

+ + =


+ =


Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm
Phương pháp giải chung:
+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và
2
4S P≥
(*).
Thái Thanh Tùng – Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số
2
Trường THPT Tân Quới – Năm học 2008 - 2009
+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m.
Chú ý:
Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện của u, v.
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
1
1 3
x y
x x y y m
+ =


+ = −

.
GIẢI
Điều kiện
, 0x y ≥
ta có:
3 3
x y 1 x y 1

ï ï
=
- = -
ï ï
îî
.
Từ điều kiện
2
S 0,P 0,S 4P³ ³ ³
ta có
1
0 m
4
£ £
.
Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
3 9
x y xy m
x y xy m
+ + =


+ = −

có nghiệm thực.
GIẢI
2 2
x y xy m (x y) xy m
xy(x y) 3m 9

Suy ra S và P là nghiệm của phương trình
2
t mt 3m 9 0- + - =
S 3 S m 3
P m 3 P 3
ì ì
= = -
ï ï
ï ï
Þ Ú
í í
ï ï
= - =
ï ï
î î
.
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
2
2
3 4(m 3)
21
m m 3 2 3
(m 3) 12
4
é
³ -
ê
Û Û £ Ú ³ +
ê
- ³

ï
ï
Û
í í
-
ï ï
+ = -
=
ï ï
î
ï
î
.
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của
2
21 3m
t 4t 0
2
-
- + =
(*).
Hệ có nghiệm
Û
(*) có 2 nghiệm không âm.

/
3m 13
0
0
13

ï
î
.
Thái Thanh Tùng – Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số
3
Trường THPT Tân Quới – Năm học 2008 - 2009
Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
4 4 10
( 4)( 4)
x y x y
xy x y m
+ + + =


+ + =

có nghiệm thực.
GIẢI
2 2
2 2
2 2
(x 4x) (y 4y) 10
x y 4x 4y 10
xy(x 4)(y 4) m (x 4x)(y 4y) m
ì
ì
ïï + + + =
+ + + =
ï

P 0
ì
ï
³
ï
ï
ï
³ Û - £ £
í
ï
ï
³
ï
ï
î
.
Loại 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.
Ví dụ. Giải phương trình:
3 3
3
1
2
x x+ − =
.
GIẢI
Đặt:
3
3
x u
1 x v


 
+ + − =
 

⇔
3
u+v =
2
19
u.v =
36







u, v là hai nghiệm của phương trình:
2
3 19
X - X + = 0
2 36
⇒
9+ 5
u =
12
9 - 5
u =

 

Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} =
3 3
9 5 9 5
;
12 12
 
   
+ −
 
 ÷  ÷
 
 ÷  ÷
 
   
 
.
B. BÀI TẬP
I. Giải các hệ phương trình sau:
1)
4 4
6 6
1
1
x y
x y

+ =


4)
2 2
4
2 8 2
x y
x y xy

+ =


+ + =


5)
2 2
18
( 1)( 1) 72
x x y y
xy x y

+ + + =


+ + =


6)
( )
( )
2 2

4
x y
x y
x y
x y

+ + + =




+ + + =


8)
7
1
78
y
x
y x
x y
x xy y xy

+ = +




+ =

=


II. Gi h phng trỡnh cú tham s:
1. . Tỡm giỏ tr ca m:
a)
( )
5 4 4
1
x y xy
x y xy m

+ =


+ =


cú nghim.
b)
2 2
2
1
x y xy m
x y xy m
+ + = +



+ = +


(1II)
a. Gii h phng trỡnh khi m = 5.
b. Tỡm cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim.
3.
2 2
3 8
x xy y m
x y xy m
+ + =



+ =


(7I)
a Gii h phng trỡnh khi m = 7/2.
b. Tỡm cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim.
4.
2 2
1x xy y m
x y xy m
+ + = +



+ =



- X
2
+ X - = 0. (*)
Thậy vậy: (X - x)(X - y)(X - z) = 0
[ X
2
- (x + y)X + xy ](X - z) = 0
X
3
- X
2
z - X
2
(x + y) + (x + y)zX + xyX - xyz = 0
X
3
- X
2
+ X - = 0.
(*) có nghiệm là x, y, z phơng trình X
3
- X
2
+ X - = 0 có 3 nghiệm là x, y, z.
c.Cách giải:
+ Do các phơng trình trong hệ là đối xứng nên ta luôn viết đợc dới dạng , ,
Thỏi Thanh Tựng Chuyờn : H phng trỡnh i s
5