DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên
CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I.Hệ phương trình đối xứng loại 1:
2 2 2 2 3 3
4 4 2 2
2 2 2 2 3 3
2 2 4 4
5( ) 2 19
7 / / 18 7
1/ ;2/ ;3/ ;4/
3 35
5 12 ( ) 2
5 4
17 ( ) 78
5/ ;6/ ;7 / ;8/
7 ( )( ) 280
13 97
x y xy
x xy y x y y x x y
x y xy
x y x y xy x y
x y xy x y
x y x y xy
x y xy x y x y
x y xy x y
+ + = −
  
− + = + = + =

   
+ + = −

xyz x y z
xy z x y z x yz x
x x y yzt y z t
yz x y z x y zx y
ztx z t x
y y x
zx y z x y z xy z
txy t x y
= + +

  
+ = + + = + =


= + = + +
  
 
+ = + + = + =
    
= + +
= +

    
+ = + + = + =
  

= + +

III.Hệ phương trình đẳng cấp:
2 2 2 2 3 3 3 3 3 3

S P P
x y x
x y
x x y y
x y
x y S P

 


+ =
+ + =
+ + − =
− + =
− = −
    
⇔ ⇔
    
+ =
+ =
+ =
+ = + =


  




2 2

20
2 2 7
; ; ; ( )
3 2 23
136
0 16 /5
x y x y y x x y x y
x y x y
x y x y
x y
x y
x y x y x y x y x y
 

 + − + = − = + + −
+ + + =
+ + + + =
   
×
   
+ =
+ =
+ + − = = + − −


 


 
V. Giải HPT bằng pp đánh giá:

 

+ = + =
− =


 
 + =
 
= + − = + = + + =
    
+ =
    
− =
+ = + + + =
= +

 
 

+ + =

1
DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên
2 2
2
2 2 2 4 6
3 4 4 5 7
2
2

VI. Một số HPT khác:
2 2 2 2 3 3
3
2 2 2 2 2 2
6 5 1/ 1/
2 ( ) 3 ( ) ) 3 7 7
; ; ; ;
2 1
( ) 10 ( )( ) 15 2
2
x y x y
x x y y
y x y x x y x y x x y y
x y x y
y x
x x y y x y x y x y x y
xy
+ −

+ = − = −
  
− = − − = + = +

   
− +
    
= +
+ = + + = + = + +
  


− + = − + =
 

+ + = + + + =

 
 
+ − = + + = ⇔ + + = + + + =
   
   
+ + + =
+ + = = =


 
5 6( ) 5 24( ) 0 1 ( ) 2
7 12( ); 7 24( ); 0; 5; ( ) 3
3 4( ) 4( ) 0 2 ( ) 6
xy x y xyz x y xy a x y xy x x y z yz
yz y z xyz y z yz b y z yz y x y z xz
xz z x xyz z x zx c z x zx z x y z xy
= + = + = > + + = + + = −
    
    
= + = + = > + + = + + = −
    
    
= + = + = > + + = + + = −
    
2 2 2 2 2

x y xy

+ =

+ =
 
⇔ ⇒ = = ±
 
+ − + = +
− + − = +




3
3
4
16
, 0 8 3 4 8 2
3 8
x y
x y x y x y x y
x y

=
⇒ > ⇒ = + ≥ = ⇒ = =

+ =

2

x y x xy xy x
 
− + = − + =

− =
 
⇔ ⇒ ⇒ = = ±
  
=
− + = − + =
 

 
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
1/ 6 / ( ) 6 6
6 3 1;2 (1/ 2;1)
2 2;1 (1;2)
1/ 5 5 2 5
1 5
x y x y yz z y SP
y xy x S y
P z
x y z y S P
x y x
+ = + = =

+ = = =
  



⇔ ⇔
   
− =
+ = − + = −
+ = −


 

2
DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
8
64 2
1 1 18
4
4
9 9 10
9 9 10
1 1 2
x y
x y xy
x x y x y y x y
x

2
3
1 6 1(1)
(1) (2) 1 6 1
1 6 1(2)
x y y
x y x x x
y x x

− + + = −

− ⇒ = ⇒ − + + = −

− + + = −


2
3
2
3
3
2 2
1 1 6 2 4 ( 2)( 2) 2
1 1
( 6) 2 6 4
x x
x x x x x x
x
x x
− −

x y
x y
y x y x
− −
− − + − +
−

+ = +

   
⇔ + = + ⇒ − =

 ÷  ÷
+ + + + =    


. Thay vào (2) ta được:
3 2 2 2 2 2 2
( ) 2 3 ln( 1) 0. '( ) 3 2 (2 1) /( 1) 3 (2 4 3) /( 1) 0f y y y y y f y y y y y y y y y y y= + + + + + = = + + + + + = + + + + + > ∀
Nên pt có nghiệm dn y = - 1. Vậy hpt có nghiệm dn ( 0; - 1 )
2 2
1 3 5 1 3 5(1)
5 5 7
(1) ( 5) ( 1) 5 1 6
2
80(2)
x x x y y y
f y f x y x x y
x y x y


3 2
9
42
3
42 (42 )
60 4 8
27
( ; 0)
30 25 8 28 ( )
42
5
5 2 6
9
2 3 4
42 (42 )
42
9
x
x
x y
y x
x y x y x
x y
y x L
x y x y
y
y
x y x y y
x y


+ +
+


 

2 2 4 4 6 2
6 2 3 2 2 2 2 3 3
2 3 2
2 (1 )
1 (1 ) 1 1 ( ) 2
1 ( ) (2 ) 0
x y x y y x x
y x x x y x y xy x
x y x y x

− = + −

⇒ + − = − − ≤ ≤ + + ≤ − −

+ + + + ≤


3 2 3 2 2
( ) 0 & 1& 1x y x y x y x y x y⇒ + ≤ ⇒ = − = = − ⇒ = − =
VII. Biện luận hệ phương trình:
1/ Tìm gt của m để hpt sau có nghiệm:
2 2
(1)
x y xy m



+ − =


Giải: Trừ các vế của 2 pt ta được:
( )( 1 ) 0x y x y m− + + − =
a/
2
3 ( 1) 0 0;( 1) /3x y x m x x m= ⇒ − + = ⇒ = +
b/
2
1 ( 1) 1 0. ( 1)( 5)y m x x m x m m m= − − ⇒ − − + − = ∆ = − −
Kết luận: +/ 1 < m < 5: hpt có nghiệm
0; ( 1)/ 3x y x y m= = = = +
+/
1 5m m≤ ∨ ≥
: hpt có nghiệm:
0; ( 1)/ 3x y x y m= = = = +
;
1 1
( ; )
2 2
m m− ± ∆ − ∆m
3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:
2 2
2 2
1(1)
3 2 (2)
x xy y

4/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:
1 1 3
1 1 1 1
x y
x y y x x y m

+ + + =


+ + + + + + + =



Giải: hpt đã cho tđ với:
2 2
3( , 0)
3
/3
( 1) ( 1)
u v u v
S
P m
u v v u u v m
+ = ≥
=


⇔ ⇒
 
=

. Vậy nếu hpt có nghiệm dn thì
25 4 0 25/ 4a a∆ = − < ⇒ >
.
b/ đk đủ: hpt tđ với
2 3 2
2 2
4
( ) 3( ) 0
x y y ay
x y x xy y x y a

= − +


 
− + + − + + =

 

. Do pt
2 2
3( ) 0x xy y x y a+ + − + + = ⇔
2 2
( 3) 3 0x y x y y a+ − + − + =
có
2 2 2
( 3) 4( 3 ) 3 6 9 4 0
x
y y y a y y a y∆ = − − − + = − + + − < ∀
vì

MỘT SỐ BÀI TẬP:
1/ Chứng minh hpt sau luôn có nghiệm:
2 2
2
4
3 4
x xy y k
y xy

− + =


− =


2/ Tìm các GT của m để hpt sau có nghiệm:
4 1 4
(13/3 7)
3
x y
m
x y m

− + − =

≤ ≤

+ =



5/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:
2 2
2 2
3 2 11
59 3897 59 3897
4 4
2 3 17
x xy y
m
x xy y m

 
+ + =
− +

≤ ≤
 ÷

+ + = +

 

6/ Cho hpt:
2 2
9
(2 1) 1 0
x y
m x my m

+ =