KiÕn thøc c¬ b¶n
I .Hàm số mũ
• y=a
x
; TXĐ D=R
• Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x
−∞ 0 +∞
x
−∞ 0 +∞
y
+∞
1
−∞
y
+∞
1
−∞
• Đồ thị
f(x)=3^x
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7

1
2
3
x
y
x
y






=
3
1
II .Hàm số lgarit
• y=log
a
x, ĐK:



≠<
>
10
0
a
x
; D=(0;+∞)

-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
y=x
y=3
x
y=log
3
x
f(x)=ln(x)/ln(1/3 )
f(x)=(1/3)^x
f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6

Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:
a
n
a
m
=a
n+m
;
mn
m
n
a
a
a
−
=
;(
n
a
1
=a
−
m
; a
0
=1; a
−
1
=
a

n m
n
m
aa
=
.
2. Công thức logarit : log
a
b=c⇔a
c
=b (0<a≠1; b>0)
Với 0<a≠1, 0<b≠1; x, x
1
, x
2
>0;
α
∈R ta có:
1
log
a
(x
1
x
2
)=log
a
x
1
+log

a
x;
xx
a
a
log
1
log
α
α
=
;(log
a
a
x
=x); log
a
x=
a
x
b
b
log
log
;(log
a
b=
a
b
log




=
>
bxf
b
a
log
0
.
Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0
4Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=a
x
(t>0), để đưa về một phương trình đại số..
Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2
3
±
), (7
4 3
±
),… Nếu trong một phương trình có chứa {a
2x
;b
2x
;a
x
b
x
} ta có

xg
axf
a 10
+log
a
f(x)= log
a
g(x)⇔
( ) ( )
[ ]
( ) ( )





=
>>
≠<
xgxf
xgxf
a
00
10
.
4Đặt ẩn phụ.
2. Bất phương trình mũ−logarit
a. Bất phương trình mũ :
4 a
f(x)

.
Đặt biệt:
* Nếu a>1 thì: a
f(x)
>a
g(x)
⇔ f(x)>g(x);
a
f(x)
≥a
g(x)
⇔ f(x)≥g(x).
* Nếu 0<a<1 thì: a
f(x)
>a
g(x)
⇔ f(x)<g(x);
a
f(x)
≥a
g(x)
⇔ f(x)≤g(x).
b. Bất phương trình logarit :
4log
a
f(x)>log
a
g(x)⇔
( ) ( )
( ) ( ) ( )

≠<
01
0,0
10
xgxfa
xgxf
a
.
Đặt biệt:
2
+ Nếu a>1 thì: log
a
f(x)>log
a
g(x) ⇔
( ) ( )
( )



>
>
0xg
xgxf
;
+ Nếu 0<a<1 thì: log
a
f(x)>log
a
g(x) ⇔

. Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
( )
( )
2
9 3 3
2 log log .log 2 1 1x x x
= + −
.
Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích:
( )
3 3 3
log 2log 2 1 1 .log 0x x x
 
− + − =
 
.
Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành
tích.
II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn
Ví dụ 1: Giải phương trình:
9 2( 2)3 2 5 0
x x
x x
+ − + − =
. Đặt t = 3
x
(*), khi đó ta có:
( )

:
( )
( ) ( )
ab
aFbF
cF
−
−
=
'
. Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì
( ) ( ) ( )
; : ' 0 ' 0c a b F c F x∃ ∈ = ⇔ =
có nghiệm thuộc (a;b).
Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc
D.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2
log
2.3 3
x
x
+ =
.
3
Hng dn:
2 2
log log
2.3 3 2.3 3
x x
.
2.Dng 2: Khỏc c s v biu thc trong du log phc tp
Vớ d 1: Gii phng trỡnh
( )
4
2 2
5
6
log ( 2 2) 2log 2 3x x x x =
.
t t = x
2
2x 3 ta cú
( )
6 5
log 1 logt t+ =
.
Vớ d 2: Gii phng trỡnh
( )
6
log
2 6
log 3 log
x
x x
+ =
. t
6

=
. t
( )
7
log 3 7 3
t
t x x
= + = +
, phng trỡnh tng ng
4 1
4 7 3 3. 1
7 7
t t
t t

= + =
ữ ữ

.
Vớ d 2: Gii phng trỡnh
( )
42
5log
3
+=
+
x
x
. t t = x+4 phng trỡnh tng ng
( )


= + = +
Ph ng phỏp: t
log ( )
s
ay b dx e
+ = +
ri chuyn v h hai phng trỡnh, ly phng trỡnh hai tr phng trỡnh
mt ta c:
ax b ay b
s acx s acy
+ +
+ = +
. Xột
( )
at b
f t s act
+
= +
.
Vớ d: Gii phng trỡnh
1
7
7 6log (6 5) 1
x
x

= +
. t
( )

= +
=

+ = +

=
=




. Xột hm s
( )
1
7 6
t
f t t

= +
suy ra x=y, Khi ú:
1
7 6 5 0
x
x

+ =
. Xột hm s
( )
567
1

.
Nhn xột: u.v = u + v. T ú ta cú h:
8 1 18
.
u v u v
u v u v

+ =

+


= +


Bài tập
I Giải các ph ơng trình mũ
1)
13
86
2
=
+
xx


x =2 và x=4.
4
2)
xx

43
64
255


=
x
x


x =7/5
6)
22
43
93


=
x
x


x = ?
7) 2
2x-3
- 3.2
x-2
+ 1 = 0

x =1 và x=2

- 5
2x
.35 + 7
x
.35 = 0

x =
2
1


11)
4
410
2
9
2
2
x
x
+
=



x =3
12)
33,0.2
100
3



=
x
x
x
x


x
15) 2
x
.5
x
=0,1(10
x-1
)
5

x =
2
3

16)
363.2
=
xx


x =4

4
3
(

=
xx


x =2
19) 3
x
+3
x+1
+3
x+2
=5
x
+5
x+1
+5
x+2

x =
43
31
log
5
3

20) 2


22)
161
42.2
++
=
xx


x =
2
1
23)
4)32()32(
=++
xx


x =?
24)
10)625()625(
=++
xx


x =2 và x=-2
23)
xxx
)22()154()154(
=++



x=

k
với:
Zk

ĐHcần thơ: D
2000
27)
2653
+=+
x
xx


x=0 và x=1 ĐHSPHN: A
2002
28)
21
)1(22
2
=

x
xxx


x=1 ĐHthuỷlợi: A

11
34
2
=
+
xx
x


x=0;x=2;x=3 CĐsp đồng nai: 2002
5
32)
xxx
6242.33.8
+=+


x=1 và x=3 ĐHQGHN: D
2001
33)
x
x
231
2
=+


x=2 ĐHthái Nghuyên: D
2001
34)

+ 2x + 6

x=-1;x=3/2;
3
3
1; ;log 2
2

37) 4
sinx
-2
1+sinx
.cosxy+
y
2
=0

x=k

;y=o và k

Z
38)
11
2
1
9

12122
11
2
+=
++
+
xx
x


x

{ }
[
)

;13

41)
1)1(
34
2
=+
+
xx
x


x


14231
=+
++
yxyx


x=0,5 và y=0,5
45)
2 2 4 2 1
3 3 6 7 1 2.3
x x
x x
+ +
+ + = +


x=-1
46)
)32(10
101
)32()32(
1212
22

=++
+
xxxx


x=

3loglog
2
9log
222
3. xxx
x
=


x=2
2)
xx
32
log)1(log
=+


x=9
3) lg(x
2
-x-6) + x =lg(x+2) + 4

x=4
4)
)2(log2)2(log5log)1(log
25
15
5
1
2


7)
2
1
)213(log
2
3
=+
+
xx
x


x
2
53
+
=
và x =
2
299

8)
x
x
=
3)29(log
2



x

x=7 và x = 4
11)
2log)2(log
2
2
=++
+
xx
x
x


x=2 ĐHNNghiệp I: B
2002
12)
)32(log)44(log
1
2
12
=+
+
xx
x


x=2 ĐHCĐoàn: 2002
13)
4)21236(log)4129(log