ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Cao Văn Chung

PHƯƠNG PHÁP SONG SONG
GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH
VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2012


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Cao Văn Chung

PHƯƠNG PHÁP SONG SONG
GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH
VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: Toán học Tính toán
Mã số: 62 46 30 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tập thể hướng dẫn khoa học:
HD1: GS.TSKH. PHẠM KỲ ANH
HD2: GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG



1.1. Khái niệm cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.2. Toán tử đơn điệu và phương trình với toán tử đơn điệu . . . . . . .

29

1.3. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . .

36

1.4. Hệ thống máy tính song song và lập trình song song . . . . . . . . . .

42

1.5. Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Chương 2. Phương pháp chỉnh lặp song song . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.1. Phương pháp chỉnh lặp ẩn song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.1.1. Trường hợp dữ liệu chính xác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3. Các phương pháp CQ song song trong không gian Hilbert . . .

100

3.4. Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

3.4.1. Giải hệ phương trình với toán tử ngược đơn điệu mạnh

108

3.4.2. Tìm điểm bất động chung của họ hữu hạn toán tử không giãn
tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

Chương 4. Phương pháp song song giải phương trình với toán tử đơn
điệu trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

4.1. Phương pháp Newton hiệu chỉnh song song và sự hội tụ . . . . .

115

4.2. Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131


·, ·

Tích vô hướng (hoặc tích đối ngẫu)

A∗

Toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính A

argminf (x) (argmaxf (x))

Phần tử cực tiểu (cực đại) hóa phiếm hàm f (x)

F (T ) (Fˆ (T ))

Tập điểm bất động (bất động tiệm cận) của T

Gr(F )

Đồ thị của ánh xạ (đa trị) F

H

Không gian Hilbert

JAr := (rA + J)−1 J

Giải thức của toán tử (đa trị) đơn điệu A

PC


PRNM

Phương pháp song song dạng Newton

U s (J := U 2 )

Ánh xạ đối ngẫu (ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc)

X, X ∗

Không gian Banach X và không gian đối ngẫu của nó

x†

Nghiệm chuẩn nhỏ nhất (hoặc x0 -chuẩn nhỏ nhất)

x∗n

Nghiệm phương trình hiệu chỉnh A(x) + αn x = 0

TOL(RT OL = T OL/ x† )

Sai số (Sai số tương đối tính theo %)

RAT

Tỷ số giữa sai số tuyệt đối và αn : RAT = T OL/αn

!NA


.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

78

.
.
.

.
.
.
.

109
110
112
112

Chương 4.
4.1 αn lớn & dữ liệu chính xác - Toán tử khả vi cấp 2 . . . . . .
4.2 Số bước lặp n lớn & dữ liệu chính xác - Toán tử khả vi cấp 2
4.3 αn lớn & dữ liệu có nhiễu - Toán tử khả vi cấp 2 . . . . . . .
4.4 Số bước lặp n lớn & dữ liệu có nhiễu - Toán tử khả vi cấp 2
4.5 αn lớn & dữ liệu chính xác - Toán tử khả vi . . . . . . . . .
4.6 Số bước lặp n lớn & dữ liệu chính xác - Toán tử khả vi . . .
4.7 Thử nghiệm với dữ liệu có nhiễu - Toán tử khả vi. . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

trình toán tử
Ai (x) := Fi (x) − fi = 0, i = 1, N
(1)
hoặc phương trình với toán tử phân rã được thành tổng các toán tử
N

A(x) :=

N

(Fi (x) − fi ) = 0.

Ai (x) =
i=1

(2)

i=1

Ở đây các toán tử Fi : X → Y , phần tử fi ∈ Y đã cho; với X là không gian
Banach và Y = X ∗ - không gian đối ngẫu của X, hoặc X là không gian
Hilbert và Y = X. Hơn nữa, trong luận án này ta xét các toán tử Fi có
tính đơn điệu, tức là với mọi x, y ∈ X ta có
Fi (x) − Fi (y), x − y ≥ 0.
Trường hợp X là không gian Banach, ta ký hiệu f, x := f (x) với mọi
x ∈ X, f ∈ X ∗ .
Các vấn đề được nghiên cứu trong luận án liên quan đến phương trình
với toán tử đơn điệu, bài toán đặt không chỉnh và tính toán song song.
Phương trình với toán tử đơn điệu thường xuất hiện trong nhiều lĩnh vực
khoa học kỹ thuật cũng như kinh tế xã hội. Ví dụ trong xử lý ảnh, người

Rockafellar ( [62]) ... thiết lập (xem thêm [17] và các tài liệu tham chiếu
trong đó). Đặc biệt, G. J. Minty và F. Browder đã chỉ ra một số tính chất
quan trọng của toán tử đơn điệu cực đại, cũng như tìm ra mối liên hệ giữa
phương trình với toán tử đơn điệu và bất đẳng thức biến phân.
Tính chất đơn điệu cực đại, bức và một số đặc điểm khác của toán tử
dạng cA + J, trong đó J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, còn c > 0, A là
toán tử đơn điệu được chỉ ra trong [20, 58, 62].
Lớp toán tử đơn điệu cực đại dạng A+αJ và mối liên hệ với dưới vi phân
của các phiếm hàm lồi, cũng như các toán tử đơn điệu dạng thế năng đã
được nghiên cứu trong [6, 7, 14–17, 36, 46, 59, 63, 74, 84, 85, 87].
Như đã biết, bài toán
F (x) = f

(3)

với F là toán tử đơn điệu, nếu không có thêm giả thiết gì về toán tử F ,
thường là đặt không chỉnh (xem [1, 2, 4, 20, 76, 77]). Khái niệm về tính đặt
chỉnh được J. Hadamard định nghĩa như sau (xem [86]): Nếu (a) ∀f ∈ Y
9


∃xf ∈ X: F (xf ) = f ; (b) xf xác định duy nhất; (c) xf phụ thuộc liên tục
vào f , thì bài toán F (x) = f được gọi là đặt chỉnh hay chính quy (wellposed problem hay correctly-posed problem). Khi ít nhất một trong ba điều
kiện trên không thỏa mãn, ta nói bài toán là đặt không chỉnh (ill-posed
problem hay incorrectly-posed problem). Lúc đó việc giải số bài toán sẽ rất
khó khăn vì các sai số nhỏ trong dữ liệu hoặc trong quá trình giải số trên
máy tính có thể dẫn tới sự sai lệch rất lớn của kết quả.
Những nhà khoa học đã có công đặt nền móng cho lý thuyết bài toán đặt
không chỉnh phải kể đến A. N. Tikhonov, M. M. Lavrentiev, F. Browder,
J. J. Lions, V. K. Ivanov... Cũng vì ý nghĩa quan trọng của lý thuyết bài

và các tài liệu tham chiếu trong đó). Phương pháp này áp dụng cho toán
tử F khả vi liên tục theo Frechet, trong đó việc cực tiểu hóa phiếm hàm
làm trơn Tikhonov ở trên sẽ được thực hiện bằng một quá trình lặp.
Năm 1966, trong [49], M. M. Lavrentiev đã đề xuất một phương pháp
hiệu chỉnh bằng cách sử dụng phương trình xấp xỉ. Trong trường hợp
X = Y = H là không gian Hilbert, F là toán tử tuyến tính xác định không
âm, thì thay cho (3) ta giải phương trình
F x + αx = f,
trong đó α > 0 là tham số. Với cách chọn α thích hợp, nghiệm phương trình
trên sẽ hội tụ tới nghiệm bài toán ban đầu, khi α → 0.
Cùng thời gian này, F. Browder (xem [18]) cũng đề xuất phương pháp
hiệu chỉnh cho trường hợp toán tử F : X → X ∗ là đơn điệu, với X là không
gian Banach lồi, phản xạ; X ∗ là không gian đối ngẫu tương ứng và X ∗ lồi
chặt. Tư tưởng của phương pháp này tương tự như hiệu chỉnh Lavrentiev,
đó là thay bài toán ban đầu bằng phương trình xấp xỉ
F (x) + αM (x) = f,
trong đó thành phần hiệu chỉnh M : X → X ∗ là h−liên tục (hemicontinuous) và d− đơn điệu.
Các kỹ thuật hiệu chỉnh do Lavrentiev và Browder đề xuất có nhiều
ứng dụng để giải bài toán đặt không chỉnh với toán tử đơn điệu (xem
[1–4, 9, 10, 22, 42–44, 69, 76, 77, 79]).
Từ những năm 1980, một số phương pháp chỉnh lặp kết hợp giữa
kỹ thuật hiệu chỉnh của Lavrentiev (hoặc Browder) với các phương pháp
giải số truyền thống đã được A. B. Bakushinskii đề xuất (tham khảo [9,79]
và các tài liệu tham chiếu trong đó). Tác giả này nghiên cứu phương pháp
lặp bậc không và lặp bậc một, hay còn gọi là chỉnh lặp đơn và phương pháp
Newton - Kantorovich hiệu chỉnh trong không gian Hilbert. Phương pháp
lặp bậc không là sự kết hợp giữa hiệu chỉnh Lavrentiev và phép lặp hiện
xk+1 = xk − βk F (xk ) − f + αk xk .
Ở đây αk > 0 là tham số hiệu chỉnh và βk > 0 là tham số lặp. Trong khi
đó, phương pháp lặp bậc một được xây dựng cho toán tử khả vi Frechet

họ phương trình đặt chỉnh phụ thuộc tham số α, β. Với β/α → 0 khi
α → 0 thì nghiệm phương trình đặt chỉnh xα,β hội tụ về nghiệm có
chuẩn nhỏ nhất của (3).
• Phương pháp giảm dư (Residual method): Dựa trên ý tưởng cực tiểu
hóa phiếm hàm tương tự như hiệu chỉnh Tikhonov.
Cũng vào những năm 1980, trong các tài liệu [50–52,80], O. A. Liskovets,
đã đề xuất phương pháp tựa nghiệm (Quasi-Solution Method) để hiệu chỉnh
(3) trong trường hợp ta chỉ biết xấp xỉ Ah của A, với Ah không đơn điệu.
12


Các phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử dạng A(x) = 0 trong
trường hợp A không là toán tử đơn điệu cũng đã được nhiều nhà khoa học
nghiên cứu. Các kết quả có thể tham khảo trong [1, 9, 13, 26, 32, 35, 37, 38,
50, 70, 71, 79].
Các nhà toán học Việt Nam cũng thu được nhiều kết quả thú vị
liên quan đến lý thuyết, phương pháp giải và ứng dụng của bài toán đặt
không chỉnh.
Các tác giả Đặng Đình Áng, Đinh Nho Hào, Đặng Đức Trọng .v.v. đã
nghiên cứu bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng. Những bài
toán được các tác giả quan tâm nghiên cứu thường là đặt không chỉnh.
Đặc biệt, tác giả Đinh Nho Hào đã nghiên cứu các bài toán Cauchy cho
phương trình đạo hàm riêng đặt không chỉnh và đề xuất phương pháp làm
nhuyễn (mollification). Phương pháp này làm nhuyễn dữ liệu để các bài
toán thu được là đặt chỉnh và nghiệm của chúng hội tụ đến nghiệm bài
toán đặt không chỉnh. Các kết quả này có thể tham khảo tại [39, 40].
Lý thuyết cũng như phương pháp giải bàn toán đặt không chỉnh tổng
quát đã được tác giả Nguyễn Bường nghiên cứu. Các kết quả áp dụng cho
một số bài toán đặt không chỉnh như bài toán bù, bất đằng thức biến
phân, hệ phương trình toán tử ... có thể được tìm thấy trong [1, 2, 22–25].

điểm gần kề hiệu chỉnh hội tụ mạnh, trong đó xấp xỉ xk+1 xác định qua
xk , k ≥ 0, từ phương trình
ck F (xk+1 ) − f ) + αk J(xk+1 ) + J xk+1 − xk = 0.
Ở đây ck là tham số trong phương pháp điểm gần kề, αk là tham số
hiệu chỉnh. Trường hợp F và f có nhiễu và các quy tắc chọn tham số
tiên nghiệm cũng đã được nghiên cứu. Năm 2006, Hong Kun Xu ( [73])
đề xuất một cải biên khác của phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh trong
không gian Hilbert
ck F (xk+1 ) − f ) + αk xk + xk+1 − xk + ek = 0,
với ek là sai số khi giải phương trình này. Các phương pháp điểm gần kề
hiệu chỉnh trên đều hội tụ mạnh về nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của (3).
Các tính chất của toán tử đơn điệu cũng như phương pháp giải các
bài toán với toán tử đơn điệu tiếp tục được J. Borwein, P. Combettes, M.
Solodov, B. Svaiter ... (xem [17,31,64]) nghiên cứu trong giai đoạn sau này.
Trở lại những năm 1980, F. Browder đã nghiên cứu mối liên hệ giữa
toán tử không giãn với toán tử đơn điệu và từ đó sử dụng phương pháp
điểm bất động để giải một số bài toán với toán tử đơn điệu ( [21]). Gần
đây, S. Matsushita và W. Takahashi đã phát triển ý tưởng này. Trong [56],
các tác giả đã chỉ ra rằng với c > 0 và A là một toán tử đơn điệu cực
đại trong không gian Banach X phản xạ, trơn và lồi chặt, thì toán tử
JAc = (J + cA)−1 J là không giãn tương đối, hơn nữa tập điểm bất động
của JAc chính là tập nghiệm của A(x) = 0. Khái niệm không giãn tương đối
được mở rộng từ khái niệm toán tử không giãn, dựa vào khoảng cách suy
14


rộng. Kết hợp tính chất trên với thuật toán chiếu - điểm gần kề đề xuất
trong [64], các tác giả đã đưa ra các phương pháp lai ghép giữa thuật toán
lặp và phép chiếu để tìm điểm bất động của toán tử không giãn tương đối.
Nhiều phương pháp dạng này tiếp tục được đề xuất, và trong một số tài

Trong phương pháp trên, các phương trình ứng với các dòng của A sẽ được
giải lần lượt một cách luân phiên xoay vòng.
Ý tưởng trên có thể áp dụng giải hệ phương trình toán tử. Chính vì thế,
gần đây các phương pháp xử lý luân phiên dạng Kaczmarz được rất nhiều
tác giả nghiên cứu. Đối với bài toán đặt không chỉnh, các phương pháp
như Landweber-Kaczmarz, Newton-Kaczmarz, đường dốc nhất - Kaczmarz, phương pháp xoay vòng tìm điểm bất động chung dạng CQ .v.v.
15


đã được đề xuất (xem [13, 26, 32, 37, 38, 47, 54]). Ý tưởng chung của các
phương pháp này là phân rã bài toán thành hữu hạn bài toán con, và
luân phiên giải các bài toán con đó bằng các phương pháp lặp tương ứng
(Landweber, Newton, đường dốc nhất, phương pháp CQ...). Phương pháp
phân rã như vậy chẳng những không làm tăng điều kiện áp đặt lên từng
toán tử, mà còn đơn giản hóa việc tính toán. Ngoài ra, trong một số trường
hợp, phương pháp dạng Kaczmarz hiệu quả hơn phương pháp ban đầu.
Tuy nhiên, do việc xử lý các bài toán con là luân phiên, nên phương
pháp dạng Kaczmarz là tuần tự. Do đó nếu thực hiện các phương pháp
này trên máy tính với nhiều bộ xử lý, khi số bài toán thành phần là lớn,
thì tại mỗi thời điểm, vẫn chỉ có một bài toán con được xử lý. Thực tế ta
có thể tăng hiệu quả của các phương pháp tuần tự khi thực hiện trên máy
tính song song bằng cách xử lý song song trên từng bước tính toán.
Đến nay, các kết quả song song trên mức tính toán tại mỗi bước như
vậy đã phát triển khá mạnh. Thậm chí các công cụ song song hóa khi tính
toán với ma trận và vector đã được nhúng cứng vào các vi mạch xử lý, ví
dụ kiến trúc hỗ trợ tính toán song song CUDA (Compute Unified Device
Architecture). Cùng với nó, các hướng nghiên cứu để vector hóa dữ liệu xử
lý (vectorization) cũng phát triển mạnh.
Một yêu cầu được đặt ra ở đây là cần xây dựng các thuật toán mà ở đó
các bài toán thành phần có thể được xử lý một cách đồng thời và độc lập.

Vào những năm 1990, các tác giả M. A. Diniz-Ehrhardt, J. M. Martinez,
S.A. Santos, G. Zilli và L. Bergamaschi đã đề xuất một số phương pháp
dạng Cimino giải các hệ phương trình phi tuyến trong không gian hữu
hạn chiều ( [33,34,75]). Nhưng các kết quả này đều phải dựa trên giả thiết
16


ma trận Jacobi của toán tử là hạng đủ. Vì vậy kết quả không mở rộng được
cho trường hợp vô hạn chiều, cũng như không cần kỹ thuật hiệu chỉnh.
Cũng thời gian này, T. Lu, P. Neittaanm¨
aki, và X.-C. Tai ( [55]) đã
nghiên cứu phương trình dạng (2). Rõ ràng nếu có phương pháp phân rã
song song bài toán này thì việc giải sẽ thuận lợi hơn. Ví dụ khi giải phương
trình đạo hàm riêng nhiều chiều với toán tử Laplace, ta có thể tách thành
tổng các toán tử đạo hàm theo từng chiều. Hơn nữa, khi thực hiện trên
máy tính nhiều bộ xử lý, việc giải sẽ tiết kiệm được thời gian hơn. Phương
pháp trong [55] tìm dãy xấp xỉ qua bước trung gian theo công thức
τ Fi (xik ) − fi + xik = xk
xk+1
Dễ thấy bước trung gian tìm

xik

1
=
N

(τ > 0 − đủ bé);
N


Tuy vậy, các phương pháp đã đề cập đều là những phương pháp tuần tự.
P. L. Combettes, H. Attouch, L. M. Brice˜
no-Arias (xem [8,31]) cũng đã
đề xuất một số phương pháp song song cho phương trình dạng (2). Ở đó,
các tác giả sử dụng một công cụ gọi là toán tử điểm gần kề (toán tử proxy).
Để xác định được toán tử này, ta cần giải một bài toán tối ưu lồi. Do đó
không phải mọi trường hợp phương pháp đều có thể thực hiện hiệu quả.
Cho đến nay các bài toán đặt không chỉnh được giải trên máy tính song
song theo nguyên tắc sau: Trước hết nguời ta sử dụng kỹ thuật hiệu chỉnh
để thay bài toán đặt không chỉnh ban đầu bằng các bài toán đặt chỉnh.
Sau đó giải bài toán đặt chỉnh thu được bằng những giải thuật song song
cho đến khi đạt độ chính xác cần thiết, hoặc sử dụng một phương pháp
tuần tự đã có và chỉ tính toán song song cho một số công đoạn, như giải
hệ phương trình đại số tuyến tính, tính tích phân, tìm cực trị phiếm hàm
.v.v. Tức là cách xử lý song song ở mức tính toán tại mỗi bước đã đề cập
đến trong phần trên. Như vậy, trong các phương pháp song song đã có, các
thao tác hiệu chỉnh và phân rã song song cũng như quá trình giải thuộc
các mức khác nhau và không gắn kết với nhau.
Luận án này đề xuất một số phương pháp song song mới cho các
bài toán dạng (1), (2). Điểm khác biệt của các phương pháp này là ở đây,
thao tác hiệu chỉnh hoặc các thao tác phép chiếu - lặp và phân rã song
song được gắn kết với nhau trong một quá trình lặp thống nhất. Nghĩa là,
các thao tác đó được thực hiện trong mỗi bước lặp, một cách đồng thời
cho các bài toán thành phần. Do đó, các thuật toán này có thể áp dụng
trực tiếp cho các bài toán đặt không chỉnh.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án được chia
làm bốn chương.
• Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị và
kết quả bổ trợ cần thiết cùng với một số bài toán minh họa.
• Chương 2 trình bày phương pháp chỉnh lặp ẩn và chỉnh lặp hiện song


Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị, kết quả bổ trợ và
ví dụ minh họa. Mặc dù hầu hết các khái niệm và kết quả đã biết được
xây dựng cho không gian Banach và toán tử đa trị, tuy nhiên để dễ theo dõi
những ứng dụng ở các chương sau, chúng tôi sẽ chỉ trình bày cho không gian
Hilbert. Các khái niệm và kết quả trong không gian Banach chỉ được đề cập
khi thực sự cần thiết cho các chương tiếp theo.
Các khái niệm trình bày dưới đây chủ yếu được tham khảo từ [1–4, 9,
48, 67, 79] và các tài liệu tham chiếu trong đó.

1.1

Khái niệm cơ sở

Xét không gian Banach thực X với đối ngẫu X ∗ , nếu không sợ nhầm lẫn,
ta ký hiệu chuẩn trên các không gian đó đều là · . Với ∀x ∈ X và ∀f ∈ X ∗ ,
ta đặt
f, x := f (x).
Nếu X = H là một không gian Hilbert thực, thì ·, · là tích vô hướng trên
H, và · là chuẩn cảm sinh tương ứng.
Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là không gian phản xạ,
nếu ánh xạ nhúng chuẩn tắc τ : X → X ∗∗ là toàn ánh, trong đó ánh xạ
τ (x)(f ) := f, x với mọi x ∈ X và f ∈ X ∗ .
Không gian X được gọi là lồi chặt (strictly convex) nếu với mọi x, y ∈ X,
x = y = 1 và x = y thì x + y < 2. X được gọi là lồi đều (uniformly
convex) nếu với > 0 bất kỳ cho trước, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi
x, y ∈ X, x ≤ 1, y ≤ 1 và x − y = thì x + y ≤ 2(1 − δ).
20


đều chứa dãy con hội tụ (hội tụ yếu). Trong không gian Banach phản
xạ, mọi tập giới nội đều là compact tương đối yếu.
• C là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C thì đoạn thẳng [x, y] := {z ∈ X : z =
λy + (1 − λ)x, λ ∈ [0, 1]} ⊂ C.
Trường hợp X = H là không gian Hilbert thực, ta có một số tập hợp
đặc biệt sau đây.
• Với mỗi c ∈ R, z ∈ H xác định, z = 0H , tập Hc := {x ∈ H : z, x = c}
được gọi là siêu phẳng (hyperplane) trong H;
21


• Với c ∈ R, z = 0H xác định, tập {x ∈ H : z, x ≤ c} (hoặc {x ∈ H :
z, x ≥ c}) được gọi là nửa không gian (haflspace) của H.
Trong luận án này, chúng ta sẽ xét toán tử F : X → Y , trong đó X và
Y là các không gian Banach thực. Ta ký hiệu miền xác định của F là
Dom(F ) := {z ∈ X ∃y ∈ Y : F (z) = y},
còn miền giá trị của F là
R(F ) := {y ∈ Y ∃x ∈ Dom(F ) : F (x) = y}.
Hai không gian đích thường gặp trong luận án là Y = X hoặc Y = X ∗ .
Toán tử F là tuyến tính nếu nó cộng tính và thuần nhất, tức là với mọi
x, y ∈ Dom(F ) ta có αx + βy ∈ Dom(F ) và F (αx + βy) = αF (x) + βF (y).
Trong trường hợp đó ta viết F x thay cho F (x).
Bây giờ ta xét một số khái niệm về tính liên tục của toán tử. Toán tử
F được gọi là
• liên tục tại x ∈ Dom(F ) nếu với mọi dãy {xn } ⊂ Dom(F ) và xn → x
thì F (xn ) → F (x);
• liên tục theo tia hay h−liên tục (hemi-continuous) tại x ∈ Dom(F )
nếu với tn ∈ R, ∀u ∈ X sao cho x + tn u ∈ Dom(F ), ta có
F (x + tn u) → F (x) khi tn → 0+ ;
• bán liên tục (demi-continuous) tại x ∈ Dom(F ) nếu với mọi dãy

x và yn → y hoặc xn → x và
yn
y khi n → ∞, trong đó (xn , yn ) ∈ G, ta suy ra (x, y) ∈ G. Toán tử
F : X → X ∗ được gọi là bán đóng nếu đồ thị của nó là bán đóng.
Tính chất bán đóng cần để chứng minh một kết quả trong [25] mà ta sẽ
sử dụng trong Chương 2. Ta cũng có các định nghĩa tương đương về tính
bán đóng của một toán tử F : X → X ∗ như sau ( [4]): F là toán tử bán đóng
(demiclosed operator) tại x ∈ Dom(F ) nếu với mọi dãy {xn } ⊂ Dom(F ),
mà xn → x và F (xn )
y ∈ X ∗ , hoặc xn
x và F (xn ) → y ∈ X ∗ khi
n → ∞, thì F (x) = y.
Phiếm hàm ϕ : X → R, là lồi nếu Dom(ϕ) là tập lồi trong X và với mọi
x, y ∈ Dom(ϕ), λ ∈ [0, 1], ta có ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y).
Trong không gian Banach X, ϕ(x) := x 2 là phiếm hàm lồi.
Phiếm hàm ϕ : X → R là nửa liên tục dưới yếu (weakly lower semicontinuous) tại x0 ∈ Dom(ϕ) nếu với mọi dãy {xn } ⊂ Dom(ϕ) và xn
x0 ,
ta có ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ). Chuẩn trong không gian X là phiếm hàm nửa
n→∞

liên tục dưới yếu.
Nếu X là không gian Banach phản xạ và lồi chặt, tập C ⊂ X là lồi
đóng, không rỗng thì với mỗi x ∈ X, phần tử
x∗ := argmin z − x
z∈C

23


xác định duy nhất. Phần tử x∗ được gọi là hình chiếu (metric) của x lên


Từ tính chất (1.2), ta thấy x − PC (x) 2 + PC (x) − z 2 ≤ x − z 2 với
mọi x ∈ H và z ∈ C. Hơn nữa, đánh giá (1.2) cho thấy toán tử chiếu lên
tập lồi PC là không giãn.
Ngoài phép chiếu metric, trong luận án còn sử dụng phép chiếu suy rộng
xây dựng dựa vào khoảng cách suy rộng.
Toán tử J : X → X ∗ xác định bởi
J(x) := {f ∈ X ∗ : f, x = x

2
X

= f

2
X∗}

gọi là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc. Ta cần đến một số tính chất hình học
sau của không gian Banach X và toán tử đối ngẫu chuẩn tắc (xem [30,67]).
Bổ đề 1.2. Cho X là một không gian Banach và J : X → X ∗ là ánh xạ
đối ngẫu chuẩn tắc tương ứng. Ta có các mệnh đề sau.
i) X(X ∗ ) là lồi đều nếu và chỉ nếu X ∗ (X) là trơn đều.
ii) Nếu X là lồi đều, thì nó là phản xạ và lồi chặt. Ngoài ra nó còn có
tính chất Kadec-Klee (hay Efimov-Stechkin), tức là mọi dãy {xn } ⊂ X
thỏa mãn xn

x và xn → x , thì xn → x.
24



Bổ đề 1.4. Cho X là một không gian Banach thực lồi đều và trơn. Với mọi
hằng số r > 0, tồn tại hàm số g : [0, 2r] → R+ liên tục, tăng và g(0) = 0
sao cho
φ(x, y) ≥ g( x − y ) ∀x, y ∈ X : x , y ≤ r.
Bổ đề 1.5. Cho X là không gian Banach thực phản xạ, trơn và lồi chặt, C
là tập lồi đóng khác rỗng trong X. Lúc đó với mọi x ∈ X và z ∈ C, ta có
x∗ = ΠC (x) nếu và chỉ nếu

J(x) − J(z), x∗ − z ≥ 0;

φ(z, ΠC (x)) + φ(ΠC (x), x) ≤ φ(z, x).
25

(1.3)
(1.4)


Tiếp theo chúng ta nhắc lại các khái niệm về tính khả vi của toán tử
(tham khảo [1, 2, 4, 48]).
Toán tử F có Dom(F ) là tập mở, được gọi là khả vi theo Fréchet (hay
khả vi mạnh) tại x ∈ Dom(F ) nếu tồn tại toán tử tuyến tính giới nội
F (x) : X → Y sao cho với mọi h ∈ X thỏa mãn x + h ∈ Dom(F ), ta có
F (x + h) − F (x) = F (x)h + w(x, h),
ở đây w(x, h) / h → 0 khi h → 0. Lúc đó, F (x)h và F (x) tương ứng
được gọi là vi phân Fréchet và đạo hàm Fréchet của F tại x. Toán tử F
gọi là khả vi Fréchet, gọi tắt là khả vi, nếu nó khả vi tại mọi x ∈ Dom(F ).
Đạo hàm và vi phân Fréchet cấp cao cũng được định nghĩa tương tự.
Toán tử F có Dom(F ) là tập mở, được gọi là khả vi theo Gâteaux
(hay khả vi yếu) tại x ∈ Dom(F ) nếu với mọi h ∈ X, t ∈ R thỏa mãn
x + th ∈ Dom(F ), tồn tại giới hạn

(n + 1)!

(1.5)

trong đó θ = θ(y) ∈ (0, 1). Ta gọi (1.5) là công thức Taylor và trường hợp
riêng của nó
F (x + h) − F (x), y = F (x + θh)h, y ,
26

∀y ∈ H