Chuyên đề 5
: Phơng trình bậc hai
Phần II. kiến thức cần nắm vững
1. Công thức nghiệm:
Phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có = b
2
- 4ac
+Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm
+Nếu = 0 thì phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
a
b
2

+Nếu > 0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=
a
b
2
+
; x
2
=
a

> 0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=
a
b
'
+
; x
2
=
a
b
'

3. Hệ thức Vi-ét
a) Định lí Vi-ét:
Nếu x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a0)
thì : S = x
1
+x
2
=
a

a
c

c) Định lí: (đảo Vi-ét)
Nếu hai số x
1
; x
2
có x
1
+x
2
= S ; x
1
.x
2
= P thì x
1
; x
2
là
nghiệm của phơng trình : x
2
- S x+P = 0
(x
1
; x
2
tồn tại khi S
2



)
1
Nếu

..... thì phơng trình vô nghiệm
Nếu

..... thì phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
= .....
Nếu

..... thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=..... ; x
2
= .....
Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề
nào sai
A. Nếu x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình ax
2

a
c
; P = x
1
.x
2
=
a
b
C. Nếu phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có a+b+c = 0 thì
phơng trình có nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
D. Nếu phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có: a-b+c = 0 thì
phơng trình có nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
E. Nếu phơng trình ax

đề sau:
A.Nếu phơng trình ax
2
+bx+c = 0 có a+b+c = 0 thì phơng
trình có 2 nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
B.Nếu phơng trình ax
2
+bx+c = 0 có: a-b+c = 0 thì phơng
trình có 2 nghiệm: x
1
= -1; x
2
=
a
c

C.Phơng trình ax
2
+bx+c=0 có tổng hai nghiệm là
a
b

và tích
hai nghiệm là

3
)x
2
+ 2
3
x 2
3
= 0
Giải:
a) Giải phơng trình x
2
- 49x - 50 = 0
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 1; b = - 49; c = 50)
= (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601;

= 51
Do > 0 nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

1
2
51)49(
1
=

=
x
;

=




===
+==+
50
1
50).1(5049.
50)1(49
2
1
21
21
x
x
xx
xx
Vậy phơng trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2
=
50
1
50
=




1
)32(2
432
1
=

+
=
x
;
)347(
)32(2
432
2
+=


=
x
+ Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn
(a = 2-
3
; b

=
3
; c = 2
3
)

2
+=


=
x
+ Lời giải 3: ứng dụng của định lí Viet
Do a + b + c = 2-
3
+ 2
3
+ (- 2 -
3
) = 0
Nên phơng trình có nghiệm:
x
1
= 1; x
1
=
)347(
32
32
+=



*Yêu cầu:
+ Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng
công thức

2
(1-
3
)x 1 = 0
7.(2+
3
)x
2
- 2
3
x 2 +
3
=
0
8. x
2

x
6 = 0
3
Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phơng
trình
x
2
42x + 441 = 0 (*)
Ta có:

= (- 21)

=
+
xx
xx
x
x
c) 5x
4
+ 2x
2
-16 = 10 x
2
d) 3(x
2
+x) 2 (x
2
+x) 1 = 0
Giải
a) Giải phơng trình x
3
+ 3x
2
2x 6 = 0 (1)
(1) (x
2
- 2)(x + 3) = 0 (x

+
2
)(x

(2)
Với ĐK: x -1; x 4 thì
(2) 2x(x- 4) = x
2
x + 8 x
2
7x 8 = 0 (*)
Do a b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phơng trình (*) có
nghiệm x
1
= -1(không thoả mãn ĐK) ; x
2
= 8 (thoả mãn ĐK)
Vậy phơng trình (2) có nghiệm x = 8
c) Giải phơng trình 5x
4
+ 2x
2
-16 = 10 x
2
(3)
Ta có: (3) 5x
4
3x
2
26 = 0
Đặt x
2
= t (t 0) thì (3) 5t
2

=
5
13
x =
5
13

Vậy phơng trình (3) có nghiệm x
1
=
5
13

; x
2
=
5
13
d) Giải phơng trình 3(x
2
+x) 2 (x
2
+x) 1 = 0 (4)
Đặt x
2
+x = t . Khi đó (4) 3t
2
2t 1 = 0
Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t
1

2
=
3
1

x
2
+x =
3
1

3x
2
+ 3x + 1 = 0 (*)

2
= 3
2
- 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm
Vậy phơng trình (4) có nghiệm x
1
=
2
51

; x
2
=
2
51

2
(x - 3)
2
= (x-
1)(x
2
-2
6.
3
1
.10
1
=
+

+
x
x
x
x
7. (x
2
4x + 2)
2
+ x
2
- 4x - 4
= 0
8.
03

2
6
3
5
2
Bài 4: Cho phơng trình x
2
+
3
x -
5
= 0 có 2 nghiệm là
x
1
và x
2
.
Không giải phơng trình hãy tính giá trị của biểu thức
sau:
A =
22
11
xx
+
; B = x
1
2
+ x
2
2

1
.x
2
=
5

A =
15
5
1
5
3
.
11
21
21
22
=


=
+
=+
xx
xx
xx
;
B = x
1
2

2
2
1
+=

+
=
+
xx
xx
;
D = (x
1
+x
2
)( x
1
2
- x
1
x
2
+ x
2
2
) =
)15333()]5(523)[3(
+=+
* Bài tập tơng tự:
Cho phơng trình x

3

+ x
2
3
E =
2
3
1
3
21
2
221
2
1
55
6106
xxxx
xxxx
+
++
; F =
2
2
1
2
21
2
221
2

(ở đó: S = x
1
+ x
2
=
a
b

; P = x
1
.x
2
=
a
c
)
5
* Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện
tổng quát, giúp học sinh chủ động khi giải loại toán này
Bài 2: Giải phơng trình (giải và biện luận): x
2
- 2x+k = 0
( tham số k)
Giải


= (-1)
2
- 1.k = 1 k
Nếu

1
= 1-
k

1
; x
2
= 1+
k

1

Bài 3: Cho phơng trình (m-1)x
2
+ 2x - 3 = 0 (1) (tham số
m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất
đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm
còn lại(nếu có)?
Giải
a) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =
2
3
(là nghiệm)
+ Nếu m 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có:

=1
2

3
2
1
1
1
=

=


m
+Vậy với m = 1 thì phơng trình có nghiệm duy nhất x =
2
3
với m =
3
2
thì phơng trình có nghiệm duy nhất x = 3
c) Do phơng trình có nghiệm x
1
= 2 nên ta có:
(m-1)2
2
+ 2.2 - 3 = 0 4m 3 = 0 m =
4
3
Khi đó (1) là phơng trình bậc hai (do m -1 =
4
3
-1=

= 6
* Giáo viên cần khắc sâu trờng hợp hệ số a có chứa tham số
(khi đó bài toán trở nên phức tạp vàhọc sinh thờng hay sai
sót)
6
Bài 4: Cho phơng trình: x
2
-2(m-1)x 3 m = 0 ( ẩn số
x)
a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x
1
, x
2
của phơng trình thoả mãn
x
1
2
+x
2
2


10.

0
2
1
2








m
với mọi m;
0
4
15
>
> 0 với mọi m
Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phơng trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu a.c < 0 3 m
< 0 m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P =

Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= -
(m+3)
Khi đó A = x
1
2
+x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 4(m-1)
2