Män hc: Váûn hnh Hãû thäúng âiãûn
Chỉång 2

TÊNH TOẠN PHÁN BÄÚ TÄÚI ỈU CÄNG SÚT TRONG HÃÛ THÄÚNG ÂIÃÛN
BÀỊNG PHỈÅNG PHẠP LAGRANGE

2.1. MÅÍ ÂÁƯU
Cáưn phi xạc âënh sỉû phán bäú täúi ỉu cäng sút giỉỵa cạc nh mạy âiãûn trong hãû
thäúng âiãûn ( cọ thãø chè cọ cạc nh mạy nhiãût âiãûn , hồûc cọ c nhỉỵng nh mạy thy âiãûn )
â âạp ỉïng mäüt giạ trë phủ tằ täøng cho trỉåïc (kãø c cạc täøn tháút) nhàòm náng cao tênh váûn
hnh kinh tãú ca hãû thäúng âiãûn .
Âáy l bi tọan âa chè tiãu:
- Chi phê nhiãn liãûu täøng trong tan hãû thäúng l nh nháút (min)
- Âm bo âäü tin cáûy håüp l
- Cháút lỉåüng âiãûn nàng âm bo...
Gii quút bi tọan âa chè tiãu nhỉ váûy hiãûn nay chỉa cọ mäüt mä hçnh tọan hc
chàût ch, m thỉåìng chè gii quút cạc bi tọan riãng biãût, sau âọ kãút håüp lải.
Vç váûy bi tọan phán bäú täúi ỉu cäng sút giỉỵa cạc nh mạy âiãûn thỉåìng chè xẹt âảt
mủc tiãu quan trng l chi phê nhiãn liãûu täøng trong tan hãû thäúng l nh nháút.

2.2. BI TỌAN LAGRANGE:
Bi tọan âỉåüc phạt biãøu nhỉ sau: Cáưn phi xạc âënh cạc áøn säú x
1
, x
2
,..., x
i
,........ ,x
n

sao cho âảt cỉûc trë hm mủc tiãu :

j
,........ ,x
n
)
≥
0 (2-2)
........................................
g
m
(x
1
, x
2
,..., x
j
,........ ,x
n
)
≥
0

Trong trỉåìng håüp hm mủc tiãu (2-1) l gii têch, kh vi, hãû rng büc (2-2) gäưm
tan âàóng thỉïc v säú nghiãûm khäng låïn ta cọ thãø dng phỉång phạp thãú trỉûc tiãúp âãø gii
bçnh thỉåìng. Khi cạc hãû (2-1) v (2-2) tuún tênh v x
i
≥ 0 ta cọ thãø dng thût tọan qui
hach tun tênh âãø gii nhỉ phỉång phạp hçnh hc, âån hçnh, váûn ti....

Vê dủ :


x
−
=

Thay vo hm mủc tiãu F :

min
2
36
),(
2
1
2
1
2
2
2
121
→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+=+=
x
xxxxxF


0
4
26
4
18
2
2
1
2
>=+=
x
F
∂
∂

nãn hm F âảt cỉûc trë tải :
13
18
*
1
=x
v
13
12
*
2
=x

v khi âọ giạ trë hm mủc tiãu l :


)
→
min (max) (2-3)
v tha mn
g
1
(x
1
, x
2
,..., x
j
,........ ,x
n
) = 0
g
2
(x
1
, x
2
,..., x
j
,........ ,x
n
) = 0
........................................ (2-4)
g
m
(x

Nghiãûm täúi ỉu X
*
opt
ca hm mủc tiãu F cng chênh l nghiãûm täúi ỉu ca hm
Lagrange L(X) v ngỉåüc lải vç g
i
(x
1
, x
2
,..., x
i
,........ ,x
n
) = 0 våïi mi i=1..m.
Vç váûy ta cánư tçm låìi gii täúi ỉu cho hm L(x
1
, x
2
,..., x
i
,........ ,x
n
)

Bi tọan Larange phạt biãøu nhỉ sau:
Hy xc âënh (x
1
, x
2

x
XF
x
XL
∂
∂
λ
∂
∂
∂
∂
(2-6)
våïi j=1..n v tha mn cạc âiu kiãûn rng büc :
våïi
0),.....,,(
21
=
ni
xxxg
mi ,1= (2-7)
Tỉì (2-6) ta cọ n phỉång trçnh v tỉì (2-7) cọ m phỉång trçnh nãn s gii âỉåüc
(n+m) áøn säú x
j
v λ
i
Âãø xạc âënh hm L(X) âảt cỉûc tiãøu hay cỉûc âải ta cáưn phi xẹt thãm âảo hm cáúp
hai ca F(X) hay L(X) tải cạc âiãøm dỉìng â gii ra âỉåüc åí trãn:
Nãúu d
2
L< 0 thç hm F(X) ( hồûc L(X) ) âảt cỉûc âải v ngỉåüc lải nãúu d

ii
xxgxxFxxL
λ

)1
32
(),(
21
1
2
2
2
121
−+++=
xx
xxxxL
λ

Xạc âënh cạc âiãøm dỉìng bàòng cạch gii cạc phỉång trçnh :

0
2
2
)(
1
1
1
=+=
λ
∂

13
18
*
1
=x
v
13
12
*
2
=x

v khi âọ giạ trë hm mủc tiãu l :

13
36
*
=
opt
F
( nhỉ kãút qu â nháûn âỉåüc bàòng phỉång phạp thãú )
Nhọm Nh mạy âiãûn - Bäü män Hãû thäúng âiãûn - ÂHBK Â Nàơng .
16
Mọn hoỹc: Vỏỷn haỡnh Hóỷ thọỳng õióỷn
Xeùt caùc õaỷo haỡm bỏỷc hai taỷi õióứm dổỡng:

02
)(
2
1

, x
2
,..., x
i
,........ ,x
n
cuớa thồỡi gian t sao cho haỡm
muỷc tióu laỡ phióỳm haỡm õaỷt cổỷc trở:
(2-8)
min(max).)',....,',',,....,,,(
1
0
2121
=

dtxxxxxxtFV
t
t
nn
vaỡ thoớa maợn m õióửu kióỷn raỡng buọỹc :
g
1
(t,x
1
, x
2
,..., x
j
,........ ,x
n

j
='
vồùi
nj ,1=
(2-10)
Thaỡnh lỏỷp haỡm Lagrange :
(2-11)

=
+=
m
i
ii
xtgtxtFxtL
1
)],().([),(),(

sau õoù tỗm cổỷc trở cuớa phióỳm haỡm:

(2-12)
min(max).),(
1
0
**
=

dtxtFV
t
t
vồùi (2-13)

⎪
⎪
⎨
⎧
=−
=−
=−
0)'()(
......................................
0)'()(
0)'()(
**
2
*
2
*
1
*
1
*
nn
xf
dt
d
xf
xf
dt
d
xf
xf

∂
∂
∂
(2-15)

Kãút håüp n phỉång trçnh ca hãû (2-14) v m phỉång trçnh rng büc (2-9) ta s gii
âỉåüc (m+n) giạ trë hm x
j
(t) v λ
i
(t) våïi j = [1..n], i = [1..m]. Ngoi ra âãø xạc âënh 2n
hàòng säú têch phán ta s sỉí dủng cạc âiãưu kiãûn âáưu :

njxtxxtx
jjjj
,1 )( ; )(
1100
===
(2-16)

2.3.- PHÁN BÄÚ TÄÚI ỈU CÄNG SÚT GIỈỴA CẠC NH MẠY NHIÃÛT ÂIÃÛN:
Xẹt bi tọan :
Cọ n nh mạy nhiãût âiãûn cung cáúp cho phủ ti täøng P
pt
cäú âënh. Biãút nhỉỵng säú liãûu
vãư âàûc tênh tiãu hao nhiãn liãûu åí tỉìng nh mạy. Cáưn phi xạc âënh cäng sút phạt täúi ỉu
ca mäùi nh mạy P
j
våïi j = [1...n], sao cho chi phê nhiãn liãûu täøng trong hãû thäúng âảt cỉûc
tiãøu, våïi rng büc vãư âiãưu kiãûn cán bàòng cäng sút.

pt
n
j
jptnj
PPPPPPPPPPg
våïi
const= P const;=P ; n1,=j 0
pt
∆≥
j
P
(2-19)
Ta gii bàòng phỉong phạp Lagrange :
Thnh láûp hm Lagrange :

)()()( PgPBPL
λ
+=
(2-20)
Nhọm Nh mạy âiãûn - Bäü män Hãû thäúng âiãûn - ÂHBK Â Nàơng .
18
Mọn hoỹc: Vỏỷn haỡnh Hóỷ thọỳng õióỷn
ióửu kióỷn õóứ haỡm sọỳ L(P) õaỷt cổỷc trở :








P
Pg
P
PB
P
PL





















(2-21)

Giaớ thióỳt :













==+++++= .............
)(
21
(2-23)
vồùi giaớ thióỳt
j k ; 0 =
j
k
P
B


nghộa laỡ chi phờ nhión lióỷu ồớ nhaỡ maùy thổù k khọng phuỷ
thuọỹc vaỡo cọng suỏỳt phaùt ra cuớa nhaỡ maùy thổù j .
Ta õỷt
j
j
j

1
)(
.............
)(
1
1
111
2
1
1
1
==
+
+++=
P
P
P
PP
P
P
P
P
P
P
P
Pg
pt
n



jjj
P
P
P
PP
P
P
P
P
P
P
P
P
P
Pg














(2-26)

111
























n
nnn
P
Pg
P

======
nn
(2-29)

ỏy chờnh laỡ nguyón lyù phỏn bọỳ tọỳi ổu cọng suỏỳt giổợa caùc nhaỡ maùy nhióỷt õióỷn
trong HT.
Khi xem P
pt
= const , P = const thỗ õóứ chi phờ nhión lióỷu tọứng trong hóỷ thọỳng nhoớ
nhỏỳt thỗ cacù nhaỡ maùy phaới phaùt cọng suỏỳt P
j
* tọỳi ổu khi thoớa maợn nguyón lyù cỏn bũng suỏỳt
tng tióu hao nhión lióỷu
j
= const.
Vồùi õỷc tờnh suỏỳt tng tióu hao nhión lióỷu
j
cuớa caùc tọứ maùy phaùt laỡ haỡm khọng
giaớm khi tng cọng suỏỳt phaùt P
j
(thổỷc tóỳ nhổ vỏỷy) ta coù thóứ chổùng minh haỡm muỷc tióu
B(P) õaỷt cổỷc tióứu bũng caùch xeùt thóm caùc õaỷo haỡm cỏỳp hai vaỡ coù õổồỹc:

0)(dhay 0
)(
2
2
2
PL
P

+=+=
=

+=+=
=

+=+=
0)1(
)()()(
.........................................................................
0)1(
)()()(
0)1(
)()()(
2
2
222
1
1
111
n
n
nnn
P
P
P
Pg
P
PB
P


















(2-31)

Nhoùm Nhaỡ maùy õióỷn - Bọỹ mọn Hóỷ thọỳng õióỷn - HBK aỡ Nụng .
20