`Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng II: Dao động cơ học
Chơng II: Dao động cơ học
Phần I: con lắc lò xo
Dạng 1: Lập ph ơng trình dao động
Ph ơng pháp chung:
Giả sử phơng trình dao động có dạng
)cos(

+=
tAx
B ớc 1: Tìm tần số góc dựa vào các thông
số đầu bài cho. (
mk /
=

;
l
g

=

)
B ớc 2: Tìm các giá trị A, dựa vào điều
kiện ban đầu tại thời điểm t=0.
?cos
?sin
?cos
2
==
==
==

kiện ban đầu tại thời điểm t=0.
?sin
?cos
?sin
2
==
==
==



Aa
Av
Ax
Sau khi viết phơng trình dạng Sin, muốn
đổi về dạng Cos ta có thể dùng công thức:
)2/cos()sin(

+=+=
tAtAx
Ví dụ 1: Con lắc lò xo có khối lợng m=2kg, treo vào lò xo có độ cứng k=200N/m. Viết ph-
ơng trình dao động trong các trờng hợp:
1. Kéo vật lệch ra khỏi vị trí cân bằng theo chiều dơng một đoạn 5cm, rồi thả nhẹ.
2. Kéo vật lệch ra khỏi vị trí cân bằng theo chiều âm một đoạn 5cm, rồi truyền cho vật
một vận tốc ban đầu 50cm/s theo chiều dơng.
Bài làm
Cách viết ph ơng trình d ới dạng Cos:
Giả sử phơng trình dao động có dạng
)cos(


, kết hợp (1), ta chọn nghiệm
0
=

cmA 5
=
Vậy phơng trình dao động là:
)(10cos5 cmtx
=
. Hoặc đổi về sin:
cmtx )
2
10sin(5

+=
.
Cách làm nhanh loại bài toán kéo ra khỏi vị trí cân bằng rồi buông nhẹ là:
- Đoạn kéo ra chính là biên độ.
- Nếu kéo vật theo chiều dơng thì
0
=

; nếu kéo vật theo chiều âm thì

=
2.Tìm A và dựa vào trạng thái dao động ban đầu (t=0). (Chú ý x và v phải cùng đơn vị).
Ta có:





A
A
)2(
)1(
Lấy (1):(2) ta đợc:
1cot
=

g
4
3
4




==
.
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04..33.52.86.81-0989.345.975 Trang 19
`Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng II: Dao động cơ học
Kết hợp (1), chọn nghiệm
4
3


=
cmA 25
=
.




==
==
0cos
5sin


Av
Ax

)2(
)1(
Từ (2)
2


=
, kết hợp (1), ta chọn nghiệm
2


=
cmA 5
=
Vậy phơng trình dao động là:
cmtx )
2
10sin(5




==
==

50cos.10.
5sin


Av
Ax



=
=

5cos
5sin


A
A
)2(
)1(
Lấy (1):(2)
1
=


Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà với chu kỳ T=2s, lấy
2
=10. Tại thời điểmban đầu t=0
vật có gia tốc a=-0,1m/s
2
, vận tốc
3v

=
cm/s. Phơng trình dao động của vật là:
A.x=2sin(t-2/3)cm. B. x=2cos(t+/3)cm. C.x=2cos(t+2/3)cm. D. x=2sin(t-/6)cm.
Bài làm
Giả sử phơng trình dao động có dạng
)cos(

+= tAx
. Ta có:
)(/2 sT

==
Tại thời điểm (t=0). Ta có:





==
==
10cos
3sin

)1(
Lấy (1):(2) 3=

tg
3
2
3




==
, kết hợp (1), chọn nghiệm
3


=
cmA 2
=
.
Vậy phơng trình dao động là:
cmtx )
3
cos(2


+=
.
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04..33.52.86.81-0989.345.975 Trang 20
`Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng II: Dao động cơ học

bằng.
Bài làm
Tại vị trí cân bằng, ta có:
2

g
g
k
m
k
mg
l === )/(10
1,0
10
srad
l
g
==

=

1. Giả sử phơng trình dao động có dạng
)cos(

+= tAx
. Ta có:
Tìm A và dựa vào trạng thái dao động ban đầu (t=0). (Chú ý x và v phải cùng đơn vị).
Ta có:





A
A
)2(
)1(
Lấy (1): (2) 3cot =

g
6
5
6




==
, kết hợp (1), chọn nghiệm
6


=
cmA 4
=
Vậy phơng trình dao động là:
cmtx )
6
10cos(4

+=

+=
(N) ;
).(
min
AlkF
=
(N)
Chú ý: Trong các biểu thức tính F
max
, F
min
, nếu k có đơn vị là N/m thì các
giá trị A, l phải có đơn vị m.
Trờng hợp
lA

thì F
min
tính ra <0 thì lấy F
min
= 0.
AA
K
+x
O
lo
l
4.Ta có:
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04..33.52.86.81-0989.345.975 Trang 21
`Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng II: Dao động cơ học

Bài làm:
Gọi ly độ kéo vật tại thời điểm ban đầu là x, ta có:
2
2
22

v
xA
+=
2
2
22
10
60
10
+=
x
cmx 8
=
.
Độ cứng của lò xo:
mNmk /1010.1,0
22
===

Vậy lực kéo vật tại thời điểm ban đầu là:F=kx=10.0,08=0,8N.
Pha ban đầu của dao động:
Tại thời điểm t=0, ta có:



hayAv
Ax


B ớc 2: Giả sử tại thời điểm t vật ở vị trí đích. Thiết lập hệ phơng trình để tìm ra t:



<=>+=
=+=
00,0)sin(
?)cos(
haytAv
tAx


Ví dụ 1: Cho con lắc dao động với phơng trình
)cos(

+=
tAx
, tính thời gian con lắc di
chuyển từ vị trí có li độ
2
3A
x
=
đến vị trí có li độ
2
A

cos


Av
A
Ax
6
5


=
Tại thời điểm t, ta có:







>=
==
0)
6
52
sin(
2
)
6
52
cos(

4/
)2/2/3(
T
AA
t
S
v
tb
+
==
Cách tìm thời gian nhanh bằng
giản đồ:
3
3
-1
-1
(
5
6
)
(
3
4
)
(
2
3
)
2
2

0
1
(

2
)
1
3
1
2
0
1
2
3
1
Sin
Tg
Cos
Cotg

2

3

6

6

3
3

/2





=

=
á p dụng:
Tra các góc trên trục cos ta có:
2
)
6
5
(
3


=

=
;
(Tra các góc trên trục sin ta đợc:
263


=+=
)


`Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng II: Dao động cơ học
Nhận thấy
2
2220
155
>
Vu
. Vậy có thể coi bài toán nh sau:Biểu thức hiệu điện thế đặt
vào hai đầu bóng đèn có dạng:
)cos(

+=
tAu
. Bóng đèn sẽ sáng khi hiệu điện thế hai
đầu bóng đèn đạt giá trị
2
A
u

. Nói cách khác bóng đèn sẽ tối khi
2
A
u
<
hay
22
A
u
A
<<

2
3/
3/2
==
T
T
T
T
T
S
.
Ví dụ 3: Cho con lắc lò xo dao động với phơng trình
).cos(

+=
tAx
Tính qu ng đã ờng lớn
nhất vật đi đợc trong khoảng thời gian 1/4 chu kỳ?
A.
2
3
A
B.
A
C.
2A
D.
3A
Bài làm
Trong khoảng thời gian 1/4 chu kỳ, vật sẽ đi đợc qu ng đã ờng lớn nhất khi trên qu ng đã ờng

?cos
hayAv
Ax


Hoặc:



><=
==
00cos
?sin
hayAv
Ax


B ớc 2: Tính chu kỳ dao động T và viết biểu thức thời gian dao động t theo T.
B ớc 3: Biểu diễn quá trình dao động lên hình vẽ và đếm số lần vật đi qua vị trí cần xét.
Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa theo phơng trình
)
6
5sin(


+= tAx
cm. Trong
một giây đầu tiên từ thời điểm t=0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x=A/3 mấy lần?
A. 7 lần. B. 6 lần. C. 4 lần. D. 5 lần.
Bài làm

===




Vậy: t=1s=2,5T
O-A A
A/3 A/2
1
2
3
4
5
A 3
2
- Trong 1s đầu tiên bằng 2,5T ta biểu diễn quá trình chuyển động của con lắc nh trên
hình vẽ:
Kết luận: Con lắc đi qua vị trí có tọa độ x=A/3 tổng cộng 5 lần.
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phơng trình
)3/4cos(5

+=
tx
(cm). Tính tốc độ
trung bình của vật trong khoảng thời gian kể từ thời điểm ban đầu đến khi vật đi qua vị
trí cân bằng theo chiều dơng lần thứ nhất.
Bài làm
Tại thời điểm ban đầu t=0, ta có:



72
.
12
7
12
7
122
s
TTT
t
====+=




(s).
Vậy tốc độ trung bình của vật là:
)./(2,1)/(120
24/7
35
smscm
t
S
v
TB
====
Ví dụ 3: Dòng điện xoay chiều qua một đoạn mạch có biểu thức
At
T
Ii )

3
cos(
00
0
0
I
T
I
T
i
I
Ii


Vậy hàm số đồng biến (i đang tăng).
Quá trình biến đổi điều hòa của dòng điện đợc mô tả nh trên hình vẽ.
Sử dụng vòng tròn đơn vị, tính toán thời gian dao động, ta đợc:
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04..33.52.86.81-0989.345.975 Trang 25
`Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng II: Dao động cơ học
Tổng thời gian dòng điện đ thực hiện dao động đến khi qua vị trí đạt giá trị dòng điệnã
hiệu dụng lần thứ 2010 là:
)(
24
24103
86
)1
2
32009
( s
TTT

- Động năng:
)22cos(
4
1
4
1
)(sin
2
1
2
1
222222

+=+==
tkAkAtmAmvE
d
(J) (1)
- Thế năng:
)22cos(
4
1
4
1
)(cos
2
1
2
1
22222


+=
(4)
Ví dụ1: Cho con lắc dao động với phơng trình
)sin(

+=
tAx
. Tìm vị trí mà tại đó động
năng gấp n lần thế năng.
Bài làm
áp dụng định luật bảo toàn năng lợng ta có:
22
2
1
)1(
2
1
)1(
kxnkA
EnEnEEEE
ttttd
+=
+=+=+=
1
+
=
n
A
x
Ví dụ 2: Con lắc lò xo dao động trên mặt phẳng nằm ngang không có ma sát. Vật có khối

A

)1(
Tại thời điểm t=0, ta có:



==
==
2cos
1,0sin
2


Aa
Av
)3(
)2(
Từ (1), (2)
2
1
sin
=


6
5
6



1
2
1
2
1
AmkAmVE

===
Lực phục hồi cực đại:
kAF
=
max
AFkAE .
2
1
2
1
max
2
==
cmm
F
E
A 410.4
10.5,1
10.3.22
2
3
5
max



==
<=

22
2cos4
0sin


a
Av
)2(
)1(
Từ (2)
2
1
cos
=

3


=
. Kết hợp (1) ta chọn nghiệm
3


=
.

===
Dạng 6: Bài tập về tổng hợp dao động điều hoà
Ph ơng pháp chung
Để tổng hợp hai dao động điều hoà, thì hai dao động thành phần phải cùng đợc viết dới
dạng sin hoặc cos. Chúng ta có thể đổi sin về cos hoặc ngợc lại theo công thức:
)2/cos()sin(

+=+=
tAtAx
)2/sin()cos(

++=+=
tAtAx
Biên độ dao động tổng hợp:
)cos(2
21
2
2
2
1
2

++=
AAAAA
(1)
Pha ban đầu của dao động tổng hợp:
2211
2211
coscos
sinsin

Trớc tiên đổi x
1
, x
2
về cùng dạng cos ta có :
cmttx )2/3/210cos(5)3/210sin(5
1

+=+=
. Vậy:



+=
+=
cmtx
cmtx
)2/10cos(5
)6/10cos(5
2
1


Biên độ dao động tổng hợp:
75)
3
cos(5.255)cos(2
222
21
2

+
=





AA
AA
tg
3/23/

==
Chú ý: Phải chọn ra một nghiệm . Trong tổng hợp dao động bằng phơng pháp véc tơ
quay thì góc phải nằm kẹp giữa góc
1
và
2
. Vậy ta chọn nghiệm
3/

=
. (Kinh nghiệm
chọn các góc nằm trong các góc 1/4 số (I ) và (IV)).
Phơng trình dao động tổng hợp là:
cmtx )3/10cos(35

+=
Ví dụ 2: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động tổng hợp có dạng:


32,1
max
====

2
2
2
2
2
21
2
2
2
1
2
)36()
3
2
cos(.6.26)cos(2
=++=++=


AAAAAAA
0726
2
2
2
=
AA
cmAcmA 126

A 33)(10..33
15.2,0
06075,0.22
2
22
====


Mặt khác:
)cos(2
21
2
2
2
1
2

++=
AAAAA
)2/1.(.3.2327
2
2
2
2
AA ++=
0183
2
2
2
=+


+= B. ))(6/10cos(35 cmtx

=
C.
))(6/10cos(5 cmtx

+=
D. ))(6/10cos(35 cmtx

+=
Bài làm
Đặt
)6/10sin(5)6/510sin(5)6/510sin(5
23

+=+===
tttxx

Ta có:
))(3/10cos(5)2/6/10cos(5)6/10sin(5
3
cmtttx

=+=+=
Vậy
312121
xxxxPP
+==
x

6


=
Vậy
))(6/10cos(35
21
2
1
cmtxxPP

==
Dạng 7: Bài tập về chu kỳ và tần số dao động
Ví dụ 1: Gắn vật có khối lợng m
1
vào một lò xo có khối lợng không đáng kể, lò xo dao động
với chu kỳ T
1
bằng 1s. Khi gắn vật có khối lợng m
2
vào lò xo trên, chu kỳ dao động của vật
là T
2
=0,5s. Tìm m
2
=?
Bài làm
Ta có



Ví dụ 2: Lò xo có độ cứng k, khối lợng m
1
thì chu kỳ dao động là T
1
. Lò xo có độ cứng k,
khối lợng m
2
thì chu kỳ dao động là T
2
.
a. Gắn vật có khối lợng m=(m
1
+m
2
) thì chu kỳ dao động T=?
b. Gắn vật có khối lợng
21
mmm
=
thì chu kỳ dao động T=?
Bài làm
a. Ta có









2
2
1
).2(.4 T
k
mm
k
mm
TT
=
+
=
+
=+


2
2
2
1
TTT
+=
(1).
b. Tơng tự: gắn vật có khối lợng
21
mmm
=
thì chu kỳ dao động:
2
2

1
và l
2
có độ cứng
tơng ứng là k
1
, k
2
. Biết l
1
/l
2
=3/2. Vật có khối lợng m=100g.
1. Tìm độ cứng k
1
, k
2
và độ cứng k
h
của cả
hệ hai lò xo đó khi mắc chúng song song?
2. Hai lò xo trên đợc bố trí với sơ đồ nh hình
vẽ (hình a). Khi vật ở vị trí cân bằng, tổng
độ gi n của hai lò xo là 5cm. Tìm độ biếnã
dạng của mỗi lò xo khi vật ở vị trí cân
bằng?
1
K K
2
m

1

l
2
l
02
x
6cm4cm
O
m
2
K
K
1
Hình b
Bài làm
1. Độ cứng k
1
, k
2
đợc tính theo công thức:
1111
lklklk
oo
==
5
2
.
5
3

2
5
/100
3
60.5
3
5
2
1
Độ cứng của hệ lò xo:
mNkkk
h
/250150100
21
=+=+=
2. Gọi
1
l

,
2
l

lần lợt là độ biến dạng của mỗi lò xo khi vật ở vị trí cân bằng, ta có:





=+

ll




=
=
ml
ml
02,02
03,0
1
3. Giả sử phơng trình dao động của hệ có dạng
)cos(

+=
tAx
. Ta có:
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04..33.52.86.81-0989.345.975 Trang 30
`Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng II: Dao động cơ học
)/(50
1,0
250
srad
m
k
h
===

.

=

3sin
3cos


A
A
)2(
)1(
Lấy (1):(2)

1cot
=

g
4
3
4




==
.
Kết hợp (1), ta chọn nghiệm
4
3








=+
=+
0
21
2121
FF
llll




=
=+
0
)(
21
2121
FF
llll



=
=+


m
k
h
==
+
==

.
Tìm A và dựa vào trạng thái dao động ban đầu (t=0). (Chú ý x và v phải cùng đơn vị).
Ta có:



==
==
3200sin
4cos


Av
Ax




==
==

3200sin.50.
4cos





==
.
Kết hợp (1), ta chọn nghiệm
3
2


=
cmA 8
=
Vậy phơng trình dao động là:
cmtx )
3
2
50cos(8

=
.
Dạng 9: Bài toán lò xo mắc nốt tiếp
Ph ơng pháp chung
- Lò xo mắc nối tiếp là loại lò xo đợc mắc dới dạng nh hình vẽ, có thể đặt nằm ngang,
thẳng đứng hoặc nằm xiên góc.
- Độ cứng của hệ hai lò so sau khi ghép nối tiếp:
21
111
kkk

x
O
m
K2
K 1
P
c
o
s

P
s
i
n

P

Bài làm
1. Độ cứng của hệ lò xo:
)/(20
6030
60.30
21
21
mN
kk
kk
k
h
=

k
mg
l
cmm
k
mg
l
o
o
1)(01,0
60
30sin.10.12,0sin
2)(02,0
30
30sin.10.12,0sin
2
2
1
1


3. Giả sử phơng trình dao động của hệ có dạng
)cos(

+=
tAx
. Ta có:
)/(
3
500

cmA 10
=
Vậy phơng trình dao động là:
cmtx )
3
500
sin(10

+=
.
Dạng 10: Dạng bài toán về đồ thị dao động
Kiến thức cơ bản:
- Các đồ thị dao động điều hòa của ly độ (x), của vận tốc (v) và của gia tốc (a) biến thiên
điều hòa theo hàm sin và cos với chu kỳ T.
- Các đồ thị của động năng và thế năng biến thiên điều hòa theo hàm sin và cos với chu
kỳ T/2. Do đó đồ thị của các đại lợng này có dạng nh hình vẽ.
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04..33.52.86.81-0989.345.975 Trang 32
`Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng II: Dao động cơ học




- Để giải các bài toán về đồ thị, chúng ta phải quan sát trên đồ thị nhằm tìm ra các quy
luật sau:
+ Tìm biên độ dao động A, A hoặc A
2
bằng bao nhiêu.
+ Tìm chu kỳ dao động của đồ thị.
+ Tìm thời điểm lúc t=0 thì x=?; v=?; a=? để nhằm tìm đợc pha ban đầu .
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà có đồ thị nh hình vẽ. Phơng trình dao động của vật là:

Giả sử phơng trình dao động có dạng
)cos(

+= tAx
+ Từ đồ thị ta thấy biên độ A= 4cm.
x
t(s)
-4
2,5
O
4
(cm)
2
+ Lúc t=0 vật có ly độ x=2 và ly độ x tăng (hàm x đồng biến), vậy x=v>0, ta có:




>=
===
0sin
2cos.4cos


Av
Ax
)2(
)1(
Từ (1)
5,0cos =

=
t
. Kết hợp (4)
2/3/

=
t 6/5

=
t
)/(
35,2
6/56/5
srad
t


===
Vậy phơng trình dao động của vật là:
cmtx )
33
cos(4

=
. Đáp án C.
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà có đồ thị vận tốc nh hình vẽ. Phơng trình dao động
của vật là:
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04..33.52.86.81-0989.345.975 Trang 33