www.nguoithay.org
WWW.NGUOITHAY.COM
ÔN BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
Bài 1
Chøng tá r»ng víi
,0ab
th×:

2
( )( ) ( ) (1)ax by bx ay a b xy   

Gi¶i
2 2 2 2 2 2
22
2
(1) 2
( 2 ) 0
( ) 0
abx a xy b yx bay a xy abxy b xy
ab x y xy
ab x y
      
   
  

BÊt ®¼ng thøc lu«n ®óng v×
,0ab
.

Bài 2
Cho

1
( )( )
1
( )( )( ) 0
c a b ab b a c b a
abc
b a ca cb ab c
abc
b a c b c a
abc

     

    
    

V×
0 abc  
.
VËy
a b c b c a
b c a a b c
    Bài 3
www.nguoithay.org
WWW.NGUOITHAY.COM
Víi
, , 0abc

bc ca ab a b c
    
.

www.nguoithay.org
WWW.NGUOITHAY.COM
Bài 4
Chøng minh r»ng mäi a,b,c,d th× :

2 2 2 2
1 (1)a b c d a b c d       

Gi¶i
 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
(1) 1 ( ) 0
( ) ( ) ( ) 1 0
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 0
2 2 2 2
         
         
        
a b c d a b c d
a a b b c c d d
a b c d

VËy :

a a a b b b a b
            
         
           

Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.
V×:

2 2 2
2 2 2
( 1) 0 ( 1) ( 1) 0
( 1) 0 ( 1) ( 1)
2 2 0
a a a a
b b b b
a b a b
      
     
     Bài 6
www.nguoithay.org
WWW.NGUOITHAY.COM
Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc d-¬ng x,y,z ta cã:

2 2 2
2 2 2
(
33


2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3
3
3
( ) (( 3 1) )
( )( )
( )(3
3 1 3 1 1 3 3
3 3 9
3
xyz x y z x y z xyz x y z
x y z xy yz zx
x y z xyz
xyz
xyz
       

   

  


DÊu “=” x¶y ra khi x=y=z

www.nguoithay.org
WWW.NGUOITHAY.COM
Bài 7

a b 2
Chøng minh r»ng:
44
a b 2

Gi¶i
¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki cho 4sè 1,1,a,b ta cã:

2 2 2 2 2
2 2 2
22
22
(1.a 1.b) (1 1 )(a b )
(a b) 2(a b )
4 2(a b )
2 a b
   
   
  
  

¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki cho 4sè 1,1,a
2
,b
2
ta cã:    
    

b a a c c b
            
       

V× :
ab
2
ba
ca
2
ac
bc
2
cb



Nªn:
a b c a b c
3 ( ) ( ) ( ) 9
b a a c c b
      www.nguoithay.org
WWW.NGUOITHAY.COM
Bài 10


22
2
b d b d ab cd
4
c d a b (a b c d)
  

    

Céng vÕ theo vÕ ta cã:

2 2 2 2
2
a b c d a b c d ad bc ab cd
4
b c c d a d a b (a b c d)
      
   
      

Ta chøng minh:

2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
22
a b c d ad bc ab cd
42

33
33
a a a
1 3 (1)
b
bb
b b b
1 3 (2)
c
cc
33
33
c c c
1 3 (3)
a
aa

Cộng vế theo vế (1) (2) và (3) ta có:

3 3 3
3 3 3
a b c a b c a b c
2( ) 3 2( )
b c a b c a b c a
a b c
2( ) 3
b c a

1 1 1 b c
11
1 a 1 b 1 c 1 b 1 c
     
    

¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si:


  

  
1 bc
2
1 a (1 b)(1 c)
1 ac
2
1 a (1 a)(1 c)
  
1 ab
2
1 c (1 a)(1 b)

Nh©n l¹i ta ®-îc:
1 8abc
(1 a)(1 b)(1 c) (1 a)(1 b)(1 c)





1 1 1 1
1 1 1 1 3 4
1 a 1 b 1 c 1 d
a b c d
1
1 a 1 a 1 a 1 a





a(1 b) b(1 a) c(1 d) d(1 c)
1
(1 a)(1 b) (1 c)(1 d)
a b 2ab c d 2cd
1 a b ab 1 c d cd

áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

2 ab 2ab 2 cd 2cd 2 ab 2 cd
1
1 2 ab ab 1 2 cd cd 1 ab 1 cd






Bi 14
www.nguoithay.org
WWW.NGUOITHAY.COM
Cho
a,b,c,d R
và
a b 2cd

Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau đây là đúng

22
c a,d b

Giải
Giả sử hai bất đẳng thức trên đều sai, có nghĩa ta đ-ợc :


2
ca
và
2
db
a(2 a) 1
b(2 b) 1
c(2 c) 1




Giải
Giả sử các bất đẳng thức sau đều đúng, nhân ba đẳng thức lại ta đ-ợc

a(2 a)b(2 c)c(2 c) 1

Mà
22
0 a(2 a) 2a a 1 (a 1) 1

T-ơng tự ta có:

0 b(2 b) 1
0 c(2 c) 1



Suy ra:

abc(2 a)(2 b)(2 c) 1

Mâu thuẫn
Vậy có ít nhất một trong các bất đẳng thức đã cho là sai





Trái với giả thiết a
6
<108. Vậy phải có 3 số a,b,c thoã mãn a<bc; b<ca; c<ab

www.nguoithay.org
WWW.NGUOITHAY.COM
Bi 17
Cho các số thực a,b,c thoã mãn điều kiện:

a b c 0 (1)
ab+bc+ca>0 (2)
abc>0 (3)









Chứng minh rằng: a,b,c >0
Giải
Giả sử trong 3 số thực a,b,c đã cho có một số âm hay bằng 0, giả sử số đó là
a0
mà không làm mất đi tính tổng quát của bài toán. Ta có:


(a c)b ca (a c) ac (a ac c )
ab bc ca 0




Vì :
22
(a ac c 0 a,b,c R)

Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy 3 sô a,b,c đều là số d-ơng.

Bi 18
Cho
a,b,c,d R
Với
2
a c 1 d
Và
2
b d 1 c

Chứng minh rằng
a b 1

Giải
Với:
2
a c 1 d

với
, 0;
2



22
a c 1 d cos 1 cos cos sin

Và
22
b d 1 c cos 1 cos cos sin a b cos sin cos sin
sin( ) 1



Vậy:
a b 1www.nguoithay.org
WWW.NGUOITHAY.COM
Bi 19
Chứng minh rằng:

2
22
22
sin sin
(1 )sin a 2 cos a
(1 x )sin a 2x cos a
cos cos
sin
1x
(1 )
cos
(cos sin )sin a 2 sin cos cos a

cos sin
cos2 sin a sin 2 cosa










sin(a 2 ) 1 Bi 20
Chứng minh rằng nếu




Do
2 2 2 n
2 2 2 n
2 n 2 n
t t t
0 cos 1 cos (cos )
2 2 2

t t t
0 sin t sin (sin )
2 2 2
tt
1 (cos ) (sin )
22










(1)
đúng
Vậy bất đẳng thức đã đ-ợc chứng minh.

sin
2
cos22.
2
cos
2
sin21
33














2
cos
2
sin1
2
sin
2
cos

















1cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
22