CHƯƠNG IV:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COSIN (PHƯƠNG
TRÌNH CỔ ĐIỂN)

()
()
asinu bcosu c * . a,b R\ 0+= ∈
Cách 1 : Chia 2 vế phương trình cho
+
≠
22
ab 0
Đặt
[]
22 22
ab
cos và sin với 0,2
ab ab
α= α= α∈ π
++

()
()
22
22
c
Thì * sin u cos cosu sin
ab
c
sin u

)
(
)
2
b c t 2at c b 0 1 với b c 0⇔+ − +−= +≠
Phương trình có nghiệm
(
)
(
)
2
'a cbcb 0
⇔
Δ= − + − ≥

222 222
acb abc⇔≥−⇔+≥
Giải phương trình (1) tìm được t. Từ
u
ttg
2
=
ta tìm được u.

Bài 87
: Tìm
26
x,
57
ππ

⇔−=+π −=+
3
7x k2 hay 7x h2
64 6 4
π
,
(
)
∈k, h Z

ππ ππ
⇔= + = + ∈

5k2 11h2
xhayx ,k,
84 7 84 7
h

Do
26
x,
57
π
π
⎛
∈
⎜
⎝⎠
⎞
⎟

(
)
3
3sin3x 3cos9x 1 4sin 3x *−=+
Ta có :
()
()
3
* 3sin 3x 4 sin 3x 3 cos 9x 1
⇔
−−=

sin 9x 3 cos 9x 1⇔− =

13
sin 9x cos 9x
22
⇔−
1
2
=
1
sin 9x sin
32
ππ
⎛⎞
⇔−==
⎜⎟
⎝⎠
6

Lúc đó :
()
sin x 2
* sin 2x cos 2x 4 cos x 0
cos x cos x
⇔− − + −=

2
sin x sin 2x cos x cos x cos 2x 4 cos x 2 0⇔− − + −=
()
2
sin x 1 2cos x cos x cos 2x 2cos2x 0⇔− − + =
=
≠

sin x cos2x cos x cos2x 2 cos2x 0⇔− − + =

⇔=−−+cos2x 0 hay sinx cosx 2 0

()
()
⎡
==−=
⎢
⇔
⎢
+= +<
⎢
⎣
2

()
()
⇔− = +
⇔− = −
⇔− + = −
⇔=− +
π
⎛⎞
⇔=+
⎜⎟
⎝⎠
ππ
⇔=++π∨=−−+
πππ
⇔=+π∨=− + ∈
41 cos2xcosx 3sinx cosx
4 cos 2x cos x 3 sin x 3 cos x
2 cos 3x cos x 3 sin x 3 cos x
31
cos 3x sin x cosx
22
cos 3x cos x
3
3x x k2 3x x k2
33
k
xkx ,k
6122
π


⎝⎠
ππ
⇔=++π∨=−−+
πππ
⇔=+π∨=− + ∈
π

cos 3x cos x
3
3x x k2 3x x k2
33
k
xkx ,k
6122Bài 91 : Giải phương trình
(
)
9sin x 6cos x 3sin 2x cos 2x 8 *+− +=

Ta có : (*)
(
)
2
9sinx 6cosx 6sinxcosx 1 2sin x 8
⇔
+− +− =

()()

6 cos x 2 sin x 7 voõ nghieọm do 6 2 7
=+
xk2,k
2

Baứi 92
: Giaỷi phửụng trỡnh:
()
sin 2x 2cos 2x 1 sin x 4 cos x *+=+
Ta coự : (*)
(
)
2
2sinxcosx 2 2cos x 1 1 sinx 4cosx+=+

()
++=

++=


= + += +<
2
222
2sinxcosx sinx 4cos x 4cosx 3 0
113
2 sin x cos x 4 cos x cos x 0

++=

+


+=
= += +<
2
222
2 cos x 2 sin x 1 2 sin x 7 sin x 3 0
1
2 cos x 2 sin x 1 2 sin x sin x 3
2
2 cos x 2 sin x 1 2sin x 1 sin x 3 0
2 sin x 1 0 hay 2 cos x sin x 3 0 voõ nghieọm vỡ 1 2 3

=+= +

5
xk2x k2,k
66Baứi 94 : Giaỷi phửụng trỡnh
(
)
sin 2x cos 2x 3sin x cos x 2 *=+

Ta coự (*)
(

⇔=+ π∨= + π −=±+ π ∈

5
x k2 x k2 hay x k2 , k
66 44

ππ π
⇔=+π∨= +π =+π∨=π∈

5
x k2 x k2 hay x k2 x k2 , k
66 2

Bài 95 : Giải phương trình
()
()
2
sin 2x 3 cos2x 5 cos 2x *
6
π
⎛⎞
+−=−
⎜⎟
⎝⎠

Đặt
t sin 2x 3 cos2x=+
, Điều kiện
ab t ab−+=−≤≤=+
22 22

cos 2x 1
6
π
⎛⎞
−=−
⎜⎟
⎝⎠

π
π
⇔−=π+π⇔=+
7
2x k2 x k
61
π
2

Bài 96 : Giải phương trình
(
)
++=
3
2cos x cos2x sin x 0 *
Ta có (*)
32
2cos x 2cos x 1 sinx 0
⇔
+−+=

(

π
⇔
=+ π =−+ π∈¢Bài 97 : Giải phương trình
()
2
1cos2x
1cot
g
2x *
sin 2x
−
+=

Điều kiện :
sin2x 0 cos2x 1≠⇔ ≠±
Ta có (*)
2
1cos2x 1
1cotg2x
1cos2x
1cos2x
1
cot g2x 1
1cos2x
cos2x cos2x
sin 2x 1 cos2x
−

cos2x 0 sin 2x sin
44
2
5
2x k 2x k2 2x k2 ,k
244 44
ππ
⎛⎞ ⎛⎞
⇔=∨ +=−=−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
πππ ππ
⇔=+π∨+=−+π∨+= +π∈¢

()
k
xxk2xk2loại,
42 4
k
x,k
42
ππ π
⇔=+ ∨==−+π∨ =π+ π ∈
ππ
⇔=+ ∈
¢
¢
k
ππ
⎛⎞
⇔−=
⎜⎟
⎝⎠
ππ
⇔−=±+π
cos4x 3 sin 4x 1
131
cos4x sin 4x
22
2
cos 4x cos
33
2
4x k2
33
−
2

4x k2 hay 4x k2 ,k
3
xkhayx k,k
42 122
π
⇔=π+π =−+π∈
ππ π π
⇔=+ =− + ∈
¢
¢

Bài 99 : Giải phương trình
()
33
1
1 sin 2x cos 2x sin4x *
2
++ =

Ta có (*)
()( )
1
1 sin2x cos2x 1 sin2x cos2x sin4x
2
⇔+ + − =

()
11
1 sin 4x sin2x cos2x 1 sin4x 0
22
1
1 sin 4x 0 hay 1 sin 2x cos2x 0
2
⎛⎞
⇔− + + − =
⎜⎟
⎝⎠
⇔− = + + =(

⇔+=−
⎜⎟
⎝⎠
ππ
⎡
+=−+ π
⎢
⇔∈
⎢
ππ
⎢
+= +π
⎢
⎣
ππ
⇔
=− + π∨ = + π ∈¢Bài 100 : Giải phương trình
(
)
(
)
t
g
x3cot
g
x4sinx 3cosx*−=+


⇔+ − − =
⎡
=−
⎢
⇔
⎢
−=
⎢
⎣

tgx 3 tg
3
sin x sin 2x
3
xkx2xk2x 2xk2,k
33 3
⎡π
⎛⎞
=− = −
⎜⎟
⎢
⎝⎠
⎢
⇔
⎢
π
⎛⎞
−=
⎢
⎜⎟

()
23
23
2
sin x sin x 1 cos x cosx 0
sinx cos x cos x cosx 0
cosx 0 hay sin x cosx cos x 1 0
cosx 0
sin2x cos2x 3 vô nghiệm do 1 1 9
x2k1,kZ
2
⇔−++=
⇔− + + =
⇔= − + +=
=
⎡
⇔
⎢
−+ =− +<
⎣
π
⇔= + ∈Bài 102 : Giải phương trình
()
44
1
cos x sin x *
44

cos 2x cos
44
2
3
2x k2
44
xkx k,k
24
⇔+ ++ =
⇔+=−
ππ
⎛⎞
⇔−=−=
⎜⎟
⎝⎠
ππ
⇔−=±+π
ππ
⇔=+π∨=−+π ∈ZBài 103 : Giải phương trình
()
33
4sin x.cos3x 4 cos x.sin 3x 3 3 cos4x 3 *++=
Ta có : (*)
(
)
(
)


sin 4x sin
36
5
4x k2 4x k2 , k
36 3 6
kk
xx,k
24 2 8 2
ππ
⎛⎞
⇔+=
⎜⎟
⎝⎠
ππ π π
⇔+=+π∨+=+π∈
ππ ππ
⇔=− + ∨=+ ∈
¢
¢Bài 104 : Cho phương trình :
()
22
2sin x sin xcosx cos x m *−−=
a/ Tìm m sao cho phương trình có nghiệm
b/ Giải phương trình khi m = -1
Ta có : (*)
() ()

π
•=+ = =
Nếu x 2k 1 thì sin 2x 0 và cos2x 1
2
−
nên phương trình (1) không
thỏa.
()
π
•≠+ ≠ =
Nếux 2k 1 thì cosx 0,đặt t tgx
2

(1) thành
()
2
22
31 t
2t
3
1t 1t
−
+=
++

()(
22
2
2t 3 1 t 3 t 1
6t 2t 0

3
54sin x
6tg
2
*
sin x 1 tg
π
⎛⎞
+−
⎜⎟
α
⎝⎠
=
+α

a/ Giải phương trình khi
4
π
α
=−

b/ Tìm
α
để phương trình (*) có nghiệm
Ta có :
3
sin x sin x cosx
22
ππ
⎛⎞ ⎛⎞

α=−
ta được phương trình
()
3sinx 4cosx 5 1−+ =
( Hiển nhiên sin x = 0 không là nghiệm của (1))
34
sin x cosx 1
55
⇔− + =

Đặt
34
cos và sin với 0 2
55
ϕ=− ϕ= <ϕ< π

Ta có pt (1) thành :

()
sin x 1ϕ+ =
xk2
2
xk
2
π
⇔ϕ+ = + π
π
⇔=−ϕ++ π2
≠


=
c/
()
2 cos2x 6 cosx sin x=−
d/
3sinx 3 3cosx=−
e/
2 cos3x 3sin x cosx 0++=

f/
cosx 3 sin x sin2x cos x sin x+=++
g/
3
cos x 3 sin x
cos x 3 sin x 1
+=
++

h/
si n x cos x cos2x+=
k/
3
4sin x 1 3sinx 3cos3x−= −
i /
6
3cosx 4sinx 6
3cosx 4sinx 1
++ =
++


−−−
⎜⎟
⎝⎠
=
−

2. Cho phương trình cosx + msinx = 2 (1)
a/ Giải phương trình
m3=
b/ Tìm các giá trò m để (1) có nghiệm (ĐS :
m3≥ )
3. Cho phương trình :

()
msinx2 mcosx2
1
m2cosx m2sinx
−−
=
−−

a/ Giải phương trình (1) khi m = 1
b/ Khi
m0vàm 2≠≠ thì (1) có bao nhiêu nghiệm trên
[
]
ππ20 ,30
?
(ĐS : 10 nghiệm)
4. Cho phương trình