Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định,
Lớp 12, 2001
Bài từ Thư viện Khoa học VLOS.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN
TỈNH NAM ĐỊNH
Trường học
Trung học phổ thông
Lớp học
12
Năm học
2001
Môn thi
Toán học
Thời gian
180 phút
Thang điểm Câu I
Cho hàm số sau:

Với giá trị nào của a hàm số có đạo hàm tại x = 1? Với giá trị a vừa tìm được, tính
?

Câu II
Cho tam giác ABC. Biết rằng trên mặt phẳng (ABC) có điểm M sao cho MA = 1;
MB = MC = 6. Gọi S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng
Đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu III
Trên mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy cho các điểm A'(-a;0);

Thời gian
180 phút
Thang điểm Câu I
Giải hệ phương trình:
.

Câu II
Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: Câu III
Gọi A, B, C là các góc của tam giác ABC.
1) Chứng minh rằng:

2) Xác định giá trị của A, B, C để biểu thức:

đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy?

Câu IV
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho họ đường thẳng:
với m > 0.
Tìm tất cả các điểm mà qua mỗi điểm đó có đúng 2 đường thẳng của họ đường
thẳng đã cho đi qua và hai đường thẳng này vuông góc với nhau.

Câu V
Không sử dụng máy tính bỏ túi hoặc bảng số, hãy so sánh hai số sau:
và

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho 2 đường thẳng sao cho các
đường thẳng: đôi một chéo nhau và vuông góc nhau.
1) Xét đường thẳng d bất kì đi qua O. Gọi thứ tự là góc giữa d với các
đường thẳng . Chứng minh:

2) Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng bất kỳ trong ba đường thẳng
cùng bằng 2 đơn vị độ dài. Một hình hộp ABCD.A'B'C'D' thỏa mãn
B' và D thuộc ; A' và C' thuộc ; A và D' thuộc . Tính thể tích khối hộp
ABCD.A'B'C'D'.

Câu IV (3,0 điểm).
Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng:
.

Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định,
Lớp 12, 2005
Bài từ Thư viện Khoa học VLOS.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN
TỈNH NAM ĐỊNH
Trường học
Trung học phổ thông
Lớp học
12
Năm học
2005
Môn thi
Toán học

Lớp 12, 2006
Bài từ Thư viện Khoa học VLOS.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN
TỈNH
Trường học
Học sinh giỏi tỉnh Nam Định
Lớp học
12
Năm học
2006
Môn thi
Toán học
Thời gian
150 phút
Thang điểm
20

Sở Giáo dục - Đào tạo tỉnh Nam Định
Bài 1 (5 điểm).
Cho hàm số (với m là tham số).
1. Khi m = 0, gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp điểm có hoành độ x =
0,
gọi (d') là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tìm cosin của
góc giữa (d) và (d').
2. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho giá trị cực đại và giá trị
cực tiểu trái dấu nhau.

Bài 2 (4 điểm).
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn elip (E) có phương
trình: