1

Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải và sáng tạo bài
toán mới về nội dung “ Phương trình lượng giác
xây dựng từ đẳng thức lượng giác
Guide the eleventh grade student to solve and create the new mathematical problems about the
content "trigonometric equation constructed from trigonometric equalities
NXB H. : ĐHGD, 2012 Số trang 97 tr. +

Hoàng Thị Hiền Trường Đại học Giáo dục
Luận văn ThS ngành: Lý luận và phương pháp dạy học; Mã số:601410
Người hướng dẫn: PGS. TS Nguyễn Vũ Lương
Năm bảo vệ: 2012

Abstract. Trình bày cơ sở lý luận về hướng dẫn học sinh giải toán; sáng tạo bài toán mới và
thực tiễn việc dạy học toán hiện nay. Nghiên cứu phương pháp hướng dẫn học sinh giải và
sáng tạo bài toán về nội dung phương trình lượng giác chứa đẳng thức lượng giác. Tiến
hành thực nghiệm sư phạm để đánh giá thính khả thi của các biện pháp đã đề xuất.

Keywords: Toán học; Phương pháp dạy học; Phương trình lượng giác; Bài tập; Đẳng thức
lượng giác.

Content.
1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết Trung ương 8 (Khóa IX) của Đảng xác định: “Cùng với giáo dục đào tạo, nghiên
cứu khoa học là quốc sách hàng đầu”. Công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước đặt ra
những yêu cầu mới về nguồn lao động chất lượng cao, trong đó có đội ngũ giáo viên ở các cấp học,
bậc học, từ giáo dục phổ thông đến giáo dục đại học, sau đại học.

nào đã gặp
Trong quá trình dạy toán và bồi dưỡng học sinh giỏi toán tôi thấy rằng, việc tìm tòi mở rộng
càc bài toán quen thuộc thành các bài toán mới, tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán để từ
đó khắc sâu kiến thức cho học sinh là một phương pháp khoa học và hiệu quả. Quá trình này bắt đầu
từ càc bài toán đơn giản đến bài tập khó, sáng tạo ra bài toán mới từ những kiến thức cơ bản là bước
đi phù hợp để rèn luyện năng lực tư duy cho HS. Một điều chắc chắn rằng việc tìm tòi, mở rộng các
bài toán sẽ tăng hứng thú học tập và óc sáng tạo của học sinh. Từ đó giúp học sinh có cơ sở khoa học
khi phân tích, định hướng giải các bài toán khác. Hơn nữa, phương pháp này cũng giúp học sinh
củng cố lòng tin vào khả năng học toán của mình. Làm được như vậy, giáo viên đã nhen nhóm lên
trong các em học sinh một tình yêu toán học và phần nào minh hoạ cho ý tưởng dạy toán là dạy cho
học sinh biết sáng tạo.
Xuất phát từ những lý do trên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải và
sáng tạo bài toán mới về nội dung “ Phương trình lượng giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác”.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Thứ nhất, chỉ ra các phương pháp hướng dẫn học sinh giải bài tập toán học nói chung và áp
dụng vào hướng dẫn học sinh ở nội dung cụ thể là: Phương trình lượng giác được xây dựng từ đẳng
thức lượng giác.
3

Thứ hai, chỉ ra phương pháp hướng dẫn học sinh sáng tạo bài toán mới nói chung và áp dụng vào
hướng dẫn học sinh ở nội dung cụ thể là: Phương trình lượng giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác.
3. Phạm vi nghiên cứu của đề tài
Đề tài tập trung nghiên cứu phương pháp hướng dẫn học sinh giải và sáng tạo bài toán về nội
dung phương trình lượng giác chứa đẳng thức lượng giác.
4. Giả thuyết nghiên cứu của đề tài
Nếu vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực để hướng dẫn học sinh giải và sáng tạo
bài toán mới về nội dung “ Đẳng thức lượng giác và phương trình chứa đẳng thức lượng giác” sẽ
kích thích tư duy sáng tạo và sự say mê tìm tòi khám phá của học sinh.
5. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu
5.1. Đối tượng nghiên cứu:

Bước 2 : Xây dựng chương trình giải
Bước 3 : Thực hiện chương trình giải
Bước 4 : Khảo sát lời giải đã tìm được
1.1.3. Phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn
1.1.4. Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề
1.1.5. Phương pháp dạy học theo dự án
1.1.6. Dạy học theo phương pháp hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu
1.2. Sáng tạo bài toán mới
1.2.1. Một số khái niệm về sáng tạo
1.2.2. Khái niệm và ví dụ về bài toán mới
Ví dụ bài toán mới
Từ một đẳng thức cụ thể sau
cot tan 2cot2x x x

Sử dụng chiều thuận đẳng thức chúng ta dễ dàng xây dựng những phương trình lượng giác mới
từ những phương trình lượng giác cơ bản hoặc phuơng trình đại số
Ví dụ
Từ phương trình
3
2xx
ta xây dựng phương trình lượng giác
3
8cot 2 cot 2 tanx x x  

Từ phương trình
cot 3x 
ta xây dựng phương trình
2cot tan 2cot2 3x x x  

Từ phương trình


1.2.3. Hướng dẫn học sinh sáng tạo bài toán mới
1.3. Thực tiễn việc dạy học Toán hiện nay
Ở trường THPT dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải toán là đặc
trưng chủ yếu trong hoạt động toán học của học sinh. Trong quãng đời đi học đến THPT, học sinh đã
giải rất nhiều bài toán, trong đó hẳn cũng có những bài rất khó với những câu hỏi chất chứa thắc mắc
như ai đã sáng tạo ra bài toán này và từ đâu mà có, mình có thể làm được việc đó không? Nếu thắc
mắc đó xuất hiện thì rất đáng mừng, đó là biểu hiện ban đầu của sự sáng tạo. Để rèn luyện kỹ năng
giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị tốt kiến thức cơ bản cho học sinh giáo viên cần hướng dẫn
cho học sinh biết cách khai thác, mở rộng kết quả các bài toán cơ bản để học sinh suy nghĩ tìm tòi
những kết qua mới sau mỗi bài toán hoặc biết sáng tạo ra những bài toán mới từ những kiến thức liên
quan. Chúng ta đã biết những bài toán mà chúng ta đã gặp đều không phải là từ trên trời rơi xuống
mà thường là người ta từ một vài ý tưởng nào đó, thêm vào ít nhiều sáng tạo đặt ra. Việc học sinh có
thói quen lật đi lật lại vấn đề, suy nghĩ mở rộng, đặt ra bài toán mới sẽ giúp bạn thu được những điều
quan trọng hơn lời giải rất nhiều: đó là nhận ra đâu là những kĩ thuật chính thay vì học thuộc hết các
chi tiết một cách vô nghĩa, qua đó giải thích được vì sao giải như vậy và cao hơn là trả lời câu hỏi vì
sao nghĩ ra bài toán.
Nhưng thật tiếc là trong thực tế chúng ta chưa làm được điều đó một cách thường xuyên. Phần
lớn GV chúng ta chưa có thói quen khai thác một bài toán thành một chuỗi bài toán liên quan, chưa
quan tâm đến việc xây dựng bài toán mới. Trong giải toán chúng ta chỉ dừng lại ở việc tìm ra kết quả
của bài toán mà chưa hề biết tới tác giả ra đề đã xây dựng bài toán đó như thế nào và đâu mới là cái
gốc của bài toán. Điều đó làm cho học sinh khó tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức đã học. Cho
nên khi bắt đầu giải một bài toán mới học sinh không biết phải bắt đầu tư đâu? Cần vận dụng kiến
thức nào? Từ đâu có bài toán này? Bài toán có liên quan đến những bài toán và kiến thức nào đã gặp?
Như vậy, dạy và học toán hiện nay ở trường phổ thông chỉ nằm gọn trong khuôn khổ sách giáo
khoa, cả giáo viên và học sinh đều cố gắng đạt chuẩn chương trình đã quy định. Điều này làm cho
giáo viên không có động lực nghiên cứu, nâng cao trình độ, đồng thời làm hạn chế sự sáng tạo của
học sinh. Đã đến lúc, việc dạy và học nói chung, dạy và học toán nói riêng cần phải có những đổi
mới tích cực trong phương pháp và nội dung để đạt được hiệu quả cao nhất trong dạy và học.


222
3)sin sin sin 2 2cos cos cos ;A B C A B C   

4)tan tan tan tan tan tan ;A B C A B C  

5)tan tan tan tan tan tan 1;
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
  

6)cot cot cot cot cot cot ;
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
  

7)cot cot cot cot cot cot 1;A B B C C A  8)cos2 cos2 cos2 1 4cos cos cosA B C A B C    

7

333
9)cos3 cos3 cos3 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C   

10)tan3 tan3 tan3 tan3 tan3 tan3 ;A B C A B C  


2 2 2
15) tan tan tan ;
sin sin sin 2 2 2
4cos cos cos
2 2 2
A B C
A B C A B C
A B C
A B C
  



333
tan2 tan2 tan2 8cos cos cos
16) ;
tan tan tan cos2 cos2 cos2
A B C A B C
A B C A B C




   
333
31
17)sin sin sin sin sin sin sin3 sin3 sin3
44
333
3cos cos cos cos cos cos ;

2 2 2
24)cos cos cos 1 4cos cos sin ;
2 2 2
A B C
A B C
A B C
A B C
  
    

2.1.2. Một số phương pháp xây dựng đẳng thức lượng giác
Thực chất việc giải các bài toán lượng giác là sử dụng khéo léo các đẳng thức lượng giác.
Nếu chúng ta không biết các đẳng thức thì ngay cả bài toán đơn giản nhất cũng không giải được.
Ngược lại, nếu phát hiện được đẳng thức cần thiết thì bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều. Vì vậy
việc hệ thống lại và xây dựng lên những đẳng thức lượng giác mới là việc làm ý nghĩa trong giải toán
lượng giác.
2.1.2.1. Xây dựng đẳng thức nhờ các phép biến đổi đại số
2.1.2.2. Xây dựng các đẳng thức mới từ các công thức cơ bản nhờ phép biến đổi lượng giác
2.1.2.3. Xây dựng đẳng thức lượng giác bằng một số phương pháp khác
2.1.3. Xây dựng đẳng thức lượng giác trong tam giác từ đẳng thức lượng giác
2.2. Hƣớng dẫn học sinh sáng tạo bài toán mới
2.2.1. Xây dựng phương trình lượng giác từ những đẳng thức lượng giác đối với các góc trong
tam giác
1.Từ đẳng thức
1)sin sin sin 4cos cos cos ;
2 2 2
A B C
A B C  

Đặt

   
ta có đẳng thức lượng giác
9

32
sin sin 2 3cos cos
2 3 2 3
x
x x x

   
    
   
   

Từ đó xây dựng phương trình lượng giác
2
3 sin 2sin 2 3cos cos
3 2 3
x
x x x

   
    
   
   

32
sin sin 4cos sin
2 3 2 3 2

x x x x x x
    
        

Từ đó ta xây dựng được phương trình lượng giác sau
cos(2 ) cos(2 ) sin4 cos4
63
2 4sin( )sin( )sin(2 )
12 6 4
cos(2 ) cos(2 ) sin4 sin6
63
1 sin( ) 4sin( )sin( )sin(2 )
12 12 6 4
x x x x
x x x
x x x x
x x x x

    
  
    

    
   
      

Đặt
, 2 3A x B x x   
ta có đẳng thức lượng giác sau
3

cos cos 3 cos2 1 sin sin sin
3 3 6 2 3 2
xx
x x x x
   
       
       
       
       

3. Từ
222
3)sin sin sin 2 2cos cos cos ;A B C A B C   

Đặt
, 2 3A x B x x   
ta có đẳng thức lượng giác sau
2 2 2
sin sin 2 sin 3 2 2cos cos2 cos3x x x x x x   

Từ đó ta xây dựng được phương trình lượng giác sau
2 2 2 2
sin sin 2 sin 3 2sin 5 3 2cos cos2 cos3x x x x x x x    

2 2 2
sin sin 2 sin 3 sin6 3 2cos cos2 cos3x x x x x x x    

Đặt
5
, , 2


Đặt
, , 2A x B x C x

   
ta có đẳng thức sau
2
2tan
tan2
1 tan
x
x
x



Đặt
, 2 , 3A x B x C x

   
ta có đẳng thức sau
tan tan2
tan3
1 tan tan2
xx
x
xx




   

5. Từ
5)tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
  

Đặt
2 , 2 , 4A x B x C x

   
ta có đẳng thức lượng giác sau
2
tan 2tan cot2 1x x x

Đặt
2 , 4 , 6A x B x C x

   
ta có đẳng thức lượng giác
tan tan2 tan2 cot3 cot3 tan 1x x x x x x  

Từ đó ta xây dựng phương trình lượng giác sau
tan tan2 tan2 cot3 cot3 tan tan5x x x x x x x  

tan tan2 tan2 cot3 cot3 tan tan2 cot2 2x x x x x x x x    

Đặt
2


   
ta có đẳng thức lượng giác
12

3tan tan tan 3tan 1
66
x x x x

   
    
   
   

Ta xây dựng phương trình lượng giác
3tan tan tan 3tan tan2
66
x x x x x

   
    
   
   

6. Từ
6)cot cot cot cot cot cot
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
  


33
A B x C x

   
ta có đẳng thức lượng giác
11
cot cot cot cot
66
33
x x x x

   
    
   
   

Ta xây dựng phương trình lượng giác
1
cot cot cot cot
66
3
x x x x

   
    
   
   

7. Từ
7)cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A  

Đặt
5
, 2 ,
66
A x B x C x

    
ta có đẳng thức lượng giác
55
cot cot 2 cot 2 cot cot cot 1
6 6 6 6
x x x x x x
   
       
      
       
       

Ta xây dựng phương trình lượng giác
55
cot cot 2 cot 2 cot cot cot tan
6 6 6 6
x x x x x x x
   
       
      
       
       

Đặt

8. Từ
8)cos2 cos2 cos2 1 4cos cos cosA B C A B C    

Đặt
, , 2A x B x C x

   
ta thu được
2
2cos2 cos4 1 4cos cos2x x x x   

Từ đó ta xây dựng bài toán lượng giác
14

2
2cos2 cos4 cos6 4cos cos2x x x x x   

2
2cos2 cos4 sin4 4cos cos2x x x x x   

Đặt
, 2 , 3A x B x C x

   
ta thu được đẳng thức
cos2 cos4 cos6 1 4cos cos2 cos3x x x x x x    

Từ đó ta xây dựng phương trình lượng giác
cos2 cos4 cos6 sin6 4cos cos2 cos3x x x x x x x    


3
2
2tan cot 1
sin2
xx
x
  

2 2.2.2. Sử. dụng các công thức cộng cung
Dạng 1:
 
sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) ( ) ( )A x B x C x A x B x C x    

Ta xây dựng các phương trình
1)
sin( 3 ) sin sin4 1
36
x x x


    



2)
1
sin( 4 ) sin3 sin
62
x x x


   
    
   
   

6)
sin sin2 sin3 sin6x x x x  

Dạng 2:
 
cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) ( ) ( )A x B x C x A x B x C x     

Dạng 3:
 
tan ( ) tan ( ) tan ( ) tan ( ) ( ) ( )A x B x C x A x B x C x    

Dạng 4:
 
cot ( ) cot ( ) cot ( ) cot ( ) ( ) ( )A x B x C x A x B x C x    

Dạng 5:
 
2 2 2 2
cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) 2A x B x C x A x B x C x     

Dạng 6:
 
2 2 2 2
sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) ( ) ( ) 2A x B x C x A x B x C x     


và kết hợp với
1.1) Phương trình
tanxa
ta thu được phương trình
16 2tan3 tan tan( )tan( ) 3
33
x x x x

   

1.2) Phương trình
tan cot 2xx
ta thu được phương trình

cot3 tan tan( )tan( ) 2
33
x x x x

   
.
Như vậy khi đặt đẳng thức lượng giác vào một phương trình lượng giác càng khó thì chúng ta nhận
được phương trình mới khó hơn.
1.3) Phương trình
sin6 cos6 1 tan3x x x  
ta thu được phương trình

sin6 cos6 1 tan tan tan

4 2 1 sin
xx
x


  




Đặt
cot
42
x
t





phương trình trở thành
3
21t t t   

1.2)
4
4
2 2 1t t t    

Ta xây dựng phương trình lượng giác sau

4
2 2 1t t t    

17

2.2.3. Xây dựng một số bài toán lượng giác khác từ đẳng thức lượng giác
2.3. Hƣớng dẫn học sinh giải toán
2.3.1. Giải một số bài toán dùng đẳng thức lượng giác trong tam giác
Khi giải các phương trình lượng giác nói chung, chúng ta thường tìm cách biến đổi để làm
đơn giản phương trình hơn, đưa về dạng phương trình cơ bản. Việc lựa chọn hướng biến đổi như thế
nào cho phù hợp lại là nột vấn đề khó. Một lớp các phương trình có hướng biến đổi tương tự nhau là
do chúng có chung nguồn gốc hình thành. Một trong các nguồn gốc hình thành đó chính là từ các
đẳng thức lượng giác mà ra. Hệ thống đẳng thức lượng giác vừa xây dựng sẽ giúp chúng ta giải các
bài tập lượng giác một cách dễ dàng hơn.
Bài 1: Giải phương trình
1
sin 2 4cos cos sin2
2 6 12
x x x x

   
    
   
   

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
? Giả thiết bài toán cho gì? Yêu cầu gì? Có cần điều kiện gì không?
! Cho x là ẩn. Cần tìm các giá trị của x thoả mãn phương trình
1
sin 2 4cos cos sin2


Áp dụng đẳng thứ
1)sin sin sin 4cos cos cos ;
2 2 2
A B C
A B C  

Phương trình tương đương
5
4cos cos cos 4cos cos
12 12 12
cos 0
0
cos
12
x x x x
x
x
  

   
  
   
   







   
     
      
     
     

     
     
     

     

    
   
   
   
cosx




Bước4: Khảo sát lời giải
? Nghiên cứu sâu lời giải?
! Bài toán giải được nhờ các phép biến đổi lượng giác cơ bản để biến đổi về dạng phương trình tích.
Nhưng việc bắt tay vào biến đổi từ đâu thì phải dựa vào nhận xét đã trình bày ở trên. Và đó cũng là
phương pháp chung cho một lớp các bài toán dạng này.
Bài tập đề nghị
1)sin2 sin4 sin6 4sin cos2x x x x x  

2)cos cos2 cos3 1x x x  


19

9)cos(2 ) cos(2 ) sin4 sin6
63
1 sin( ) 4sin( )sin( )sin(2 )
12 12 6 4
x x x x
x x x x

    
   
      

3
10)2cos cos2 cos3 2 4sin sin cos ;
22
xx
x x x x   

3
11)cos cos2 cos3 cos5 sin 1 4sin sin cos ;
22
xx
x x x x x x     

2 2 2 2
12)sin sin 2 sin 3 2sin 5 3 2cos cos2 cos3x x x x x x x    

2 2 2

  

20

HD: Sử dụng đẳng thức lượng giác
1
cot cot2
sin2
xx
x

phương trình tương đương
cot cot2 cot2 cot4 cot4 cot8 0
cot cot8
x x x x x x
xx
     


Bài tập đề nghị
Bài tập đề nghị
1)
2
2tan cot 3
sin2
xx
x
  

2)

sin2
xx
x
  

8)
2
1
cot 2 cot 2
sin2
xx
x
  

9)
2
cot cot2 1
sin2
xx
x
  

10)
sin( 3 ) sin sin4 1
36
x x x


    





14)
sin 4 sin 3 sin 1
36
x x x

   
    
   
   

15)
sin sin2 sin3 sin6x x x x  

16)
1
cos( 2 ) 2cos
32
xx

   

17)
2
cos( 3 ) cos 4 cos 1
33
x x x


  

22)
tan( 4 ) tan( ) tan2 cot
36
x x x x

    

23)
tan( 3 ) tan2 tan 1
4
x x x

   

24)
tan tan2 tan3 tan6x x x x  

25)
cot( 3 ) 2cot cot( 5 )
66
x x x

   

26)
cot( 5 ) cot3 cot2 1
4
x x x

- Hệ thống cơ sở lý luận về: vị trí chức năng của bài tập toán học trong dạy học, cách dạy bài
tập toán học theo một số quan điểm và một số phương pháp dạy học tích cực hiện nay. Luận văn
trình bày khái niệm bài toán mới và phương pháp sáng tạo bài toán mới.
- Luận văn trình bày khá chi tiết nội dung đẳng thức và phương trình lượng giác chứa đẳng
thức lượng giác. Hệ thống đẳng thức lượng giác trong tam giác, cách tạo ra một đẳng thức lượng giác
mới. Quan trọng hơn cả là cách sử dụng những đẳng thức này để sáng tạo ra phương trình lượng giác
mới. Một số lượng tương đối những bài tập được hình thành theo phương pháp này sẽ là nguồn tài
liệu bổ sung vào hệ thống bài tập lượng giác trong quá trình dạy học chuyên đề lượng giác. Nội dung
của luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học.
Đó cũng là ý nghĩa thực tiễn của đề tài nghiên cứu.
- Luận văn cũng thể hiện được việc thực nghiệm sư phạm đối với vấn đề và nội dung nêu trên
đối với đối tượng học sinh khá giỏi (với 1 giáo án giảng dạy trên lớp thực hành giải bài tập, 1 giáo án
23

hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu sáng tạo bài toán mới) cho thấy việc áp dụng đối với học sinh khá
giỏi là hoàn toàn khả thi và mang lại hiệu quả giảng dạy cao.
- Kết quả thực nghiệm cho thấy việc xây dựng những chuyên đề nâng cao hướng dẫn học sinh
tự học là hoàn toàn có thể thực hiện. Từ đó, việc giảng dạy của giáo viên sẽ linh hoạt hơn, có những
sáng tạo trên từng đối tượng học sinh, giáo viên tích cực nghiên cứu tìm tòi phát hiện ra những đề tài
nghiên cứu hay và mới lạ hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu.
- Do điều kiện thời gian và vị trí bản thân, luận văn còn một số hạn chế sau: Chưa xây dựng được
bài giảng áp dụng cho đối tượng học sinh khác, chưa xây dựng được giáo trình chi tiết nội dung này dùng
làm tài liệu cho việc dạy và học. Đó cũng là hướng nghiên cứu và cần triển khai tiếp của đề tài.

KHUYẾN NGHỊ
1. Đối với giáo viên Toán trường THPT
- Tích cực nghiên cứu, tìm tòi và phát hiện ra ngày càng nhiều hơn nữa những chuyên đề hay
để hướng dẫn học sinh học và tự nghiên cứu.
- Giáo viên cần phải xác định mục tiêu dạy học thật rõ ràng, trên cơ sở từ chuẩn môn học và
thực lực trình độ học sinh lớp mình về môn Toán, soạn giảng các kế hoạch dạy học theo các phương

5. Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên), Nguyễn Hữu Độ, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng
(2010), Lượng giác- Cực trị và các bài toán trong tam giác. Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.
6. Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lý luận vào thực tiễn dạy học môn Toán ở trường phổ thông. Nhà
xuất bản Đại học Sư phạm.
7. Bùi Văn Nghị (2008), Giáo trình phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán. Nhà
xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội.
8. G. Polya (Hồ Thuần- Bùi Tường dịch) (1997), Giải một bài toán như thế nào. Nhà xuất bản Giáo
dục Hà Nội.
www. vnmath.com.
www. phanvien.com.
www.tailieu.com.
http: www. mathlinks.ro
http: www.diendantoanhoc.net.