ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐINH NGỌC QUANG
PHƯƠNG PHÁP DỒN VÀ GIẢM
BIẾN TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số : 60 46 40
Giáo viên hướng dẫn:
GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU
THÁI NGUYÊN, 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Mục lục
Mở đầu 4
1 Một số dạng bất đẳng thức cổ điển và phương pháp giảm
biến 7
1.1 Các bất đẳng thức hai biến liên quan đến giá trị trung bình . 7
1.2 Các bất đẳng thức n biến liên quan đến giá trị trung bình . . 10
1.3 Phương pháp giảm biến trong bất đẳng thức đại số . . . . . . 12
1.3.1 Tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Phương pháp tam thức bậc hai định hướng . . . . . . 14
1.3.3 Giảm biến trong bất đẳng thức đại số . . . . . . . . . 15
2 Độ gần đều và phương pháp dồn biến 21
2.1 Độ gần đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Hàm lồi và biểu diễn của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Hàm lồi, lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Biểu diễn hàm lồi, lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Phương pháp dồn biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1 Dồn biến tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2 Một số định lý về dồn biến . . . . . . . . . . . . . . . 35

Phương pháp giảm biến có thể phát biểu bằng lời như sau: Phương pháp
này dựa vào lát cắt và phép biến đổi đồng dạng để giảm số biến. Thông
thường, phương pháp này hiệu quả trong trường hợp ba biến chuyển về biểu
thức dạng hai biến. Cũng trong khoảng thời gian này, TS. Trần Nam Dũng
và Gabriel Dospinescu [3] đã giới thiệu và trình bày phương pháp dồn biến
(Mixing variables). Đây là phương pháp rất quan trọng và hiệu quả trong
việc chứng minh các bất đẳng thức phức tạp. Phương pháp dồn biến có
thể phát biểu một cách đơn giản như sau: Để chứng minh bất đẳng thức
f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ≥ 0 chúng ta đi chứng minh bất đẳng thức
f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ≥ f

x
1
+ x
2
2
,
x


≥ 0.
Bất đẳng thức sau chỉ còn n − 1 biến và đơn giản hơn bất đẳng thức ban
đầu (có n biến).
Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách tổng quan, có hệ
thống các kiến thức cơ sở về một số bất đẳng thức cơ bản liên quan đến giá
trị trung bình, bất đẳng thức Cauchy liên quan đến tam thức bậc hai và xét
đến phương pháp giảm biến, bất đẳng thức Karamata, độ gần đều của bộ số
và xét định lý dồn biến tổng quát như là hệ quả của chúng. Tiếp theo xét
một số ứng dụng của phương pháp dồn biến trong các bài toán chứng minh
bất đẳng thức thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi và kì thi Olympic.
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương.
Chương 1, trình bày một số bất đẳng thức cơ bản liên quan đến giá trị trung
bình và bất đẳng thức Cauchy liên quan đến tam thức bậc hai. Các kiến
thức này là cơ sở để trình bày các nội dung quan trọng ở cuối chương 1
và trong chương 2.
Chương 2, trình bày về độ gần đều, một số khái niệm và tính chất quan
trọng của hàm lồi, lõm, từ đó đi đến trình bày phương pháp dồn biến
tổng quát. Phương pháp dồn biến về cơ bản là cách thức làm giảm biến
trong bất đẳng thức đại số.
Chương 3, trình bày một số áp dụng của phương pháp dồn biến và giảm biến
giải các bài toán bất đẳng thức 3 biến, 4 biến.
Qua đây, chúng tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người
hướng dẫn khoa học của chúng tôi, GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu, người đã
đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của
chúng tôi. Đồng thời chúng tôi cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong
khoa Toán - Tin học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã
tạo mọi điều kiện về tài liệu và thủ tục hành chính để chúng tôi hoàn thành
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6

+ y
2
+ 2xy ≥ 4xy ⇔ (x + y)
2
≥ 4xy, ∀x, y.
Suy ra
x + y
2
≥
√
xy, ∀x, y ≥ 0. (1.1)
Bất đẳng thức (1.1) là một bất đẳng thức quen thuộc ở chương trình toán
phổ thông. Ta gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân
(gọi ngắn gọn là bất đẳng thức AM-GM
1
) với 2 biến x, y.
1
Arithmetic Mean - Trung bình cộng, Geometric Mean - Trung bình nhân.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Định lý 1.1 (Bất đẳng thức AM-GM với 2 biến). Với x
1
, x
2
không âm, ta
có
√
x
1
x

1
x
2
≤ x
2
1
+ x
2
2
+ 2x
1
x
2
⇔ 0 ≤ (x
1
− x
2
)
2
đúng với mọi x
1
, x
2
.
Từ bất đẳng thức (1.1) ta thực hiện một vài biến đổi
√
xy ≤
x + y
2
⇔

+
1
x
2
≤
√
x
1
x
2
. (1.4)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x
1
= x
2
.
Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức (1.2) đối với x :=
1
x
, y :=
1
y
, ta có

1
x
.
1
y
≤

2
+ y
2
⇔
(x + y)
2
− x
2
− y
2
2
≤
x
2
+ y
2
2
⇔
(x + y)
2
4
≤
x
2
+ y
2
2
,
lấy căn bậc hai 2 vế ta được
2

4
≤
x
2
+ y
2
2
⇔ 0 ≤
x
2
− 2xy + y
2
4
⇔ 0 ≤ (x −y)
2
đúng với mọi x, y.
3
Quadratic mean - Trung bình bậc hai (toàn phương).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Từ những chứng minh trên chúng ta rút ra được chuỗi bất đẳng thức với
2 biến x, y không âm như sau
min{x, y} ≤
2
1
x
+
1
y
≤

≤
x
1
+ x
2
+ ··· + x
n
n
. (1.8)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x
1
= x
2
= ··· = x
n
.
Chứng minh. (Phương pháp chứng minh quy nạp Cauchy)
4
Với n = 1, bất đẳng thức (1.8) hiển nhiên đúng.
Với n = 2, ta được bất đẳng thức (1.2) đã chứng minh là đúng ở Định lý 1.1.
• Giả thiết quy nạp: Giả sử bất đẳng thức (1.8) đúng với n số thực không
âm x
1
, x
2
, . . . , x
n
, n ≥ 1.
• Cho 2n số thực không âm x
1

+ x
n+2
+ ··· + x
2n
n

≥
n
√
x
1
x
2
. . . x
n
+
n
√
x
n+1
x
n+2
. . . x
2n
2
≥ (
n
√
x
1

2
. . . x
2n
. (1.9)
Từ trường hợp n = 1, n = 2 và (1.9) suy ra (1.8) đúng với n = 2
k
, ∀k ≥ 1.
Đây chính là quy nạp theo hướng lên trên.
4
Đây là kiểu quy nạp theo cặp hướng (lên-xuống) do Cauchy đề xuất năm 1821 (Cauchy A.L., cours
d’Analyse de l’Ecole Royale Polytechnique, I
re
partie, Analyse alge’brique, Paris, Debure, 1821) để chứng
minh Định lý AM-GM [3].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
• (Quy nạp hướng xuống dưới) Giả sử bất đẳng thức (1.8) đúng với n số thực
không âm. Ta chứng minh nó đúng với n − 1 số không âm x
1
, x
2
, . . . , x
n−1
.
Xét
x
1
+ x
2
+ ··· + x

≥

x
1
x
2
. . . x
n−1
x
1
+ x
2
+ ··· + x
n−1
n −1

1
n
,
hay
x
1
+ x
2
+ ··· + x
n−1
n −1
≥

x

x
2
. . . x
n−1

x
1
+ x
2
+ ··· + x
n−1
n −1

.
Suy ra

x
1
+ x
2
+ ··· + x
n−1
n −1

n−1
≥ x
1
x
2
. . . x

n
1
x
1
+
1
x
2
+ ··· +
1
x
n
≤
n
√
x
1
x
2
. . . x
n
. (1.10)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x
1
= x
2
= ··· = x
n
.
Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức AM-GM đối với bộ số x

x
2
1
+ x
2
2
+ ··· + x
2
n
n
. (1.11)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x
1
= x
2
= ··· = x
n
.
Từ những bất đẳng thức (1.8), (1.10), (1.11) và từ chuỗi bất đẳng thức
(1.7), chúng ta tiếp tục rút ra được chuỗi bất đẳng thức với n biến x
1
, x
2
, . . . , x
n
không âm như sau
min{x
1
, x
2

+ ··· + x
n
n
≤
n

x
2
1
+ x
2
2
+ ··· + x
2
n
n
≤ max{x
1
, x
2
, . . . , x
n
}.
(1.12)
1.3 Phương pháp giảm biến trong bất đẳng thức đại
số
Ở đây, chúng tôi trình bày một phương pháp làm giảm biến trong bất
đẳng thức đại số. Phương pháp này dựa vào lát cắt và phép biến đổi đồng
dạng để giảm số biến. Thông thường, phương pháp này hiệu quả trong trường
hợp ba biến chuyển về biểu thức dạng hai biến.

+ x
2
2
≥ 2x
1
x
2
, ∀x
1
, x
2
∈ R.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x
1
= x
2
.
Xét tam thức bậc hai
f(x) = ax
2
+ b
x
+ c, a = 0.
Khi đó
af(x) =

ax +
b
2


∓
√
∆
2|a|
. (1.14)
Trong trường hợp này, af(x) < 0 khi x ∈ (x
1
, x
2
) và af(x) > 0 khi
x < x
1
hoặc x > x
2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Định lý 1.4 (Định lý đảo (Theo [1])). Điều kiện cần và đủ để tồn tại số α
sao cho af(α) < 0 là ∆ > 0 và x
1
< α < x
2
, trong đó x
1,2
là các nghiệm của
f(x) xác định theo (1.14).
Định lý 1.5 (Theo [1]). Với mọi tam thức bậc hai f(x) có nghiệm thực đều
tồn tại một nguyên hàm F (x) là đa thức bậc ba, có ba nghiệm đều thực.
Định lý 1.6 (Theo [1]). Tam thức bậc hai f(x) = 3x
2

x
2
+ y
2
≥ 2|xy|,
hay
u + v
2
≥
√
uv, u, v ≥ 0.
Phương pháp "tam thức bậc hai định hướng" là phương pháp tìm giá trị
lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức dạng toàn phương khi đã tường minh một
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
giá trị của nó. Khi đó để tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức đã
cho, ta chỉ cần quan tâm đến các giá trị lớn hơn (nhỏ thua) của biểu thức
mà thôi.
Để áp dụng vào các bài toán cực trị của một số dạng toán bậc hai, ta sử
dụng tính chất của dạng phân thức bậc hai
y =
a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
a

Ta có thể trình bày tường minh phương pháp này thông qua bài toán sau
1.3.3 Giảm biến trong bất đẳng thức đại số
Bài toán 1.1 (Theo [1]). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm
số
y =
a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
a
2
x
2
+ b
2
x + c
2
,
với điều kiện
a
2
> 0, f
2
(x) = a
2
x

Giả sử y là một giá trị của biểu thức, y =
c
1
c
2
và y =
a
1
a
2
. Khi đó phương
trình tương ứng
a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
a
2
x
2
+ b
2
x + c
2
= y
phải có nghiệm, hay phương trình

1
) ≥ 0,
hay
g(y) := (b
2
2
− 4a
2
c
2
)y
2
+ 2(b
1
b
2
+ 2a
2
c
1
+ 2a
1
c
2
)y + b
2
1
− 4a
1
c

− b
2
1
)(4a
2
c
2
− b
2
2
) ≥ 0 (1.18)
và
y
1
≤ y ≤ y
2
,
với
y
1,2
=
b
1
b
2
+ 2a
2
c
1
+ 2a

j
− b
1
)
2
− 4(a
2
y
j
− a
1
)(c
2
y
j
− c
1
) = 0,
x
j
= −
1
2
b
2
y
j
− b
1
2a

2
+ y
2
2x
2
+ y
2
+ xy
.
• Nếu y = 0 thì
M
a
=
1
2
.
• Nếu y = 0, đặt t =
x
y
, suy ra
M
a
=
t
2
+ 1
2t
2
+ t + 1
.

M
a
− 1 = 0
có nghiệm. Thế thì biệt thức ∆ phải không âm. Ta có
∆ =

M
a

2
− 4

2
M
a
− 1

M
a
− 1

≥ 0,
hay
−7

M
a

2
+ 12

2
7
= M
0
.
Vậy min M =
6 −2
√
2
7
, đạt được khi và chỉ khi

x = M
1
y
2x
2
+ y
2
+ xy = 1
⇔



x = M
1
y
y = ±
√
2(1 −2M

Chứng minh
M = xy + yz + zx ≤
1
2
.
Chứng minh. • Xét z = 0 thì (1.19) ⇔ x
2
+ 2y
2
= 1 và M = xy.
Theo AM-GM ta có
1 = x
2
+ 2y
2
≥ 2
√
2|xy|,
hay
M ≤
1
2
√
2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi



= α,
y
z
= β. Khi đó
(1.19) ⇔ (α
2
+ 2β
2
+ 5)z
2
= 1 (1.20)
M = z
2
(αβ + β + α) =
α + β + αβ
α
2
+ 2β
2
+ 5
, M >
1
2
√
2
.
⇔ M.α
2
− (β + 1)α + M(2β
2

3
) ≥ 0
⇔
1
2
√
2
< M ≤
1
2
.
Bài toán được chứng minh.
Bài toán 1.2 có thể trình bày yêu cầu của bài toán theo cách khác.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Bài toán 1.3. Cho
x
2
+ 2y
2
+ 5z
2
= 1. (1.23)
Tìm giá trị lớn nhất của
M = xy + yz + zx.
Giải. Giải tương tự lời giải của Bài toán 1.2. Cuối cùng, khi ta đã tìm ra M
đạt giá trị lớn nhất là M =
1
2
, thì ta tính β, α, z, x, y bằng cách thế M =

x
2
, ∀x
1
, x
2
∈ R.
Ta suy ra với mọi cặp số không âm x, y với tổng bằng 1 cho trước thì tích xy
đạt giá trị lớn nhất bằng
1
4
khi x = y =
1
2
. Tuy nhiên khi x, y biến đổi trong
một miền và trong miền đó và x khác y thì chúng chỉ đạt được vị thế ở vị trí
x và y gần nhau nhất. Từ đây ta phát biểu khái niệm độ gần đều như sau.
Định nghĩa 2.1 (Theo [1]). Xét các cặp số không âm x, y. Ta gọi hiệu
ρ(x, y) := max{x, y}− min{x, y}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
là độ lệch của cặp số x, y hay là độ gần đều của cặp số x, y.
Nếu ρ(x, y) = 0 thì x = y, ta gọi x, y là cặp đều.
Nếu x = y thì ρ(x, y) > 0, ta gọi độ gần đều của x, y bằng ρ(x, y).
Để phân chia các trường hợp rõ ràng hơn, chúng ta phát biểu Định nghĩa
2.1 cho các trường hợp riêng như sau.
Nhận xét rằng, đối với các cặp số dương có chung tổng thì ta có thể phát
biểu thứ tự các cặp đó rằng tích xy đạt giá trị lớn nhất trong trường hợp
cặp số đó là đều, tức là x = y.
Định nghĩa 2.2. i) Xét các cặp số không âm x, y với tổng không đổi

Như vậy theo Định nghĩa 2.2 thì cặp x, y luôn có độ lệch ρ(x, y) ≥ 0 và
độ lệch bằng 0 khi và chỉ khi x = y, khi đó cặp x, y là cặp gần đều nhất và
các cặp 0, 1 và 1, 0 sẽ là những cặp xa đều nhất.
Nhận xét rằng, đối với các cặp số dương có chung tích thì ta có thể phát
biểu thứ tự các cặp đó rằng tổng x + y đạt giá trị nhỏ nhất trong trường hợp
cặp số đó là đều, tức là x = y.
Định nghĩa 2.3. i) Xét các cặp số không âm x, y với tích không đổi (để
đơn giản, ta chọn xy = a > 0). Ta gọi hiệu
ρ(x, y) := max{x, y}− min{x, y}
là độ lệch của cặp số x, y hay là độ gần đều của cặp số x, y.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
ii) Cặp x
1
, y
1
được gọi là gần đều hơn (độ lệch nhỏ hơn) cặp x
2
, y
2
(hay
cặp x
2
, y
2
được gọi là xa đều hơn cặp x
1
, y
1
) nếu

cặp số đó sẽ không bao giờ là cặp số nguyên bằng nhau được. Khi đó, khái
niệm gần đều nhất (mà không phải là đều) sẽ có ý nghĩa thực tiễn. Từ đây
tiến gần đến trường hợp đều.
Từ các Định nghĩa 2.1, 2.2, 2.3, ta suy ra được thêm một số tính chất về
độ gần đều của các cặp số không âm.
Với quy ước của Định nghĩa 2.2, ta có thể sắp thứ tự các tích xy với tổng
x + y = 1 không đổi theo ngôn ngữ "gần đều" như sau.
Định lý 2.1 (Theo [1]). Xét các cặp số không âm x
j
, y
j
, với j = 1, 2 với
tổng không đổi (để đơn giản ta chọn x
j
+ y
j
= 1). Khi đó
x
1
y
1
≥ x
2
y
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
khi và chỉ khi cặp x
1
, y

j
= 1). Khi đó
x
1
+ y
1
≤ x
2
+ y
2
khi và chỉ khi cặp x
1
, y
1
gần đều hơn cặp x
2
, y
2
.
Chứng minh. Xét các cặp số dương x, y với tích bằng 1 không đổi. Không
mất tính tổng quát, coi 0 < x < y. Với mỗi  > 1, để đảm bảo x < ()
−1
y
(chỉ cần chọn  ∈

1,

y
x


) sao cho 0 ≤ y ≤ z ≤ 1 và b = (b
1
, b
2
, . . . , b
n
)
sao cho 1 ≤ z ≤ y ≤ 2 hoặc ta đều có

n

k=1
a
y
k
b
2−y
k

n

k=1
a
2−y
k
b
y
k

≥

< x
2
thì x = tx
1
+ (1 − t)x
2
với mọi t ∈ [0, 1].
Đều thuộc (x
1
, x
2
) và
t =
x −x
1
x
2
− x
1
, 1 − t =
x
2
− x
x
2
− x
1
.
2. Nếu f khả vi hai lần thì hàm f lồi khi và chỉ khi f”(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b].
3. Nếu f lồi thì f liên tục. Ngược lại, nếu f liên tục thì tính lồi của f là