BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Giáo viên hướng dẫn:
TS. NGUYỄN VĂN HOA
Sinh viên thực hiện:
MAI THỊ ĐẮC KHUÊ
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
THÁNG 4/2010 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 1
LỜI CẢM ƠN
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn
Hoa – giáo viên hướng dẫn khóa luận này – thầy đã tận tình hướng dẫn,
truyền thụ cho em những kiến thức bổ ích và đóng góp những kinh nghiệm quý
báu để em thực hiện khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn PGS.TSKH. Lê Văn Hoàng đã đóng góp ý
kiến quý báu cho khóa luận này.
Lí do chọn đề tài
4
3
Mục tiêu của đề tài
6
4
Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được
6
5
C
ấ
u
trúc
c
ủ
a
lu
ậ
n
v
ă
n
7
NỘI DUNG
3.2 Sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo thông
số biến phân 36
3.3 Nhận xét 40
Chương 4 SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG
LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO 42
4.1 Mục đích sử dụng sơ đồ vòng lặp 42
4.2 Thiết lập sơ đồ vòng lặp 42
4.3 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro ứng với
k=4,6,8,10 theo sơ đồ vòng lặp 44
4.4 Nhận xét 46
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO 48
PHỤ LỤC 48
Phụ lục 1 Các toán tử sinh – hủy một chiều 48
Phụ lục 2 Dạng chuẩn (Normal) của một số biểu thức trong luận văn 51
Phụ lục 3 Toán tử thế năng 53
Phụ lục 4 Tính các yếu tố ma trận của
ˆ
H
58
Phụ lục 5 Chương trình viết bằng Fortran 61
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 4
MỞ ĐẦU
1 Tình hình nghiên cứu
Ngày
phải
có
những
tính
toán
lý
thuyết
chính
xác.
Trong
khi
đó,
phương
pháp
gần
sử
dụng
được
cho
bài
toán không
có
nhiễu
loạn.
Trước
tình
hình
đó,
việc
tìm
quan
tâm
trong
những
năm
gần
đây.
Phương
pháp
toán
tử
với những
tính
toán
thuần
đang
được
các
nhà
Vật
lý
lý
thuyết
quan
tâm
nghiên
cứu.
Ý
tưởng
về
(Operator
Method)
được
đưa
ra
đầu
tiên
vào
năm
1982
do
nhóm nghiên
cứu
của
giáo
thành
công
cho
một
nhóm
các
bài
toán
trong
vật
lý
chất
rắn,
vật
lý
toán
cụ
thể,
phương
pháp
toán
tử
đã
tỏ
ra
là
một
phương
pháp
nổi
các
yếu
tố
ma
trận
phức
tạp
mà
thông
thường
phải tính
tích
phân
các
hàm
số
và
những
chương
trình
tính
toán
như
Maple,
Mathematica,…để
tự
động hóa
quá
trình
tính
độ
bất
kỳ.
Với
phương
pháp
toán
tử,
bước
đầu
đã
giải
quyết
một
phần
triển
không
ngừng
của
nền khoa
học
kỹ
thuật
toàn
cầu. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 5
2
Lí do chọn đề tài
Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán có lời giải
chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, đó là:
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 6
sau khác giá trị ngay trước đó trong khoảng sai số mong muốn thì dừng lại.
Kết quả cuối cùng thu được hội tụ về một giá trị, chính là giá trị năng lượng
cần tìm ứng với sai số đã chọn.
Nội dung bài khóa luận này sẽ trình hai hướng tiếp cận bài toán nguyên
tử hydro là: lý thuyết nhiễu loạn kết hợp với nguyên lý biến phân và sơ đồ
vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của
nguyên tử hydro.
3
Mục tiêu của đề tài
Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một
công cụ mới với mục tiêu cụ thể là:
Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu
điểm… Kết hợp phương pháp toán tử, lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng nguyên
lý biến phân để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.
Tìm hiểu vai trò của thông số biến phân được đưa vào trong toán tử sinh,
hủy cũng như khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử
hydro theo thông số biến đó.
Xây dựng sơ đồ vòng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử
hydro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận bài toán nguyên tử
quyết
bài
toán
nguyên
tử
hydro
trong
trường
ngoài
trung
bình
và
những
ưu
điểm
vượt
toán
tử
là
phương
pháp
chính
được
sử
dụng
trong
quá
trình
thực
hiện
khóa
u
trúc
c
ủ
a
lu
ậ
n
v
ă
n
T
ừ
mục
tiêu
và
dự
kiến
kết
Phần
mở
đầu:
Nêu
lên
tình
hình
nghiên
cứu
vấn
đề,
lý
do
chọn
Phần
nội
dung:
gồm
4
ch
ươ
ng
Ch
ươ
ng
1:
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ
HYDRO
Ch
ươ
ng
này
trình
bày
toán nguyên
tử
hydro:
năng lượng, hàm sóng
…
Giới thiệu về phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro và
dùng phương pháp toán tử kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn tính mức
năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính.
Chương 2: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ
CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 8
Xây dựng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn.
Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu
loạn bằng phương pháp toán tử.
Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG VIỆC ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO
Vai trò của thông số biến phân trong việc ứng dụng phương pháp toán tử cho
bài toán nguyên tử hydro.
Khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo thông
số biến phân.
Chương 4: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG
LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO
luận
văn,
h
u
ớng
phát
triển sắp
tới
của
đề
tài.
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 9
NỘI DUNG
Chương 1
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN
NGUYÊN TỬ HYDRO
( )
U r r
rút về
bài toán chuyển động của một hạt có khối lượng rút gọn
trong trường lực
U(r). Trong trường hợp nguyên tử hydro
.
e p
e p
m m
m m
với m
p
, m
n
tương ứng là
khối lượng của proton và electron. Vì
p e
m m
nên
e
m
m
E U r
(1.3)
Trong tọa độ cầu, toán tử
có dạng
,
2
2
2
2
,
2 2
2
2 2 2
1
1
1 1
sin
sin sin
1 1 1
sin
sin sin
r
r
r
r
2
,
2 2 2
21 1
( ) ( ) 0
e
m
r E U r
r r r r
(1.5)
Do
2
,
2
ˆ
L
ta viết lại như sau:
L
với
ˆ
H
.
Trong trường hợp này
ˆ
H
có dạng:
2 2
2
2 2
ˆ
1
ˆ
( ) ( )
2 2
e
L
H r U r
r r r m r
(1.7)
Ta thấy
ˆ
Z
L
. Do đó chúng ta sẽ khảo sát các
trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này. Một cách tương ứng ta, ta
viết nghiệm của phương trình dưới dạng
,
( , , ) ( ). ( , )
nlm n l m
r R r Y
(1.9)
Năng lượng của hạt được đặc trưng bằng số lượng tử chính n, còn các trị riêng
của các toán tử và được đặc trưng bằng các số lượng tử quĩ đạo l và số lượng
tử từ m. Thay (1.2) và (1.6) vào phương trình (1.9) và chú ý rằng
2
ˆ
( 1)
lm lm
LY l l Y
ta đi tới phương trình cho thành phần xuyên tâm
( )
nl
R r
của
hàm sóng
(1.10)
1.1.2 Năng lượng của nguyên tử hydro
Từ kết quả của cơ học lượng tử ta có công thức tính năng lượng của
nguyên tử hydro
4 2
2 2
2
n
me Z
E E
n
(CGS) (1.11)
Trong hệ không thứ nguyên
1
m e
thì:
2
2
2
n
Z
E E
n
E eV E eV
Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên
kết, bắt đầu ứng với năng lượng
2 4
2
2
mZ e
và kết thúc ứng với năng lượng 0.
Ứng với một giá trị đã cho của n (số lượng tử chính) thì
l
có thể có những
giá trị l = 0, 1, 2, , n- 1. Như vậy có tất cả n giá trị của
l
;
l
gọi là lượng tử số
quỹ đạo và nó xác định độ lớn moment xung lượng
1
L l l
(1.13)
Ba số nguyên n, l, m duy nhất xác định một hàm riêng
nlm
,
ta nói có sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có
cùng giá trị năng lượng E
n
là
1
2
0
2 1
n
l
l n
(1.14)
Nếu không tính đến spin, mức năng lượng cơ bản
1
E
không suy biến, mức kích
thích thứ nhất
2
E
suy biến bậc 4, mức kích thích thứ hai
3
na me
(1.15) Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 13
a
0
: là bán kính Bohr thứ nhất
Bảng 1.1 Hàm sóng toàn phần
, ,
nlm
r
của các hệ giống hydro ứng với
các giá trị n=1, 2, 3,… n l m
, ,
nl m
r
Z a Zr a Zr a
3 / 2
0 0 0
1
( / ) ( / )exp( / 2 ) cos
4 2
Z a Zr a Zr a
3/2
0 0 0
1
( / ) ( / ) exp( / 2 )sin exp( )
8
Z a Zr a Zr a i
3
3
3
3
3
3 3
Z a Zr a Z r a Zr a
3/ 2
0 0 0 0
2 2
( / ) (1 /6 )( )exp( /3 )cos
27
Z a Zr a Zr a Zr a
3/2
0 0 0 0
2
( / ) (1 /6 )( / )exp( /3 )sin
27
i
Z a Zr a Zr a Zr a e
3/ 2 2 2 2 2
0 0 0
1
( / ) ( / )exp( /3 )(3cos 1)
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 14
1.2 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro
[12]
Xét bài toán nguyên tử hydro, phương trình Schrodinger viết cho nguyên
tử đồng dạng hydro trong hệ SI có dạng:
2 2
0
Δψ( ) ( ) ( )
2 4
Ze
r r E r
m r
(1.16)
Trong đó
,
m e
– lần lượt là khối lượng và điện tích của điện tử;
Z
là số điện
(1.17)
Với tọa độ và năng lượng lần lượt có đơn vị là
0
a
và
2 2
0
/
ma
. Ta có thể viết
dưới dạng tường minh như sau:
ˆ
( , , ) ( , , )
H x y z x y z
(1.18)
Với:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
(1.20)
với
, ,
x y z
, trong đó
là các tham số thực dương, ta sẽ xác định nó sau.
Dễ dàng thấy rằng
, 1
a a
(1.21)
(Phụ lục1trang 51)
Các giao hoán này chính là công cụ chính cho các tính toán đại số. Ta viết lại
các thành phần trong hamilton
(1.22)
Từ (1.20) ta có:
2
2
a a a a
Suy ra
1
ˆ
1 2
4
T
H a a a a
(1.24)
Đặt
2 2
, ,
A a A a N a a
(1.25)
thế năng dưới dạng:
2 2 2
( )
0
2 2 2
1
ˆ
t x y z
U
Z Z
H dt e
t
x y z
(1.27)
(Phụ lục 2 trang 51)
Từ đó ta có thành phần thế năng được viết dưới dạng:
0
0
'
: là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử
0
ˆ
x
S
khi tác dụng
lên vector trạng thái sẽ thu được trạng thái không đổi.
2
0
2 2
2 2
1 1 , 1
1 1
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
1
!
1 2
! ! !
m i m
ˆ
x
S
: là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử
'
ˆ
x
S
khi tác dụng lên
vector trạng thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét.
'
, 1 1 1
, 1 , 1 , , 1
1 1 1
1
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
! ! ! !
1 2
1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
! ! ! ! ! ! !
m l l i
l m m l l l i i
l
(1.30)
(Phụ lục 3 trang 53)
1.2.3 Toán tử hamilton
Thay (1.26), (1.28) vào biểu thức
ˆ ˆ ˆ
T U
H H H
, ta được:
0
0
0
'
0 0 0 0 0
' ' ' ' ' ' ' ' ' '
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
x y z x y z x y z x y z x y z
S SS SS S SS S SSS SSS
(1.33) Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 17
Thành phần toán tử chứa các toán tử không trung hòa, xem như loại toán
tử nhiễu loạn
V
, với:
0 ' ' ' 0 ' ' ' 0 0 0 ' 0 ' 0 ' 0 0 ' ' '
2
2
1
0
và qua quá trình tính toán ta tính được
các yếu tố ma trận của
ˆ
H
:
ˆ
nk
H n H k
m
2i-1 2i
(0) 2 1/2
,
2
m=1 i=1 =0 =1
2i m
2i-1 2i
,
2 1/2
2
i=1 m=1
=0 =1
(-1) 1
ˆ
{1+ [ ( ) ( 2 )]
m! (i!)
(-1) (-1)
[ ( ) ( 2 )] ( 2 ) }
(i!) m!
0
0
2
1/2
(2 )!
(2 2 )!( !)
1
2 | |2 ,
(1 2 ) 2
(1 2 )
k
i
i
k
k
k i i k
k S k k
i m l
S k k l
k k
n , 2 2
l-1 2i
1/2 m 1/2
(1 2 )
(1 2 )
,
2 2
k n k n i
k n i
i
k n
k n
k i n i i i
n S k
k n
k n
, ,
1
000 000 000 2 1 000
4
ˆ ˆ ˆ
000 000
(1 2 )
x y z
x y z
x y z
E H N
S S S
Z
dt
t
Ta đã đặt 2
2
t
dt d
(0)
0
1 3
0
2 2
2
3 1
2
4
(1 2 )
Z
E d
Thay
16
9
vào
(0)
0
E
ta được:
(0)
0
4
-0.42441318157838759
3
E
. (1.38) Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 19 Chương 2
SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN
TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN
CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO
2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn
0
ˆ
H
là toán tử hamilton có nghiệm riêng chính xác
0
ˆ
n n n
H
(2.3)
Thành phần
ˆ
V
còn lại được gọi là thế nhiễu loạn, điều kiện áp dụng lý
thuyết nhiễu loạn là thành phần nhiễu loạn
ˆ
V
phải “nhỏ” so với
0
ˆ
H
, Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 20
0
0
ˆ
H
là đầy đủ và trực giao ứng với năng lượng
n
,
với
0,1,2,
n
. Khi đó, chúng ta tìm nghiệm của (2.1) dưới dạng khai triển
theo các hàm riêng của
0
ˆ
H
như sau:
0
( ) ( )
k k
k
x C x
(2.4)
Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết hàm sóng cho trạng thái
(2.6)
Nhân hai vế của (2.6) với
*
( )
n
x
rồi tích phân theo toàn miền biến số x ta
được:
* *
0
0, 0,
ˆ ˆ
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n k k n n n k k
k k n k k n
x H V x C x x E x C x
Ta có:
0 ( )
nn nn k nk n
k k n
H V C V E
(2.7)
Bây giờ làm tương tự như trên cho
*
( ),
j
x j n
ta có:
* *
0
0, 0,
ˆ ˆ
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
j n k k j n n k k
k k n k k n
x H V x C x x E x C x
Ta có:
0 ( )
j jj jn k jk n j
k k n
C H V C V E C
(2.8)
Ta viết (2.7) và (2.8) lại như sau:
0,
n nn nn k nk
k k n
E H V C V
(2.9)
0
( )
*
ˆ
( ) ( )
jk j k
V x V x dx
(2.11)
Hệ phương trình đại số (2.9) - (2.10) có thể xem tương đương với phương
trình Schrodinger (2.1). Giải hệ phương trình này ta thu được năng lượng
n
E
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 22
và các hệ số
j
C
, nghĩa là tìm được hàm sóng
( )
n
x
Ở đây ta ký hiệu
(0) (0)
,
n j
E C
là năng lượng và hệ số gần đúng bậc zero, còn
( ) ( )
, , 1
s s
n j
E C s
là các bổ chính vào năng lượng và hệ số hàm sóng. Thay
(2.12) và (2.13) vào (2.10), (2.11) sau đó đồng nhất hai vế theo bậc s ta được:
(0) (0)
, 0
n nn j
E H C
,
(1) (1)
(0)
, ( )
jn
n nn j
n jj
V
E V C j n
s s s t t
j jk k n j
k t
n jj
k n
C V C E C j n
E H
(2.14)
Giá trị riêng và hàm sóng ở gần đúng (s) bất kỳ:
( ) ( )
2
s
s t
n nn n
t
E H E
V
bằng 0.
2.2.2 Tính bổ chính bậc hai
Xét ở bổ chính bậc hai (s=2) thì từ (2.14) ta được hiệu chính cấp hai cho
mức năng lượng của hệ là:
(2)
(0)
0
nk kn
n
k
n kk
k n
V V
E
E H
. (2.17)
Hiệu chính cấp hai cho mức năng lượng cơ bản sẽ là một đại lương âm
phụ thuộc vào đặc tính của nhiễu loạn. Như vậy, với độ chính xác đến các số
hạng có độ bé cấp hai, năng lượng của hệ suy ra từ (2.14), (2.15), (2.17), được
tính bằng:
2
(0)
(0)
,
000
0
000
ˆ
x y
x y z
z
x y z
k k
k k k
k
k k k
E
E E
V
(2.19)
Ta tính các yếu tố ma trận của
ˆ
V
, thấy rằng
000 0
ˆ
x y z
k k k
V V V V V V
2 2 2 2 2 2
(0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0)
000 420 000 402 000 240 000 204 000 042 000 024
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
000 420 000 402 000 240 000 204 000 042 000 024
E E E E E E E E E E E E
V V V V V V
2
(0) (0)
000 222
ˆ
000 222
V
E E
V V V
V
2 2
(0) (0) (0) (0) (0)
00 000 420 000 222
6
ˆ ˆ
000 420 000 222
6
bac
E E E E
V V
(2.20)
3
x y z
S S S
Z
V dt d
t
Các yếu tố ma trận của
ˆ
V
ứng với bậc 4 theo k
3
3
' ' (0)
2
02 02 00
1 7
0 0
2 2
ˆ ˆ ˆ
2 2
ˆ
000 220 .
5
1 2
x y z
S S S
Z
V dt d
t
Các yếu tố ma trận của
5
' ' (0)
2
04 02 00
1 9
0 0
2 2
ˆ ˆ ˆ
2 6 3
ˆ
000 420
14
1 2
x y z
S S S
Z
V dt d
t
S S S
Z
V dt d
t
Các yếu tố ma trận của
ˆ
V
ứng với bậc 8 theo k
Copyright: Tài liệu đại học ©