BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ

Dương Nhật Huy

VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG PHƯƠNG
PHÁP TOÁN TỬ QUA VÍ DỤ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG
TỬ PHI ĐIỀU HÒA

Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ
Mã số: 102

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
ThS. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2011


MỤC LỤC

MỤC LỤC............................................................................................................................. 2
T
2

2T

LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................................... 3
T
2


DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU
HÒA BẬC BỐN ............................................................................................................................ 13
T
2

T
2

2.1 Phương pháp toán tử và bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn: .......................... 13
T
2

T
2

2.2 Kết quả: ..................................................................................................................... 16
T
2

2T

Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ QUA
VÍ DỤ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA BẬC BỐN ................................................ 19
T
2

T
2

3.1 Tham số tự do ω và lý thuyết cực tiểu năng lượng: .................................................... 19

2

2T

PHỤ LỤC ............................................................................................................................ 33
T
2

T
2


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khóa luận này, tôi đã nhận được sự quan tâm hỗ trợ rất
lớn từ phía các thầy cô trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí
Minh.
Xin được được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến cô Hoàng Đỗ Ngọc
Trầm, người đã không chỉ hướng dẫn tôi hoàn thành khóa luận này mà còn truyền đạt cho
tôi nhiều bài học quý báu. Ngoài ra cũng xin được gởi lời cảm ơn đến thầy Lê Văn Hoàng
nói riêng cũng như các thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết nói chung đã đóng góp cho tôi
nhiều ý kiến, kinh nghiệm quý báu để tôi có thể hoàn thành tốt khóa luận này.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình đã luôn ở bên cạnh và động viên tôi trong suốt
những năm học đại học cũng như trong trong quá trình hoàn thành khóa luận.
Xin chân thành cảm ơn.

Dương Nhật Huy


LỜI MỞ ĐẦU



Cho phép tính toán trên các cơ hệ lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kỳ.

-

Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong toàn miền thay đổi
tham số trường ngoài.

Ý tưởng chính của phương pháp toán tử nằm trong bốn bước sau:


-

Biểu diễn toán tử Hamilton qua các toán tử sinh hủy của Dirac H ( x, p) → H (aˆ , aˆ + , ω ) ;

-

Tách toán tử Hamilton thành hai thành phần: trung hòa H 0 (aˆ + aˆ , ω ) và không trung hòa
V (aˆ + , aˆ , ω ) ;

-

Chọn tham số ω sao cho thành phần trung hòa là thành phần chính của toán tử Hamilton
và nghiệm riêng của H 0 (aˆ + aˆ , ω ) chính là năng lượng gần đúng bậc không của bài toán;

-

Xem thành phần không trung hòa V (aˆ + , aˆ , ω ) là thành phần “nhiễu loạn” và tính các bổ
chính bậc cao của bài toán bằng các sơ đồ thích hợp.



R

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương:
Chương 1: Lý thuyết nhiễu loạn dừng
Giới thiệu các ý tưởng của phương pháp nhiễu loạn dừng thông qua sơ đồ RayleighSchrödinger. Áp dụng sơ đồ trên để giải bài toán dao động tử phi điều hòa, từ các kết quả thu được
tác giả sẽ phân tích các điểm còn hạn chế của phương pháp trên. Mặc dù còn nhiều hạn chế nhưng
các ý tưởng chính của phương pháp nhiễu loạn là nền tảng quan trọng để xây dựng nên phương
pháp toán tử được sử dụng trong luận văn này.
Chương 2: Phương pháp toán tử và bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn.


Chương này sẽ giới thiệu một cách tổng quát về phương pháp toán tử: sự hình thành, các ý
tưởng chính, ưu điểm và nhược điểm. Ngoài ra, tác giả cũng sẽ áp dụng phương pháp toán tử cho
một bài toán cụ thể là bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn để thấy được những ưu điểm của
phương pháp này so với phương pháp nhiễu loạn đã được nêu ở trên.
Chương 3: Vai trò của tham số ω trong phương pháp toán tử qua ví dụ bài toán dao
động tử phi điều hòa bậc bốn.
Chương này sẽ phân tích cụ thể hơn vai trò của tham số ω đối với việc tối ưu hóa quá trình
tính toán dựa trên kết quả một bài toán cụ thể là bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn. Ngoài
ra, tác giả cũng sẽ đề xuất và kiểm tra một phương pháp mới để chọn tham số ω là phương pháp dựa
vào tỉ số

Vnn2
. Với các kết quả so sánh, tác giả sẽ phân tích các trường hợp đáp ứng tốt cũng như
H nn2

chưa tốt của phương pháp trên để từ đó đưa ra các kết luận, đề xuất cải tiến phương pháp sao cho
hiệu quả hơn.
Phần kết luận và hướng phát triển đề tài:

Xét phương trình Schrödinger:

Hˆ Ψ ( x) =E Ψ ( x) .

(1.1)

Ý tưởng chính của phương pháp nhiễu loạn là ta tách toán tử Hamilton của bài toán thành hai
thành phần:

ˆ Hˆ + βVˆ ;
H
=
0

(1.2)

trong đó thành phần Hˆ 0 là toán tử Hamilton có nghiệm riêng chính xác:

Hˆ 0ψ n = ε nψ n ,

(1.3)

trong khi thành phần Vˆ còn lại được gọi là thành phần nhiễu loạn, điều kiện để được xem là nhiễu
loạn ta sẽ xét trong trường hợp cụ thể sau. Tuy nhiên nhìn chung điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu


loạn là thành phần nhiễu loạn Vˆ phải “nhỏ” so với Hˆ 0 , Vˆ = Hˆ 0 . Khi đó, nghiệm của phương
trình (1.3) sẽ gần với nghiệm của phương trình (1.1). Lúc này chúng ta xem ε n và ψ n là nghiệm
gần đúng bậc zero của (1.1), các nghiệm gần đúng bậc cao hơn sẽ được tính bằng cách xét đến ảnh
hưởng của Vˆ thông qua các bổ chính năng lượng và hàm sóng. Ở đây ta đưa vào tham số nhiễu loạn





( Hˆ 0 + β Vˆ ) ψ n ( x) + ∑ Ck ψ k ( x)  =
En ψ n ( x) + ∑ Ck ψ k ( x)  . (1.5)
k=
0, k ≠ n
k=
0, k ≠ n





Nhân hai vế của (1.5) với ψ n* ( x) rồi tích phân theo toàn miền biến số x ta được:
H nn + β Vnn + β

+∞

∑

=
k 0 (k ≠n)

Ck Vnk =
En .

(1.6)


+∞

( En − H jj )C j =β V jn + β ∑ CkV jk , ( j ≠ n )

(1.9)

k =0
k ≠n

với ký hiệu các yếu tố ma trận:
+∞
H kk = ∫ ψ k * ( x) Hˆ 0 ψ k ( x)dx ,

+∞
V jk = ∫ ψ j * ( x) Vˆ ψ k ( x) dx .

−∞

−∞

(1.10)

Hệ phương trình đại số (1.8) - (1.9) có thể xem tương đương với phương trình Schrödinger
(1.1). Giải hệ phương trình này ta thu được năng lượng En và các hệ số C j , nghĩa là tìm được hàm
sóng Ψ n ( x) qua công thức (1.4). Ta có thể sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cho hệ phương trình này
bằng cách phân tích theo tham số nhiễu loạn như sau:

En = En

C j =C j

V jn

∆En (1) = Vnn , ∆C j (1) =

s ≥ 2:

∆En ( s ) =

En (0) − H jj

+∞

∑V
k =0
k ≠n

nk

( j ≠ n) ;

∆Ck ( s −1) ,

 +∞

s −1
1
( s −1)
( s −t )
(t ) 


lượng gián đoạn.
Phương pháp nhiễu loạn được sử dụng cho bài toán này trong hầu hết các sách giáo khoa về
cơ học lượng tử [1],[5]. Ta chia toán tử Hamilton thành hai phần như sau:

1 d2 1 2
Hˆ 0 =
−
+ x ,
2 dx 2 2
Vˆ = λ x 4 .

(1.15)

Cách chia này phù hợp với lý thuyết nhiễu loạn là toán tử Hamilton gần đúng Hˆ 0 có nghiệm
riêng chính xác là các hàm sóng của dao động tử điều hòa:

 x2
ψ n An exp  −
=
 2


 Hn ( x) ,


(1.16)

với H n ( x ) là đa thức Hermit được định nghĩa như sau:

d n − x2

4

V=
nn

(1.17)

Các yếu tố ma trận khác không khác thu được từ tính đối xứng: Vkm = Vmk .
Kết quả: Trong các bảng sau tác giả sẽ đưa ra các số liệu thu được cho trường hợp trạng thái
cơ bản n = 0 và một trạng thái kích thích n = 4 . Điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn

µ0 ψ lúc này trở thành:
ψ n Vµ ψ n = ψ n H
n

λ=

2 ( 2n + 1)
6n 2 + 6n + 3

.

(1.18)

- Ứng với trạng thái cơ bản là: λ = 0.67 , ta sẽ xét bốn trường hợp λ = 0.01 , λ = 0.05 ,

λ = 0.1 và λ = 0.3 .
- Tương tự cho trạng thái kích thích n = 4 điều kiện (1.18) trở thành λ = 0.146 ta sẽ xét bốn
trường hợp λ = 0.01 , λ = 0.03 , λ = 0.06 và λ = 0.1 .



0.5309375002

0.5487500013

4.8875000929

E0(3)

0.5072583125

0.5335390626

0.5695624993

1.0506874797

E0( 4)

0.5072558996

0.5320310060

0.5454335949

-0.9037538228

E0(5)

0.5072562577


0.5319607395

0.3357518043

-1811.3500941848

E0(9)

0.5072562047

0.5335887505

1.1692934364

14595.2498498883

E0(

0.5072562044

0.5311982288

-1.2786007173

-129950.4520395805

7)

10 )


5.0569874638

4.8829498552

3.5137495980

E4(3)

4.7775845596

5.3458081837

7.1935156144

14.2108132978

E4( 4)

4.7738544635

5.0436703988

2.3593110572

-23.0901477918

E4(5)

4.7753851516


4.4448528730

-232.9328160495

-15669.8670185477

E4(9)

4.7749514618

6.5051300165

820.0470425212

888816.3030916408

E4(

4.7748899061

2.8703274765

E4(

0)

1

7)

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ VÀ BÀI TOÁN
ĐIỀU HÒA BẬC BỐN

DAO ĐỘNG TỬ PHI

Chương này sẽ trình bày về các ý tưởng chính của phương pháp toán tử, đồng thời áp dụng
nó để giải lại bài toán dao động tử phi điều hòa đã được nhắc tới ở chương trước. Từ các kết quả thu
được, tác giả sẽ phân tích những ưu điểm của phương pháp toán tử so với phương pháp nhiễu loạn.
Mặc dù còn nhiều hạn chế, nhưng chúng ta cũng có thể thấy được rằng phương pháp nhiễu loạn đã
góp phần đưa ra những ý tưởng cơ bản cho phương pháp toán tử.
2.1 Phương pháp toán tử và bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn:

Những ý tưởng về phương pháp toán tử đã xuất hiện vào những năm 1979 [9]. Tuy nhiên,
phương pháp toán tử (Operator Method) được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi một nhóm các giáo
sư ở trường Đại học Belarus và được ứng dụng thành công trong một nhóm rộng rãi các bài toán về
vật lý chất rắn, bài toán tương tác hệ các boson trong lý thuyết trường, bài toán nguyên tử, phân tử
trong trường điện từ [3],[4],[7].
Ta sẽ trình bày các điểm chính của phương pháp toán tử trên cơ sở ví dụ bài toán dao động tử
phi điều hòa một chiều. Kết quả thu được sẽ so sánh với phương pháp nhiễu loạn ở phần 1.2. Xét
phương trình Schrödinger (1.1) cho dao động tử phi điều hòa với toán tử Hamilton không thứ
nguyên (1.14). Ta sẽ giải phương trình này bằng phương pháp toán tử với bốn bước cơ bản như sau:
Bước một: Chuyển toán tử Hamilton về biểu diễn của các toán tử sinh - hủy bằng cách đặt biến số
động lực (tọa độ và toán tử đạo hàm) thông qua các toán tử sau:

aˆ =
aˆ + =

ω

i 

2
ω dx 

(2.1)

Ở đây toán tử aˆ được gọi là “toán tử hủy” và aˆ + được gọi là “toán tử sinh” (xem [1],[5]); ω
là tham số thực dương được đưa thêm vào để tối ưu quá trình tính toán, ta sẽ nói rõ hơn về tham số
này trong bước ba và phần sau của luận văn.
Ta dễ dàng thu được hệ thức giao hoán:
 aˆ , aˆ +  = 1 .



(2.2)


Hệ thức này sẽ giúp ta đưa các toán tử sinh hủy về dạng chuẩn, nghĩa là các toán tử sinh nằm
ở phía bên trái và các toán tử hủy nằm về phía bên phải, thuận lợi cho các tính toán đại số sau này.
Từ đây về sau ta gọi nó là dạng chuẩn (normal) của toán tử.
Thế (2.1) vào (1.14) và sử dụng (2.2), ta được biểu thức dạng chuẩn của toán tử Hamilton
như sau:
1+ ω2
1− ω2
+
ˆ
ˆ
ˆ
H
=
( 2a a + 1) + 4ω


)

(

 2 aˆ + aˆ


+ 2

)

2

+ 2aˆ + aˆ + 1

+ 6aˆ 2  .




(2.3)

Bước hai: Tách Hamiltonian ở phương trình (2.3) thành hai thành phần như sau:
- Phần thứ nhất là Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ, λ , ω ) chỉ chứa các thành phần nˆ = aˆ + aˆ , các thành phần này
được gọi là các toán tử “trung hòa”, nghĩa là các số hạng chứa số toán tử sinh và số toán tử hủy
bằng nhau:
2
1+ ω2
3λ


1

+ n

0 ,

(2.6)


Ở đây ta đã sử dụng kí hiệu và khái niệm Dirac để định nghĩa, khi đó nghiệm (1.24) ta gọi là
vector trạng thái; nghiệm cơ bản là trạng thái “chân không” (vacuum) 0 được xác định bằng
phương trình:
aˆ(ω ) 0 0;=
0 0 1.
=

(2.7)

Khi cần thiết chúng ta có thể sử dụng phương trình này để xác định dạng tường minh của hàm sóng
biểu diễn trạng thái chân không.
Từ các tính chất của toán tử sinh – hủy (1.20), ta dễ dàng kiểm chứng:

aˆ + aˆ n = n n ;

(2.8)

điều này có nghĩa là trạng thái (2.7) là nghiệm riêng của toán tử nˆ = aˆ + aˆ , từ đó có thể thấy rằng nó
cũng chính là nghiệm riêng của toán tử Hˆ 0 ( aˆ + aˆ, λ , ω ) . Ta có:
=


Bước bốn: Phương pháp toán tử tìm nghiệm bằng số:
Đến đây chúng ta có thể sử dụng sơ đồ của lý thuyết nhiễu loạn (1.11)-(1.13) để tính các bổ
chính bậc cao. Ngoài ra, do tính hội tụ của phương pháp toán tử rất cao và chúng ta có tham số tự do

ω để điều khiển tốc độ hội tụ, ta có thể sử dụng phương pháp vòng lặp để giải trực tiếp hệ phương
trình (1.8)-(1.9). Phương pháp vòng lặp cho ta sơ đồ sau:


(s)
n

E

(E

(s)
n

n+ s

Ck( s )Vnk ,
∑
k 0, k ≠ n
=

= H nn + Vnn +

− H jj )C


(2.2), (2.7). Để tiện trong tính toán ta đưa ra hai công thức sau:

aˆ + n = n + 1 n + 1 ;

aˆ n = n n − 1 .

(2.13)

Cách tính các phần tử ma trận bằng các phép tính thuần đại số là một trong những ưu điểm
của phương pháp toán tử. Thật vậy, thay vì định nghĩa các phần tử ma trận như (1.10) và tính các
tích phân tương ứng với các hàm sóng ở dạng tường minh, ở đây ta chỉ dựa vào các biến đổi đại số
nhờ các hệ thức (2.2) và (2.7) và cụ thể là sử dụng (2.8) và (2.13).
Kết quả ta có các phần tử ma trận khác không như sau (xem phụ lục 3):
H nn
=

1+ ω2
3λ
( 2n + 1) + 4ω 2 ( 2n2 + 2n + 1) ,
4ω

1 − ω 2

λ
Vn,n+2= 
+ 2 ( 2n + 3) 
2ω
 4ω




0.56030737

0.64162986

0.89581792

E0( )

0.50725627

0.53265332

0.55920022

0.63833728

0.88647098

E0(2)

0.50725627

0.53265336

0.55920043

0.63833858

0.88647706


0.55914457

0.63796813

0.88462605

E0(

6)

0.50725620

0.53264283

0.55914751

0.63801524

0.88502178

E0(

7)

0.50725620

0.53264273

0.55914573


0.50725620

0.53264276

0.55914649

0.63800055

0.88494854

0.50725620

0.53264275

0.55914632

0.63799178

0.88479443

E0(

0)

1

10 )

E0(

5.20618235

5.70398382

6.22585316

12.39708482

E4(2)

4.77491518

5.20517700

5.70108541

6.22041107

12.35724872

E4(3)

4.77491319

5.20515405

5.70103082

6.22034316


5.20515121

5.70101550

6.22030269

12.35756777

E4(

4.77491312

5.20515114

5.70101486

6.22030041

12.35750140

E4( )

4.77491312

5.20515116

5.70101505

6.22030120


5.20515115

5.70101495

6.22030088

12.35751765

4)

7)

8

T)


Từ các kết quả thu được, ta có thể nhận thấy rằng phương pháp toán tử có thể tìm ra được
nghiệm với độ chính xác cao, với mọi giá trị bất kỳ của λ, đối với trạng thái cơ bản hay kích thích.
Tuy chỉ giải trên một bài toán cụ thể là bài toán dao động tử phi điều hòa bậc 4 nhưng sơ đồ tính
toán của nó không phụ thuộc và dạng cụ thể của toán tử Hamilton nên có thể áp dụng cho một nhóm
rộng rãi các bài toán.


Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ
QUA VÍ DỤ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA BẬC BỐN

Trong chương này, chúng ta sẽ đi sâu vào tìm hiểu một trong những khó khăn hiện tại mà
phương pháp toán tử gặp phải là tối ưu tốc độ của phương pháp bằng việc chọn tham số tự do ω
thích hợp. Như chúng ta đã biết, sự hội tụ nhanh hay chậm của một bài toán khi áp dụng phương



Bảng.3.1
n=0; λ=0.01

n=0; λ=0.5

ω

s

E

ω

s

E

0.8

51

0.507256204524603

2.5

31

0.696175820765146


2.8

30

0.696175820765146

1.4

24

0.507256204524603

3.0

35

0.696175820765146

1.6

33

0.507256204524603

3.2

42

0.696175820765146


18

1.535648278296803

2.5

31

2.324406352106039

1.1

10

1.535648278296803

2.6

27

2.324406352106039

1.2

14

1.535648278296803

2.65


52

1.535648278296803

3.0

35

2.324406352106039

2.0

70

1.535648278296803

4.0

85

2.324406352106039

Một trong những phương pháp được nhắc đến nhiều trong việc chọn tham số tự do là phương
pháp cực tiểu năng lượng [6],[9]. Nội dung của phương pháp này là tìm giá trị ω tối ưu thông qua
điều kiện
∂En( )
=0
∂ω
.

β = En(0) (ω )

Hình 3.1:=
β En(0)=
; n 0,=
λ 0.01


Hình 3.2:=
β En(0)=
; n 0,=
λ 0.5

Trong luận văn này, tác giả đề xuất một phương pháp mới để khảo sát giá trị tối ưu của tham
số tự do ω là dùng biểu thức

Vnn2
, tức là dựa vào mối quan hệ giữa V nn và H nn .
H nn2
R

3.2 Kết quả khảo sát thực tế và phương pháp dùng tỉ số

R

R

R

Vnn2

H nn2

nhỏ (Hình 3.3, 3.4, 3.5). Trong các trường hợp trên, chỉ với giới hạn α ≤ 0.5 , ta đã “bắt” được vùng


tối ưu thực nghiệm. Còn trong các trường hợp còn lại (Hình 3.6-3.7), phương pháp khảo sát đã nêu
không cho vùng các giá trị ω tối ưu gần với kết quả có được từ thực nghiệm. Vùng các giá trị ω tối
ưu thực nghiệm nằm trong giới hạn 0.75 ≤ α ≤ 1 , như vậy là không thực sự tốt. Ở đây ta có thể hiểu
là khi vùng hội tụ thực nghiệm nằm trong giới hạn α =

Vnn
càng nhỏ thì khảo sát lý thuyết càng
H nn

tốt, vì khi đó vùng các giá trị ω tối ưu khảo sát bằng đồ thị β =

Vnn2
nằm gần với vùng hội tụ thực
H nn2

tế.
Chú thích đồ thị: đường liền nét là đồ thị hàm số β =

Vnn2
H nn2

Hình 3.3:=
n 0,=
λ 0.01