Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Trang bìa
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 1 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Mục lục
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 2 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Lời cảm ơn
Trước tiên cho em gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Trần Mạnh Hùng
là người trực tiếp hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận.
Chính nhờ sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy cùng với các tài liệu thầy cung
cấp giúp em có thể hoàn thành tốt đề tài này.
Cũng xin cho em gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong nhà trường và
đặc biệt là các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Tin đã góp ý để hoàn thiện đề
tài. Các thầy cô giáo đã dạy giỗ em trong suốt thời gian hoàn thành khóa học
của mình.
Em cũng xin được cảm ơn các anh chị khóa trước, các bạn bè xung quanh,
gia đình và tất cả mọi người xung quanh em, luôn động viên giúp đỡ em trong
những khó khăn, chính nhờ sự động viên không nhỏ đó giúp bản thân em ngày
càng cố gắng học tập và hoàn thành tốt khóa học của mình.
Một lần nữa em xin cảm ơn tất cả quý thầy cô giáo đã dạy dỗ em trong
suốt thời gian ngồi trong ghế nhà trường, chính sự dạy dỗ đó em học được rất
nhiều điều bổ ích cho chuyên nghành của mình và trong cuộc sống.
Em xin cảm ơn!
Người thực hiện
Tạ Minh Thanh
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 3 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”

GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 4 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
luyện cho kỳ thi do đó có điều kiện được tìm hiểu sâu Olympic Toán, nên bản
thân xem như đây là một lợi thế.
Với tất cả các lý do trên đã gợi ý cho em chọn và nghiên cứu đề tài “Phân
loại các dạng Toán về ma trận”.
2. Mục đích nghiên cứu
Từ những lý do trên em đã chọn đề tài với những mục đích sau:
- Hệ thống lại lý thuyết một cách tổng quát về ma trận để xây dựng và
phân loại các dạng Toán về ma trận.
- Đưa ra các phương pháp giải phong phú của một bài Toán ma trận.
- Xây dựng hệ thống bài tập, phân loại được các dạng Toán và tìm hướng
giải chúng.
- Thông qua tìm hiểu nghiên cứu giúp bản thân có cái nhìn tổng quan về
các bài toán trong đề thi Olympic Toán sinh viên mà em đã tham gia.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
- Đối tượng nghiên cứu : Lý thuyết về ma trận, sử dụng nội dung cốt lõi
của lý thuyết để phân loại các dạng Toán.
- Phạm vi nghiên cứu: Các dạng Toán về ma trận, tập trung chủ yếu là
các bài Toán được trích ra từ đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc
và Quốc tế.
4. Phạm vi nghiên cứu.
- Từ quan điểm liên quan để rút ra, phân loại được các dạng Toán.
- Hệ thống hóa, sáng tạo phương pháp giải các bài toán trong kỳ thi
Olympic Toán sinh viên.
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 5 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
5. Phương pháp nghiên cứu.

i
1
< < i
k
≤ n của ma trận A được gọi là ma trận con cấp k và được kí
hiệu là A(i
1
, .,i
k
, j
1
, ., j
k
). Còn định thức của nó được gọi là định thức
con hay milnor. Ma trận con nằm trên giao của các dòng và cột còn lại
được gọi là ma trận con bù của A(i
1
, .,i
k
; j
1
, ., j
k
) và được kí hiệu là
A(i
1
, .,i
k
; j
1

k
)| được gọi là phần bù đại số của
|A(i
1
, .,i
k
; j
1
, ., j
k
)| trong đó S(i, j) = (i
1
+ + i
k
) + ( j
1
+ + j
n
)
Định lý (Khai triển Laplace) - Giả sử đã chọn ra k dòng (tương ứng cột)
trong một định thức cấp n (1 ≤ k ≤n), khi đó định thức đã cho bằng tích của
tất cả các định thức con cấp k lấy ra từ k dòng (tương ứng cột) đó với phần bù
đại số của chúng, tức là :
|A| =
∑
1≤j
1
< j
k
≤n

1≤i
1
< i
k
≤n



A(i
1
, .,i
k
; j
1
, ., j
k
)|(−1)
S(I,J)



.
|
A(i
1
, .,i
k
; j
1
, ., j

a
1 j
|A
1 j
|+ (−1)
j+2
a
2 j
|A
2 j
|+ + (−1)
j+n
a
n j
|A
n j
|
Bài toán 1: Để tính định thức của ma trận tam giác trên (tương ứng
dưới), ta chỉ việc thực hiện liên tiếp khai triển Laplace theo cột (dòng) thứ
nhất.








a
11









= a
1






a
22
a
23

2n
0 a
33
a
3n
.
.
.
.

a
21
a
22
0 0
a
31
a
32
a
33
0
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
a
n1
a
n2
a
n3

.
. .
.
.
.
a
n2
a
n3
a
n3






= = a
11
a
22
a
nn
Bài toán 2. Tính định thức ma trận A vuông cấp n trên trường số thực R
A =






=














a b b b b
−b a b b b
−b −b a b b

−b −b −b a b
−b −b −b −b a




















Khai triển Laplace theo cột thứ nhất ta được
∆
n+1
= (a + b)














a b b b b
−b a b b b






b b b b b
a b b b b
−b −b b b b
.
−b −b −b b b
−b −b −b a b














Do đó: ∆
n+1
= (a + b)∆
n−1
+ (−1)










b b b b
a −b 0 0 0
−2b a −b 0 0

−2b −2b a −b 0












Khai triển Laplace theo cột thứ n −1 (cột cuối) ta nhận được
∆ = (−1)
n
b(a −b)

(a + b)
1
+ (a −b)
1

.
Giả sử đúng với n-1 tức là ∆
n−1
=
1
2

(a + b)
n−1
+ (a −b)
n−1

Ta chứng minh đúng với n .
∆
1
= (a + b)∆
n−1
−b(a −b)
n−1
= (a + b)
1
2
[(a + b)
n
+ (a −b)

D =












1 2 3 n −2 n −1 n
2 3 4 n −1 n n
3 4 5 n n n
.
n n n n n n














Khai triển theo cột cuối cùng ta được:
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 10 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
D =












1 1 1 1 1
2 2 2 2 1
3 3 3 3 1

n −1 n −2 n −3 2 1








a
1
a
2
a
n
−y
1
x
1
0 0
0 −y
1
x
2
0
.
0 0 0 x
n



















+ x
n









a
0
a
1
a
2
a
n−1
−y
1
x
1

x
1
x
2
x
n
+ a
1
y
1
x
2
x
n
+ a
2
y
1
y
2
x
3
x
n
+ + a
n
y
1
y
2







Giải: Bắt đầu từ dòng cuối cùng, trừ đi các dòng đứng trước nó (để tạo
nhiều phần tử giống nhau ở trong định thức ta được:
D =












1 2 3 n −1 n
1 1 1 1 1−n
1 1 1 1 −n 1

1 1 −n 1 1 1














Bây giờ cộng vào dòng 1 các tích của dòng thứ i với
n −i −1
2
,i ≥ 2. Khai
triển theo dòng thứ nhất ta được:
D = (−1)
n(n−1)
2
.
n + 1
2
.n
n−1
Bài toán 6: Tính định thức:
A =

















2 1 1 1 1
1 2 1 1 1
1 1 3 1 1
1 1 1 4 1
1 1 1 1 4












= −













1 1 1 1 4
0 1 0 0 −3
0 0 2 0 −3
0 0 0 3 −3
0 −1 −1 −1 −7












= −














1 1 1 1 4
0 1 0 0 −3
0 0 2 0 −3
0 0 0 3 −3
0 0 0 −1
−23
2













75
2
.
Bài toán 7: Cho hai ma trận vuông cùng cấp A và B, giả thiết
det(A + B) = 0 và det(A −B) = 0. Đặt
M =

A B
B A

Chứng minh detM = 0
Giải. Ta có det M =





A B
B A





là định thức cấp 2n.
Ta nhân (-1) vào cột n + i và cộng vào cột i (i = 1,n) thì định thức thay
đổi, do đó:
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 13 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”

cụ thể. Ta có thể trình bày thành thuật toán sau:
Thuật toán tính định thức (phương pháp Gauss).
1a. Cho một chỉ số i sao cho a
i1
= 0 , rồi đổi chổ dòng thứ 1 và dòng thứ
i cho nhau, đồng thời đổi dấu định thức. (Thông thường ta chọn i sao
cho a
i1
gần 1 nhất, hoặc chọn i đầu tiên thỏa mãn tính chất đó). Nếu chỉ
số như vậy không tồn tại thì định thức bằng 0.
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 14 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
1b. Lần lượt trừ dòng j ≥ 2 đi tích của dòng thứ 1 (của ma trận mới) với
a
i1
/a
11
2. Tại bước k, 2 ≤ k < n lặp lại bước 1 đối với ma trận con cấp n −k + 1 ở
góc phải bên dưới cùng.
3. Tối đa sau n −1 bước ta sẽ được ma trận tam giác trên. Định thức của
nó bằng tích các phần tử trên đường chéo.
Bài toán 1: Tính định thức














1 4 3
0 −1 −14
0 −7 −2







= −1







1 4 3
0 −1 −14
0 0 96











1 1 3
0 3 −3
0 −7 7







=





3 −3
−7 −7






nhưng từ đặc thù bài toán, ta có thể linh hoạt trong việc sử dụng thứ tự các
phép biến đổi sơ cấp.
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 15 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Bài toán 3: Tính định thức Vandermonde.
D
n
=












1 1 1 1
x
1
x
2
x
3
x
n








Lấy dòng thứ n −1 nhân với −x
1
rồi cộng dòng thứ n, sau đó lấy dòng
thứ n-2 nhân với −x
1
rồi cộng vào dòng thứ n-1,. cho đến khi biến đổi xong
dòng thứ 2, ta được.
D
n
=












1 1 1 1

)

0 x
n−2
2
(x
2
−x
1
) x
n−2
3
(x
3
−x
2
) x
n−2
n
(x
n
−x
1
)







(x
2
−x
1
) x
3
(x
3
−x
2
) x
n
(x
n
−x
1
)

x
n−2
2
(x
2
−x
1
) x
n−2
3
(x
3

1
)









1 1 1
x
2
x
3
x
n
x
2
2
x
2
3
x
2
n
x
n−2
2

D =












a
1
b
1
a
1
b
2
a
1
b
3
a
1
b
n
a

3
.
.
.
a
1
b
n
a
2
b
n
a
3
b
n
a
n
b
n











n
b
2
a
2
b
2
a
2
b
3
a
2
n
n
b
3
a
2
b
3
a
3
b
3
a
3
b
3
.













b
1
a
1
b
2
−a
2
b
1
∗ ∗
b
2
0 a
2
b
3
−a












a
1
b
2
−a
2
b −1 ∗ ∗ b −1
0 a
2
b
3
−a
3
b
1
∗ b
2
0 0 ∗ b
2

2
−a
2
b
3
) .(a
1
b
n−1
−a
n−1
b
2
)
Trong dòng thứ 2 ở trên, lần lượt từ cột thứ 2 ta trừ một bội của cột thứ
nhất, sau đó ở dòng thứ 3 thì chuyển cột đầu xuống cuối.
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 17 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Bài toán 5.











2n−1












Giải. Sử dụng công thức tổ hợp C
k
n
= C
k
n−1
+ c
k−1
n−1
Trong các phép biến đổi sau: bắt đầu từ cột cuối cùng trừ đi các cột đứng
trước đó, sau đó áp dụng khai triển Laplace đối với dòng đầu, rồi tiếp tục như
vậy.
ta được
D =




C
n−2
n
C
n−2
2n−3
C
n−2
2n−2












Lại làm như trên nhưng chỉ đến cột thứ 2 ta có:
D =




















Sau n-1 bước ta được
D =












1 0 0 0
C
1
2


= 1
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 18 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Bài toán 6 Cho A là ma trận thực thỏa mãn
A = (a
(i j)
m×n
=

(−1)
|i−j|
khi i = j
2 khi i = j
Tính định thức ma trận A.
Giải.
Xét
detA =






















1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 1 0 0
.
0 0 0 1 1
∓1 ±1 ∓1 1 2






















= n + 1 = 0(n ∈N)
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 19 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Bài toán 7.
Cho a
0
,d là các số thực, dãy {a
0
,a
1
, .,a
n
} lập thành cấp số cộng, công
sai d.
Tính định thức của ma trận
A =







a
n−3
a
n−2

a
n−1
a
n−2
a
n−3
a
0
a
1
a
n
a
n−1
a
n−2
a
1
a
0






a
0
a
1
a
n−2
a
n−1
a
2
a
1
a
0
a
n−3
a
n−2

a
n−1
a
n−2
a
n−3
a
0
a
1
a










a
0
a
1
a
2
a
n−1
1
a
1
a
0
a
1
a
n−2
1
a
2
a










Do a
k
+ a
n−k
= a
0
+ kd + a
n
−kd = a
0
+ a
n
,k = 1,n −1
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 20 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Tiếp tục nhân hàng thứ n −1 với -1 rồi cộng vào hàng cuối cùng, nhân
hàng thứ n −2 với -1 rồi cộng vào hàng thứ n −1, , nhân hàng 1 với -1 rồi
cộng vào hàng 2 ta được:
D = (a
0

d d d d 0














= (−1)
n
(a
0
+ a
n
)









0
+ a
n
)














2d 0 0 0 0
2d 2d 0 0 0
2d 2d 2d 0 0
. .
2d 2d 2d . 2d 0
d d d d d











1 1 1
x
1
+ 1 x
2
+ 1 x
n
+ 1
x
2
1
+ x
1
x
2
2
+ x
2
x
2
n
+ x
n
x
3
1

n
+ x
n−2
n














GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 21 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Giải. Kể từ dòng hai, lần lượt trừ đi dòng đứng trước đó ta sẽ được định
thức Vandermorde
D
n
=





3
2
x
3
n

x
n−1
1
x
n−1
2
x
n−1
n














Lấy dòng n−1 nhân −x

0 x
2
(x
2
−x
1
) x
n
(x
n
−x
1
)

0 x
n−2
2
(x
2
−x
1
) x
n−2
n
(x
n
−x
1
)


n
−x
1
x
2
(x
2
−x
1
) x
n
(x
n
−x
1
)

x
n−2
2
(x
2
−x
1
) x
n−2
n
(x
n
−x












1 1 1
x
1
x
2
x
n
x
2
1
x
2
2
x
2
n
x
3
1

=
∏
i> j
(x
i
−x
j
)
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 22 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Bài toán 9. Tính đính thức cấp n của ma trận A sau:
|A| =












1 + a
1
a
2
a











Giải. Cộng tất cả các cột vào cột 1 ta được:
|A| =












1 + a
1
+ a
2
+ + a
n


1 + a
1
+ a
2
+ + a
n
a
2
a
3
1 + a
n












Nhân hàng 1 với −1 rồi công vào hàng 2,3,. . . , n. Ta có:
|A| =











=1 + a
1
+ a
2
+ + a
n
3. Rút ra các nhân tử tuyến tính
Chú ý: Nếu mỗi phân tử của ma trận vuông A cấp n là một đa thức bậc
nhất đối với biến x nào đó thì định thức |A| là một đa thức của các biến đó với
bậc (tổng thể) không quá n. Nếu bằng cách nào đó ta tìm được n đa thức bậc
nhất f
1
, ., f
n
độc lập tuyến tính với nhau sao cho mỗi f
i
là ước của |A| thì ta
có thể kết luận |A| và tích f
1
f
n
sai khác nhau một nhân tử hằng số.
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 23 SVTH: Tạ Minh Thanh

.
1 2 3 x + 1












Giải. Ta biết rằng
D(x) =












1 2 3 n
1 x + 1 3 n

a
2π
(2)
a
nπ
(n)
đều có thừa số thứ nhất là một hằng số.
Thực ra ta thấy chỉ có một tích có bậc đúng bằng n, nó tương ứng với tích các
phần tử trên đường chéo, tức khi π là hoán vị đồng nhất. Do đó bậc đa thức
của bài toán trên đúng bằng n −1 và có hệ số dẫn đầu là 1. Mặt khác lần lượt
cho x = 1,2, ,n −1, ta nhận được định thức có hai dòng bằng nhau, nên
chúng đều bằng 0. Tức là D(1) = D(2) = = D(n −1). Do đó D(x) chia hết
cho x −1, ,x −n + 1. Suy ra D(x) = (x −1)(x −2) (x −n + 1).
Bài toán 2. Tính định thức
D =









−x a b c
a −x c b
b c −x a
c b a −x












Giải
Dễ thấy định thức trên là một đa thức bậc 4 của d, có hệ số bậc cao nhất
là 1.
- Cộng tất cả vào dòng 1, và đưa nhận tử ra ngoài ta được :
D = (a +b + c + d)









1 1 1 1
a d c b
b c d a
c b a d





Khi a + d = b + c hay a + d −b −c = 0 thì D = 0
- Cộng dòng 3 vào dòng 1, dòng 4 vào dòng 2, ta được:
D =









d + b a + c d + b a + c
a + c d + b a +c d + b
b c d a
c b a d









Khi d + b = a + c hay d + b −a −c = 0 thì D = 0
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 25 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50