BÀI TẬP VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG
Bài 1: Cho phương trình chuyển động của chất điểm là :
x = Acosω t
y = Bsinω t
z = 0
Trong A, B, ω là các hằng số.Hãy tìm phương trình quĩ đạo, vận tốc và gia tốc của chất điểm.
HD : quĩ đạo là một ellip có các bán trục là A và B nằm trong mặt phẳng xOy :
z = 0
= - Aω sinω t + Bω cosω t
= - Aω
2
cosω t - Bω
2
sinω t = -ω
2
: gia tốc hướng vào tâm ellip và tỉ lệ với bán
kính .
Bài 2. Từ độ cao h = 25m một vật được ném theo phương nằm ngang với vận tốc ban đầu vo

=
15m/s. Hãy xác định :
a) Quĩ đạo của vật
b) Thời gian chuyển động của vật từ khi ném cho tới khi chạm đất.
c) Gia tốc toàn phần, gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến của vật khi chạm đất.
d) Bán kính cong của quĩ đạo khi vật chạm đất.
HD : quĩ đạo parapol
a) y =
b) t = = 2,26s
c) a=g=9,8m/s
2
; at= =8,112m/s

(ĐS : a) 2,32m; b) 3,84m; c) 8,65m/s; d) 3,09m. )
Bài 5. Một chất điểm chuyển động trên quĩ đạo tròn bán kính bằng 50m. quãng đường đi được
trên quĩ đạo được cho bởi công thức : s = -0,5t
2
+10t+10 (m)
Tìm gia tốc pháp tuyến, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc toàn phần của chất
điểm lúc t = 5(s).
(ĐS : at

= -1m/s
2
; an

= 0,5m/s
2
; a = 1,12m/s
2
)
Bài 6. Một vật A được đặt trên một mặt bàn nằm ngang. Dùng một sợi
dây, một đầu buộc vào A cho vòng qua ròng rọc và đầu kia của sợi dây
buộc vào vật B sao cho vật B rơi không ma sát thẳng đứng từ trên xuống.
Cho biết mA= 2kg, hệ số ma sát giữa A và mặt bàn là k=0,25; gia tốc
chuyển động của hệ là a= 4,9m/s
2
. Hãy xác định :
a) Khối lượng mB.
b) Lực căng của dây.
( ĐS : a/ mB= 3kg; b/ T=14,7N)
Bài 7. Một vật trượt từ đỉnh một mặt phẳng nghiêng hợp với mặt phẳng
nằm ngang một góc α . Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là k,

1
, m
2
và lực căng của sợi dây.
Cho g = 9,8m/s
2
.
( ĐS : a
1
= = g = 3,92m/s
2
; a
2
= g =1,96m/s
2
T= m
2
g ≅ 5,9N )
Bài 10. Trên một toa tàu khối lượng M có hai vật m
1
và m
2
được mắc như ở hình dưới. Cho biết
hệ số ma sát giữa vật m
1
và mui tàu là k. Bỏ qua khối lượng của dây và ròng rọc cũng như ma sát
giữa chúng. Tác dụng một lực đẩy theo phương nằm ngang làm cho toa tàu chuyển động trên
đường ray. Bỏ qua lực ma sát lăn giữa toa tàu và đường ray. Hỏi lực đẩy phải có độ lớn bằng
bao nhiêu để cho khi toa tàu chạy mà hai vật m
1

Có hai lực tác dụng lên m
1
: lực căng của sợi dây hướng từ trái qua phải, lực Fms

= km
1
g hướng
từ phải qua trái. Hiệu của hai lực này gây ra chuyển động có gia tốc của vật m
1
nên theo định
luật II Niu-tơn ta có: T-km
1
g = m
1
a (1)
*Xét vật m
2
:
Theo phương thẳng đứng vật m
2
chịu tác dụng của hai lực : lực căng của sợi dây hướng thẳng
đứng lên trên và trọng lượng của nó
2
hướng thẳng đứng xuống dưới. Vì theo đầu bài thì m
2

đứng yên theo phương này nên theo định luật II Niu-tơn ta có:
T-P
2
= 0 hay T= P

1
:
Trong hệ qui chiếu này vật m
1
đứng yên. Các lực tác dụng lên vật m
1
gồm :
- Lực căng của sợi dây hướng sang phải.
- Lực ma sát Fms=km
1
g hướng sang trái.
- Lực quán tính
qt
= -m
1
hướng sang trái.
Vì vật đứng yên nên tổng của các lực này phải bằng 0, tức là ;
T-km
1
g-m
1
a = 0
Từ đó a = (3)
*Xét vật m
2
:
Trong hệ qui chiếu này m
2
đứng yên. Theo phương nằm ngang m
2

- Lực quán tính -(m
1
+m
2
+M)a tác dụng lên tất cả các vật của hệ.
Vì trong hệ qui chiếu này các vật của hệ đều đứng yên nên theo định II Niu-tơn ta phải có :
-(m
1
+m
2
+M)a+F = 0.
Hay từ đó :
F = (m
1
+m
2
+M)a = (m
1
+m
2
+M) (4)
So sánh (4) và (2) ta thấy chúng ta thu được cùng một kết quả khi giải bài toán này trong
hai hệ qui chiếu khác nhau.
Bài 11. Trên một mặt phẳng nghiêng làm với mặt phẳng nằm ngang một
góc α có hai vật có khối lượng m
1
và m
2
(m
2

= 0,2; k
2
= 0,4; g =10m/s
2
.
(ĐS: a) tanα
gh
= ≈ 0,36 ⇒ α ≈ 19
o
8
b) a = gsinα -gcosα ( ) = 4,525m/s
2
)
Bài 12. Một hệ gồm hai vật có khối lượng mA và mB

được nối với nhau bằng
một sợi dây không co dãn vắt qua một ròng rọc như ở hình bên. Mặt phẳng
nghiêng có góc nghiêng là α . Hệ số ma sát giữa mA và mặt phẳng nghiêng là
k .
a) Hãy tìm điều kiện để cho mA chuyển động xuống phía dưới.
b) Tìm điều kiện cho mA chuyển động lên phía trên.
c) Tìm điều kiện để cho hệ đứng yên.
(ĐS : a) < sinα -kcosα ;
b) > sinα +kcosα ;
c) sinα -kcosα < < sinα +kcosα )
Bài 13. Trên mặt đất một người đứng lên một cái cân thì chỉ số của cân là 50 (50kg).
a) Khi ở trong thang máy đang đi lên với gia tốc a=1m/s
2
cái cân đó chỉ bao nhiêu?
b) Khi thang máy đi xuống với gia tốc bằng bao nhiêu thì chỉ số của cái cân là 0 (tình trạng


5
Bài 17. Từ đỉnh của một bán cầu bán kính là R người ta buông tay cho một vật trượt xuống phía
dưới theo bề mặt của bán cầu. Hỏi ở độ cao nào so với so với mặt đất vật bắt đầu rời khỏi bề mặt
của bán cầu
Bài giải
Xét một vị trí bất kỳ của vật khi nó còn tiếp xúc với mặt bán cầu
như ở hình trên. Khi đó vật chịu tác dụng của hai lực :
- Phản lực của mặt bán cầu. Lực này hướng theo
phương nối tâm O của bán cầu với vật và có chiều
hướng từ trong ra ngoài bán cầu.
- Trọng lượng mg của vật hướng theo phương thẳng đứng từ trên xuống dưới. Lực này có thể
phân tích thành hai lực thành phần:
+ Thành phần pháp tuyến mgcosα .
+ Thành phần tiếp tuyến mgsinα là thành phần lực trực tiếp làm cho vật chuyển động
trượt xuống dưới theo bề mặt bán cầu. Trong đó α là góc lực pháp tuyến làm với phương thẳng
đứng.
Do theo phương pháp tuyến của quĩ đạo hai lực mgcosα và ngược chiều nhau nên khi tổng
hợp lại ta có lực (mgcosα -N). Chính lực này đóng vai trò là lực hướng tâm làm cho vật chuyển
động theo quĩ đạo tròn. Do vậy, ta có :
mgcosα -N = m
với v là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm mà ta đang xét.
Từ đó :
N= mgcosα - m = m(gcosα - ) (1)
Từ (1) ta có nhận xét sau : khi vật càng trượt xuống phía dưới thì góc α càng tăng làm cho thành
phần gcosα càng giảm trong khi thành phần càng tăng do v càng lớn (v càng lớn do đó thành
phần mgsinα càng tăng) đến một lúc nào đó thì gcosα = và khi đó N= 0. Lúc này vật bắt đầu
rời khỏi mặt cầu (vì rằng khi rời khỏi bán cầu vật không còn tiếp xúc với mặt bán cầu nên nó
không còn chịu tác dụng của phản lực N, tức là N = 0)
Khi vật bắt đầu rời khỏi bán cầu, ta có :

.
(ĐS: U =119J )
Bài 19. Một hệ gồm hai vật có khối lượng m
1
= 12kg và m
2
= 4kg được nối
với nhau bằng một sợi dây và được vắt qua một ròng rọc như hình bên. Ban
đầu vật m
2
nằm ở sàn nhà còn m
1
nằm ở độ cao 2m. buông tay cho m
1
rơi
xuống dưới. Hãy xác định vận tốc của m
1
khi nó chạm nền nhà. Bỏ qua ma
sát và khối lượng của dây và ròng rọc.
(ĐS: 4,4m/s )

Bài 20. Một thang máy có khối lượng 1 tấn, đi lên nhanh dần đều với vận
tốc ban đầu bằng không và gia tốc là 2 m/s2. Tính:
a) Công của thang máy thực hiện được trong 5 giây đầu tiên.
b) Công suất trung bình và công suất cực đại sau 10 giây đầu tiên.
(ĐS: a) 50kW=J b) CS t.bình=Công toàn bộ/thời gian=20kW; CSmax=F.vmax=40kW)
Bài 21. Một động cơ có công suất là 3 mã lực (HP) (1HP=736W). Hiệu suất của máy là 75%.
Ðộng cơ dùng để nâng một vật lên cao với vận tốc không đổi là 3m/phút. Tính khối lượng tối đa
của vật được nâng.
(ĐS: 3380kg)

>= 5gR.
Bài 23. Một quả cầu có khối lượng là 1 kg treo vào đầu một sợi dây buộc cố định vào trần nhà.
Ðưa quả cầu lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 60
0
rồi buông ra không vận tốc đầu. Tính vận
tốc của quả cầu khi nó ở vị trí tạo với vị trí cân bằng một góc 30
0
. Tính lực căng của dây cũng tại
vị trí đó. Cho biết chiều dài của dây là 1m.
(ĐS: 2,7m/s; 16N)
Bài 24. Tính khối tâm của vật hình tròn có khoét một hình tròn nhỏ phía trong có bán kính bằng
nửa hình tròn lớn và của hình vuông cạnh là đường kính hình tròn lớn và cũng khoét một hình
tròn nhỏ phía trong (theo hình vẽ).
Bài 25.Một viên đạn khối lượng m=10g bay với vận tốc 600 m/s. Sau khi xuyên thủng một bức
tường,
vận tốc chỉ còn 200 m/s. Tìm độ biến thiên xung lượng và độ biến thiên động lượng của viên
đạn.
Tính lực cản trung bình mà bức tường tác dụng vào viên đạn cho biết thời gian mà viên đạn
xuyên qua
tường là 1/1000 s.
Bài 26.Sau va chạm đàn hồi của hai quả cầu có khối lượng bằng nhau, cả hai có cùng vận tốc sau
là
10 m/s. Cho biết trước va chạm quả cầu thứ hai đứng yên. Tính góc tạo bởi phương chuyển động
của
quả cầu thứ hai so với phương chuyển động của quả cầu thứ nhất trước khi va chạm. Tính vận tốc
của
quả cầu thứ nhất trước va chạm.
Bài 27. Một người đứng giữa ghế Giukốpski cầm trong tay hai quả tạ, mỗi quả khối lượng
m=10kg. Khoảng cách từ quả tạ đến trục quay là 0,2m. Giả sử ban đầu ghế quay với vận tốc w 1
= 4,1vòng/s. Hỏi vận tốc góc của ghế thay đổi như thế nào nếu người đó dang tay ra để khoảng

2
.
( ĐS :
a = = 4,75m/s
2
T
1
= m
1
(kg+a) = 5,75N
T
2
= m
2
(g-a) = 10,5N )
Bài 30. Cho hai ròng rọc giống hệt nhau có khối lượng m và bán kính R. Hai vật
m
1
và m
2
được mắc như hình vẽ. Sợi dây nối không co dãn và bỏ qua khối lượng
của dây.
a/ Giả sử ban đầu các vật đứng yên. Hãy xác định gia tốc chuyển động của các vật
m
1
, m
2
.
b/ Tìm điểu kiện để cho m
1

chịu tác dụng của hai lực ngược chiều nhau : m
1
hướng xuống dưới (m
1
g > 0), lực căng
1
của sợi dây hướng lên trên (T
1
< 0).
Vậy theo định luật II phương trình chuyển động của m
1
là :
m
1
g – T
1
= m
1
a
1
(1)
* Xét chuyển động quay của ròng rọc thứ nhất :
Ròng rọc chịu tác dụng của hai mômen lực : T
1
R và T
2
R ngược chiều nhau, do đó phương trình
chuyển động của ròng rọc thứ nhất là :
(T
1

2
/R) = mR
2
(a
2
/R) = ma
2
R
9
Hay : T
3
-T
2
= ma
2
(3)
* Lưu ý là ròng rọc thứ hai vừa tham gia cả chuyển động quay và cả chuyển động tịnh tiến. Vì vật
m
2
nối với ròng rọc thứ hai bằng một sợi dây không co dãn nên ta có thể coi ròng rọc thứ hai và
vật m
2
như là một vật với khối lượng là (m+m
2
) cùng tham gia chuyển động tịnh tiến.
Lực tác dụng lên (m+m
2
) gồm (m+m
2
)g hướng xuống dưới và (T

Biểu thức xác định chiều dài l của sợi dây là :
x
2
+ (x
2
– xo) + (x
1
– xo) + π R + π R = l
hay 2x
2
+ x
1
– 2xo +2π R = l
lấy đạo hàm bậc hai theo thời gian và để ý rằng xo, R, l là hằng số, ta đi đến phương trình :
2 =0 hay 2a
2
+ a
1
= 0
hay a
1
= -2a
2
(5)
* Cuối cùng ta giải hệ gồm năm phương trình (1),(2),(3),(4) và (5) như sau :
(1)+(2)⇒ m
1
g – T
2
= (m

(3) + (4) ⇒ (m+m
2
)g – 2T
2
= (3m+2m
2
)a
2
(**)
Thay –2T
2
từ (*) vào (**), ta có :
(m+m
2
)g – 2(m+2m
1
)a
2
– 2m
1
g = (3m+2m
2
)a
2
hay (m+m
2
-2m
1
)g = (3m+2m
2

2
=
⇒ Muốn cho m
1
chuyển động xuống phía dưới, tức là a
1
>0, thì cần thõa mãn điều kiện :
8m
1
> 4(m+m
2
) hay 2m
1
>(m+m
2
)
10
(1) ⇒ T
1
= m
1
(g-a
1
) = m
1
[g- ]
= m
1
[
=

không ma sát chung quanh trục của nó theo phương nằm ngang. Người ta
treo hai vật có khối lượng bằng nhau và bằng m nhờ hai sợi dây nhẹ quấn
quanh khối trụ và thả cho chúng rơi không vận tốc ban đầu. Hãy xác định :
a/ Gia tốc của các vật.
b/ Lực căng của mỗi sợi dây.
c/ Vận tốc góc của khối trụ khi hai vật rơi được một đoạn h.
(ĐS : a/ a = 4mg/(M+4m) ; b/ T = Mmg/(M+4m) ; c/ ω =
)
Bài 32. Cho một hệ như hình vẽ. Ròng rọc là một ròng rọc kép
đồng tâm có bán kính lần lượt là R và R/2. Cho biết mômen quán
tính của ròng rọc là I. Tìm điều kiện để cho m
1
chuyển động đi
xuống. Với điều kiện đó hãy tính gia tốc góc của ròng rọc và lực
căng trên các đoanï dây.
(ĐS : m
1
>2m
2
β = g ;
T
1
= m
1
g[1- ] ;
T
2
= m
2
g[1+ ])

U = mgl
Khi chạm đất thì thế năng của thanh biến hoàn toàn thành động năng quay của thanh :
K
quay
= Iω
2
= ( ml
2
) ω
2
= ml
2
ω
2
= mgl
Từ đó :
ω =
Vận tốc dài của đỉnh thanh được tính theo công thức v =ω l :
v = ω l =
b/ Ta biết rằng vật rơi tự do ở độ cao h khi chạm đất thì có vận tốc là v= . Aùp dụng công
thức này với điểm M có độ cao xM ;
v
M
=
Theo đầu bài :
12
= x
M
ω = x
M

=⇒−==
b. Tầm xa mà vật có thể đạt được.

g
v
tvx
dd
αα
α
cos.sin2
.cos
2
0
0
==
c. Độ cao cực đại mà vật có thể đạt được.

g
V
y
g
V
tva
tg
tVy
H
H
H
2
sin.sin

vvvvv
gtvvvvvvvv
ddydxddydxd
==−+=
−+=+=⇒+=
ααα
αα

e. Véctơ vận tốc tại thời điểm t bất kỳ kể từ lúc ném.

2
0
2
0
22
)sin()cos(
AAyAxAAyAxA
gtvvvvvvvv −+=+=⇒+=
αα

f. Giả sử góc
α
có thể thay đổi được . Hăy xác định góc
α
để vật có thể đạt được tầm xa cực
đại và tính giá trị cực đại đó.

0
2
0

cos.2cos
2cos
.sin
2
.
.sin
cos
.cos
2
2
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0
0
0
α
αα
α
α
α
α
α
+−=−=−=

yA
t
tgvv
v
g
v
v
gga
tgvv
tgv
g
v
v
gga
−+
===
−+
−
===
αα
α
ϕ
αα
α
ϕ
π
ω
ν
2
1


mg
g
V
M
mgxPrPrMPrM
H
.
sin.cos.
.cos
2
sin
2
0
αα
θθ
π
=
==






+=⇒∧=



j. Mômen động lượng của vật đối với điểm ném tại vị trí vật đạt độ cao cực đại.

A
cos.
.cos
2
sin
0
α
θ
θ
π
=
==






+=⇒
∧=



l. Mô men động lượng đối với điểm ném tại thời điểm t (s )kể từ lúc ném.
2
.cos0
cos cos.
2
00
000

a. Vận tốc của vật khi chạm đất.
b. Độ cao từ đó vật bắt đầu rơi.
c. Nếu từ độ cao này người ta ném thẳng đứng một vật khác thì phải ném với vận tốc bằng bao
nhiêu và phải theo hướng nào để vật rơi xuống tới mặt đất chậm hơn (và nhanh hơn ) vật rơi tự do
một khoảng t
2
= 1s.
14
y
r

x
ϕ
ϕ
0
0
V

max
y
α
H
V

H
P

y
r


tVhy =+==
Tại B :
)2(
2
2
B
B
tg
Shy =−=

)3(25,025,0
1
−=→==−
dBBd
ttsttt
Từ (1) và (2) ta có :
)4(
22
2
2
S
gt
gt
B
d
+=
Thay (3) vào (4) ta có :
( )
sttstggt
dddd

)1(
2
.
Vtt
gt
tVhy
Vtt
gt
tVhy
dd
d
dd
dd
d
dd
Bài 39 : Một vô lăng sau khi quay được một phút thì thu được vận tốc 700 vòng/phút. Tính gia
tốc góc của vô lăng và số vòng mà vô lăng quay được trong một phút ấy nếu chuyển động của vô
lăng là nhanh dần đều.
Vận tốc góc của vô lăng đạt ω = 700ṿng/phút = 700.2π/60 (rad/s), sau thời gian t = 1phút =
60s.
Mà ω = β. t ⇒ Gia tốc góc:
( )
2
/22,1
3600
1400
60
60/1400
srad
t

Bài 40 . Một bánh xe có bán kính R = 10cm lúc đầu đứng yên, sau đó quay xung quanh trục của nó
với gia tốc góc bằng 3,14 rad/s
2
. Hỏi sau giây thứ nhất:
a) Vận tốc góc và vận tốc dài của một điểm trên vành bánh?
b) Gia tốc pháp tuyến, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc toàn phần của một điểm trên vành bánh?
c) Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe (ứng với cùng một điểm trên vành
bánh?)
Bài giải:
a. Sau giây thứ nhất, vận tốc góc và vận tốc dài của một điểm trên vành bánh là:
( )
( )
smRv
sradt
/
/
==
==
ω
βω
b. Gia tốc tiếp tuyến có giá trị không đổi và gia tốc pháp tuyến :
( )
( )
222
n
2
t
sm986010143Ra
sm314010143Ra
/,,.,.

sin ==
α
⇒ α = 17
0
46’.
Bài 41 . Chu kỳ quay của một bánh xe có bán kính 50cm là 0,1 giây. Tìm:
a) Vận tốc dài và vận tốc góc của một điểm vành bánh;
b) Gia tốc pháp tuyến của một điểm nằm giữa một bán kính.
Bài giải:
a. Vận tốc dài và vận tốc góc của một điểm trên vành bánh:

( )
( )
srad
R
v
sm
T
R
v
/8,62
5,0
4,31
/4,31
1,0
5,0.22
===
===
ω
ππ

=
′
++
Chiếu lên phương chuyển động ( Hướng tâm)
2
33
2
222
2
111
.3.
.2.
.
ω
ω
ω
lmmaT
lmmaTT
mlmaTT
n
n
n
==
==
′
−
==
′
−
Theo điều kiện đầu bài :

có dạng cung tròn bán kính R = 800m. Khi đi được đoạn đường S = 800 m thì vận tốc của nó là
V= 18 km/h.
a. Tính thời gian chuyển động của ôtô khi đi hết đoạn đường đó.
b. Trị số và phương gia tốc toàn phần của ôtô tại thời điểm đầu và thời điểm cuối của quãng
đường
c. Gia tốc góc, vận tốc góc của ôtô tại thời điểm t = 2s kể từ lúc bắt đầu chuyển động vào
đoạn đường đó.
16
1
P

2
P

3
P

2
T

2
T
′

3
T

1
T


a. Vận tốc ban đầu của vật
b. Bán kính cong quỹ đạo tại thời điểm t =0,3s kể từ lúc ném
c. Trị số và phương của vận tốc tại điểm va chạm.
d. Mômen ngoại lực đối với điểm ném tại thời điểm vật vừa chạm tường.
e. Mômen động lượng đối với điểm ném tại thời điểm vật chạm tường.
Bài 47 : Cho một hệ cơ học như hình vẽ : Cho m
1
= 1 kg , m
2
= 3 kg . Ròng rọc là
một

đĩa tròn có khối lượng m
3
=2 kg, góc α = 30
0
, hệ số ma sát giữa vật m
1
và mặt
phẳng nghiêng k = 0,1 . Cho dây không dãn khối lượng không đáng kể . Hãy tính gia
tốc chuyển động của hệ và sức căng của dây.
Bài 48 . Cho một hệ cơ học như hình vẽ .Hình trụ đặc có khối lượng m
1
= 300 g
m
2
= 400 g. Nối với nhau bởi sợi dây không dãn, khối lượng không đáng kể , xem
dây không trượt trên ròng rọc. Lấy g = 10 m/s
2
.Hãy xác định gia tốc của hệ và sức

T
r
arm
IrT
amTP
=→==
=−
β
Thay vào trên ta có :
NT
sm
mm
gm
aaa
m
mgm
25,0
2
5.1,0
)/(5
2
2
)
2
(
2
12
2
22
1

1
m
2
m
m

(**)
.
(*)
2
2
maT
R
amR
mRITRI
maTmgamTP
T
=→===→=Μ
=−→=+
βββ




Từ (*) và (**) ta có:
( )
( )




Áp dụng định lý về mômen động lượng :
)(
60.
2 0
000
Nm
t
I
t
I
t
I
MM
t
L
πωωω
−=−=
∆
−
=⇒=
∆
∆
- Mômen quán tính của đĩa:
2
2
mR
I =
- Mômen quán tính của trụ rỗng:
2
mRI =

60.120.2
14,3.2.600.6,0.3
.2

.2
.0
.
00
2
0
=
∆
=⇒
∆
−=
∆
−
=⇒=
∆
∆
=→=
ωωω
Bài 53 . Từ độ cao h = 0,7 m trên mặt phẳng nghiêng, người ta cho một quả cầu
đặc, một đĩa tròn, một trụ đặc, một vành tròn, một trụ rỗng, có cùng bán kính, lăn
không trượt trên mặt phẳng nghiêng đó Biết
α
= 30
0
,60
0

T


( )
ImR
Rmgh
V
R
VImV
mgh
ImV
mgRRhmg
+
=⇒+=⇒++=+
2
2
2
2222
.2
.2
.
222
ω
- Đĩa tròn, trụ đặc:
3
.4
2
1
1
2

mR
mghR
VmRI =






+
=⇒=
- Vành tròn, trụ rỗng:
gh
mR
mghR
VmRI ==⇒=
2
2
2
.2
2
* Gia tốc khối tâm của các vật :
h
V
S
V
a
h
SVSaVV
.2

sin
7
5
2.7
sin.10
7
.10
g
h
gh
a
gh
V ==⇒=
- Vành tròn, trụ rỗng:
2
sin.
2
sin.
αα
g
h
gh
aghV ==⇒=
b. Thời gian chuyển động của vật :
a
V
tVatatVV =⇒==+= )0(;
00
- Đĩa tròn, trụ đặc:
α

g
h
tga
gh
V =⇒==
- Vành tròn, trụ rỗng:
α
α
2
sin.
.4
2
sin.
;
g
h
t
g
aghV =⇒==
c. Lực ma sát giữa hình trụ và mặt phẳng nghiêng
ImR
mgI
R
ImR
mg
R
I
F
R
I





+
=→






+=⇒
=→==
=−
2
2
2
2
2
2
2
sin sin.sin.
.sin.
.

sin.
ααα
α
β

FmRI
ms
=→=
19
d. Vật lăn không trượt:
NkFFF
tms
.=≤=
mstrîmsnghØ
- Quả cầu đồng chất:
=→≤→≤=
αααα
ktgmgkmgF
ms
2
7
cos sin.
7
2

- Đĩa tròn, trụ đặc :
ktgmgkmgF
ms
3cos sin.
3
1
≤→≤=
ααα
bất đẳng thức cho ta xác định giới hạn trên của góc nghiêng
00

VmM
v
m
VMm
vVmMmv
AA
A
min
min
).().(
).(
+
=→
+
=→+=
áp dụng định luật bảo toàn cơ năng (
theslùclµPASdT
T



;0=→⊥
)
BA
WW =
Chọn gốc thế năng tại A bằng 0
(*)
2
)(
2)(

lgmM
V
B
=
+
+
=→
)(
.)(
2

Thay vào (*)
gl
m
mM
vglV
A
5
)(
5
minmin
+
=⇒=
Bài 56 : Cho một hệ cơ học như hình vẽ m
1
= 400g , m
2
= 200g , ròng rọc là một đĩa
tròn có khối lượng


M
m
B
A
V

P

T

Bài 57 : Một vật nhỏ trượt không ma sát từ đỉnh một mặt cầu có bán kính R = 1,2m. Mặt cầu đặt
trên mặt đất, lấy g = 9,8m/s
2
. Xác định :
a. Vị trí vật bắt đầu rời khỏi mặt cầu so với mặt đất.
b. Vận tốc của vật khi chạm đất.
BÀI GIẢI:
a. Vị trí vật bắt đầu rời khỏi mặt cầu so với mặt đất.
Giả sử tại B vật bắt đầu rời khỏi mặt cầu
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:
Độ giảm thế năng của vật bằng độ tăng động năng của vật nên ta có

(*)
22
22
g
V
h
mV
hmg

R
h
Rh
h =∆→=
∆
+∆
Vị trí vật bắt đầu rời khỏi mặt cầu so với mặt đất:
RhR
3
5
2 =∆−
b. Vận tốc của vật khi chạm đất:
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng: Chọn gốc thế năng tại mặt đất bằng 0
gRV
V
gR
mVmV
Rmg
đ
đđB
4
22.3
2
3
5
223
5
222
=→=


.
2
ωω
ωω
Rm
IL
Rm
Rm
IL
==








+==
mà :
221121
ωω
IILL ===
1
1
21
1
2
1
2

b. Công mà người thực hiện khi người đi từ mép đĩa vào tâm đĩa
21
R
•
h
∆
B
A
m
R
0
m
R
•
h
∆
B
A
m
m
R
0
m
( )
)2(
4
22
.2
2222
2

−−=⇒
=
+
−=−=−=∆
Bài 59 : Một thanh đồng chất thiết diện mảnh, chiều dài l (m), quay xung quanh trục nằm ngang
đi qua một đầu của thanh. Lúc đầu thanh ở vị trí nằm ngang , thả thanh chuyển động tự do. Tìm
gia tốc góc và vận tốc góc của thanh khi thanh đi qua vị trí hợp với phương thẳng đứng một
góc α và khi thanh đi qua vị trí cân bằng. Lấy g = 9,8m/s
2
* Tìm gia tốc góc của thanh:
Mômen quán tính đối với trục quay C đi qua đầu thanh:
3412
222
mlmlml
I
c
=+=
Phương tŕnh chuyển động quay:
)/(
.2
sin 3
3
sin.
2
.
2
2
srad
l
g

6
.
2
.
32
cos.
2
22
222
srad
l
g
mgl
mglmgl
ml
mll
lmgImghmgl
c
α
ω
ααω
ωαω
=⇒
=







1
.
Bài 61 : Cho một hệ cơ học được gắn vào thang máy (hình vẽ). Thang máy chuyển động đi lên
(hoặc đi xuống) với gia tốc a
0
(m/s
2
) Cho : m
1
(kg) > m
2
(kg), Dây không dãn khối lượng không
đáng kể, xem dây không trượt trên ròng rọc, lấy g =10m/s
2
.
a. Tính gia tốc chuyển động của các vật đối với thang máy.
b. Tính sức căng của sợi dây.
* Thang máy chuyển động đi lên:
- Gọi gia tốc của vật đối với thang máy là: a
’
Viết phương trình chuyển động cho từng vật:
2222
1111
TPam
TPam




+=

2
T

2
P

1
P

0
a

m
2
m
4
m
1
m
3
( )
( )
0222
0111
aamPT
aamTP
+
′
=−
−

+
+−
=
′
⇒

)()(
01
NaagmT +
′
−=
* Thang máy chuyển động đi xuống:
Gọi gia tốc của vật đối với thang máy là: a
’
Viết phương trình chuyển động cho từng vật:
2222
1111
TPam
TPam




+=
+=
chiếu lên phương chuyển động của từng vật
( )
( )
0222
0111

21
021
sm
mm
agmm
a
+
−−
=
′
⇒

)()(
01
NaagmT −
′
−=
Bài 62 . Cho một hệ cơ học được gắn vào thang máy (hình vẽ). Thang máy chuyển động đi lên
(hoặc đi xuống) với gia tốc a
0
(m/s
2
). Cho : m
1
(kg)< m
2
(kg). Dây không dãn khối lượng không
đáng kể, xem dây không trượt trên ròng rọc, lấy g =10m/s
2
.

TTT ==
21
Thay vào và cộng hai vế ta có : +
0222
0111
amamTP
amamPT
−
′
=−
+
′
=−

0122112
)()( ammammPP −−
′
+=−
)/(
)).((
2
21
012
sm
mm
agmm
a
+
+−
=


1
m
2
m
0
a

1
T

2
T

2
P

1
P

Viết phương tŕnh chuyển động cho từng vật:
2222
1111
TPam
TPam




+=

)()( ammammPP −+
′
+=−
)/(
)).((
2
21
012
sm
mm
agmm
a
+
−−
=
′
⇒

)()(
01
NgaamT +−
′
=
Bài 63 . Một vật có khối lượng m(kg)chuyển động trên sàn thang máy dưới tác
dụng của lực F (N) theo phương ngang. Hệ số ma sát giữa vật và sàn là
k . Thang máy chuyển động lên trên ( hoặc chuyển động xuống dưới) với gia tốc
)/(
2
0
sma


* Thang máy chuyển động đi xuống:
Viết phương tŕnh chuyển động cho vật trong hệ quy chiếu không quán
tính:

( )
m
FPKF
m
FF
a
mamgkFPKFamFF
amFFFNP
qt
mS
qtmSmS
qtms
)(
)(;
0
−−
=
−
=
′
⇒
−=−=
′
=−⇒
′

′
=++
′
=→
′
=−⇒
′
=++++


* Thang máy chuyển động đi xuống:
Viết phương tŕnh chuyển động cho vật trong hệ quy chiếu không quán
tính:
24
F

0
a

F

0
a

P

qt
F

N

a

1
T

2
T

2
P

1
P

F

0
a

F

0
a

P

qt
F

N

b. Xác định độ cao của điểm M trên thanh sao cho khi điểm M chạm đất thì vận
tốc của nó đúng bằng vận tốc chạm đất của vật rơi tự do từ độ cao đó.
Bài giải :
a) Ở vị trí thẳng đứng, cột có thế năng w
t
=
2
mgl
. Khi đổ tới mặt đất thì thế năng này biến
thành động năng quay của cột ở vị trí chạm đất
2
.
2
ω
I
W
d
=
, trong đó I là mômen quán tính của
thanh đối với trục qua đầu mút của thanh: I =
3
2
ml
, ω là vận tốc góc của đỉnh thanh lúc chạm đất.
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:
smglV
l
VmlImgl
/2,123
2.32

.
22
2
2
2
2
=⇒=⇒=
ω
(**)
Theo điều kiện của đầu bài ta có biểu thức (*) bằng (**):
gx
l
g
x 2
3
. =
⇒ x =
l
3
2
= 10/3 =3,33m.
Bài 66 . Một sợi dây không dãn vắt qua ròng rọc, một đầu buộc vật có khối lượng m
1
= 300g, đầu
kia có cái vòng khối lượng m
2
= 200g trượt có ma sát trên dây. Gia tốc của vật m
2
đối với dây là
a

aamFP
amTP
ms
−
′
=−
=−
và lực ma sát đóng vai trò kéo căng dây nên:
F
ms
=T
1
Thay vào phương trình trên ta có :
25
•
•
x
1
m
2
m
1
P

2
P

1
T
