Vòng tròn lng giác www.nguoithay.org
1
VÒNG TRÒN LNG GIÁC
I.t vn đ.
- Gii bài tp v dao đng điu hòa áp dng vòng tròn lng giác (VTLG) chính là s dng
mi quan h gia chuyn đng thng và chuyn đng tròn.
- Mt đim d.đ.đ.h trên mt đon thng luôn luôn có th đc coi là hình chiu ca mt đim
M chuyn đng tròn đu lên đng kính ca đon thng đó.
II.Vòng tròn lng giác.
- Mt vt dao đng điu hòa theo phng trình : x = Acos(t + )cm ; (t đo bng s) , đc biu
din bng véct quay trên VTLG nh sau:
B
1
: V mt vòng tròn có bán kính bng biên đ R = A
B
2
: Trc Ox nm ngang làm gc.
B
3
: Xác đnh pha ban đu trên vòng tròn (v trí xut
phát).
Ậuy c :
Chiu dng t trái sang phi.
- Chiu quay là chiu ngc
chiu kim đng h.
- Khi vt chuyn đng  trên trc Ox : theo chiu âm.
- Khi vt chuyn đng  di
trc Ox : theo chiu
dng.
1
.2 + n
2
. + ’ ;
Mc ly góc 
 > 0

 < 0

O
x
A
-A VTCB +A


O +
P M
N

Q
-6 0 +6
60
0
a

(chiu âm )
và Q
(chiu dng )

- trong 
1
= 6.2 ; 6 chu k vt qua x = 3cm đc 6.2 = 12 ln
- còn li 
2
= /2 t M N vt qua x = 3cm mt ln ti P
(chiu âm )

Vy: Trong khong thi gian t = 2,5s vt qua x = 3cm đc 13 ln
b.Trong khong thi gian t = 2 s
=> góc quét  = t. = 2.5 = 10 = 5.2

Vt thc hin đc 5 chu k (quay đc 5 vòng)
T vòng tròn ta thy: (Hình 3)
- trong mt chu k vt qua v trí x = +4cm theo chiu dng đc mt ln , ti N
Vy : trong 5 chu k thì vt qua
v trí x = 4cm theo chiu dng đc 5 ln
c.Trong khong thi gian t = 2,5s
=> góc quét  = t. = 2,5.5 = 12,5 = 6.2 + /2
T vòng tròn ta thy: (Hình 4)
- Trong mt chu k vt qua v trí cân bng theo chiu dng 1 ln ti N.
-
Trong 
1
= 6.2 ; 6 chu k vt qua v trí cân bng theo chiu dng 6
ln ti N.

M
N
-6 0 +6
M
N
P
Hình 2
Hình 3
Hình 4
-6 0 +6
M
Hình 5
P
Q
-6 0 +6
M
30
0
Hình 1
Vòng tròn lng giác www.nguoithay.org
3
+ Thi đim đc xác đnh : t =



(s)

VD1 : Vt d.đ.đ.d vi phng trình : x = 8cos(5t – /6)cm (1)
Xác đnh thi đim đu tiên :
a.vt qua v trí biên dng.

+ 90
0
= 120
0
= 2/3(rad)
=> t =



=
2
2
3
()
5 15
s




c. Khi vt qua v trí biên âm ln mt : ti v trí Q
=> góc quét :
 =30
0
+ 90
0
+90
0
= 210
0

=
5
1
3
()
53
s




VD2 : Vt d.đ.đ.d vi phng trình :
x = 5cos(5t – 2/3)cm. Xác đnh thi đim th 5 vt qua v trí
có li đ x = – 2,5cm theo chiu âm.
Gii :
Trc tiên ta biu din pt trên vòng tròn,
vi  = – 2/3(rad) = -120
0

-Vt xut phát t M , theo chiu dng. (Hình 1 )
Thi đim đu tiên vt qua v trí có li đ x = – 2,5cm theo
chiu âm : ti v trí N : 
1
= 2/3 + /2 + /6 = 4/3(rad)
Thi đim th hai : 
2
= 2(rad), (vì quay thêm mt vòng)
Thi đim th ba: 
3
= 2(rad)

N
P
Q
K
30
0
-8 0 +8
-30
0

M
Hình 1
-5 -2,5 0 +5
Hình 1
M
-120
0

N
/6
Vòng tròn lng giác www.nguoithay.org
4
trình x  8cos10t. Thi đim vt đi qua v trí
VD3 :
Mt vt dao đng điu hòa có phng
x  4 ln th 2009 k t thi đim bt đu dao đng là :
A.
6025
30
(s). B.

Thi đim : t =



=
6025
30
s => ý A
BÀI TP VN DNG DNG 2:
1. Mt vt dao đng điu hoà vi phng trình x  4cos(4t + /6) cm. Thi đim th 3 vt
qua v trí x  2cm theo chiu dng.
A. 9/8 s
B. 11/8 s C. 5/8 s D.1,5 s
2.Vt dao đng điu hòa có ptrình : x 5cost (cm).Vt qua VTCB ln th 3 vào thi đim :
A. 2,5s. B. 2s. C. 6s. D. 2,4s
3. Vt dao đng điu hòa có phng trình : x  4cos(2t - ) (cm, s). Vt đn đim biên dng
B(+4) ln th 5 vào thi đim :
A. 4,5s. B. 2,5s. C. 2s. D. 0,5s.
3. Mt vt dao đng điu hòa có phng trình : x  6cos(t  /2) (cm, s). Thi gian vt đi t
VTCB đn lúc qua đim có x  3cm ln th 5 là :
A. 61/6s.  B. 9/5s.
C. 25/6s. D. 37/6s.
4. Mt vt DH vi phng trình x  4cos(4t + /6)cm. Thi đim th 2009 vt qua v trí
x  2cm, k t t  0, là
A.
12049
24
s. B.
12061
s

0
Vòng tròn lng giác www.nguoithay.org
5

3. Dng ba: Xác đnh quụng đng vt đi đc t thi đim t
1
đn t
2
.Vn tc ca vt.
a.Ậuụng đng:
Phng pháp :
+ Biu din trên vòng tròn , xác đnh v trí xut phát.
+ Xác đnh góc quét  = t. ; vi t = t
2
– t
1

+ Phân tích góc quét : (Phân tích thành các tích s nguyên ca 2 hoc )
 = n
1
.2 + n
2
. + ’ ; n
1
và n
2
: s nguyên ; ví d :  = 9 = 4.2 + 
+ Biu din và đm trên vòng tròn và tính trc tip t vòng tròn.
+ Tính quãng đng:
- Khi quét 

=
2
2

*Tính quụng đng ln nht và nh nht vt đi đc trong khong thi gian 0 <

t < T/2.
Góc quét  = .t đv: rad
Quãng đng ln nht :
ax
2Asin
2
M
S




Quãng đng nh nht :
2 (1 os )
2
Min
S A c




b.Vn tc:

trong đó:
21
x x x  
là đ di.
-Vn tc trung bình trong mt chu k luôn bng không
b. Tc đ trung bình : luôn khác 0 ;
21
tb
S
v
tt


trong đó S là quưng đng vt đi đc t t
1
đn t
2
.
Lu ý: + Trong trng hp t > T/2 ;
Tách
'
2
T
t n t   
trong đó
*
;0 '
2
T

tính nh trên.

Vòng tròn lng giác www.nguoithay.org
6
M
6
-6
3
-3
N
60
0
60
0
Ví d 1: Mt con lc lò xo dao đng điu hòa vi phng
trình : x  12cos(50t  /2)cm. Quãng đng vt đi đc
trong khong thi gian t  /12(s), k t thi đim gc là :
A. 6cm. B. 90cm. C. 102cm. D. 54cm.
Trc tiên ta biu din pt trên vòng tròn,
vi  = – /2(rad) = –90
0

Vt xut phát t M (v trí cân bng theo chiu dng).
t = t
2
– t
1
= /12(s) ; Góc quét :  = t. =
25
.50

vt đi t M N thì s
2
= 12cos60
0
= 6cm
- Quãng đng tng cng là : s = s
1
+ s
2
= 96 + 6 = 102cm =>ý C
Ví d 2: Mt con lc lò xo dao đng điu hòa vi phng trình : x  6cos(20t  /3)cm.
Quãng đng vt đi đc trong khong thi gian t  13/60(s), k t khi bt đu dao đng là :
A. 6cm. B. 90cm. C.102cm. D. 54cm.
Gii:
Vt xut phát t M (theo chiu âm)
Góc quét  = t. = 13/3 =13/60.20 = 2.2 + /3
Trong 
1
= 2.2 thì s
1
= 2.4A = 48cm, (quay 2 vòng quanh M)
Trong 
2
= /3 vt đi t M N thì s
2
= 3 + 3 = 6 cm
Vy s = s
1
+ s
2

(t -6N )
Vy s = s
1
+ s
2
= 48 + A + (A – Acos45
o
) = 55,75cm ý C

b.ADCT:

21
tb
S
v
tt


=
55,75 55,75
23,47 /
2,375 0 2,375
cm s


-12 0 +12
M
N
s
2

tb
=
10
50 /
0,2
ss
cm s
tT
  
ý B
BÀI TP VN DNG DNG 3:
a.Ậuụng đng:
1.
Mt vt dao đng điu hoà vi biên đ 4cm, c sau mt khong thi gian 1/4 giây thì đng
nng li bng th nng. Quãng đng ln nht mà vt đi đc trong khong thi gian 1/6 giây
là
A.
8 cm.
B.
6 cm
C.
2 cm.
D.

4 cm.
2.
Mt vt dao đng điu hòa dc theo trc Ox, quanh v trí cân bng O vi biên đ A và chu k
T. Trong khong thi gian T/4, quãng đng nh nht mà vt có th đi đc là
A.
A(2- 2)

2
= 2,5s là:
A. 60 cm. B. 40cm. C. 30 cm. D. 50 cm.
6.Chn gc to đ ta VTCB ca vt dao đng điu hoà theo phng trình:
3
20 os( t- )
4
xc



(cm;
s). Quãng đng vt đi đc t thi đim t
1
= 0,5 s đn thi đim t
2
= 6 s là
A. 211,72 cm. B. 201,2 cm. C. 101,2 cm. D. 202,2cm.
7.Vt dao đng điu hòa theo phng trình : x = 5 cos (10 t +  )(cm). Thi gian vt đi quãng
đng S = 12,5cm (k t t = 0 ) là
A. 1/15 s B. 2/15 s C. 1/30 s 1/12 s
8. Mt vt dao đng điu hoà vi phng trình x = 6cos (2t – /3)cm.cm. Tính đ dài quãng
đng mà vt đi đc trong khong thi gian t
1
= 1,5 s đn t
2
=13/3 s
A. (50 +
53
)cm B.53cm C.46cm D. 66cm

m=100(g). Kộo vt theo phng thng ng xung di lm lũ xo gión 3(cm), ri truyn cho
nú vn tc
20 3 (cm / s)
hng lờn. Ly g=
2
=10(m/s
2
). Trong khong thi gian 1/4 chu k
quóng ng vt i c k t lỳc bt u chuyn ng l
A. 5,46(cm). B. 2,54(cm). C. 4,00(cm). D. 8,00(cm).
15. Mt con lc lũ xo gm mt lũ xo cú cng k = 100N/m v vt cú khi lng m = 250g,
dao ng iu ho vi biờn A = 6cm. Chn gc thi gian lỳc vt i qua v trớ cõn bng.
Quóng ng vt i c trong /10s u tiờn l:
A. 6cm. B. 24cm. C. 9cm. D. 12cm.
16. Mt cht im dao ng iu ho quanh v trớ cõn bng O, trờn qu o MN = 20cm. Thi
gian cht im i t M n N l 1s. Chn trc to chiu dng t M n N, gc thi gian lỳc
vt i qua v trớ cõn bng theo chiu dng. Quóng ng m cht im ó i qua sau 9,5s k t
lỳc t = 0:
A. 190 cm B. 150 cm C. 180 cm D. 160 cm
17.Một con lắc gồm một lò xò có K= 100 N/m, khối l- ợng không đáng kể và một vật nhỏ khối
l- ợng 250g, dao động điều hoà với biên độ bằng 10 cm. Lấy gốc thời gian t=0 là lúc vật qua vị
trí cân bằng. Quãng đ- ờng vật đi đ- ợc trong t = /24s đầu tiên là:
A. 7,5 cm B.
12,5 cm C. 5cm. 15 cm
18. Vt dao ng iu hũa theo phng trỡnh : x = 4 cos (20t-/2) (cm). Quóng ng vt i
trong 0,05s l?
A.
8cm B. 16cm C. 4cm 2cm
19. Vt dao ng iu hũa theo phng trỡnh : x = 2 cos (4t - )(cm). Quóng ng vt i
trong 0,125s l?

= 0,5 s đn thi đim t
2
= 6 s là
A. 34,8 cm/s. B. 38,4 m/s. C. 33,8 cm/s. D. 38,8 cm/s. 4.Dng 4 : Áp dng vòng tròn cho phng trình ca vn tc và gia tc.

Phng pháp :
Mt vt dao đng điu hòa vi phng trình li đ : x = Acos(t + )cm
Thì phng trình ca vn tc ( sm pha hn li đ là /2) => v = Acos(t + +/2)cm/s
phng trình ca gia tc (ngc pha vi li đ ) => a = A
2
cos(t +  + ) cm/s
2
Nh vy biên đ ca vn tc là : v
max
= A
biên đ ca gia tc là : a
max
= A
2

Biu din bng véct quay : VD : Mt con lc lò xo dao đng điu hòa vi chu kì T và biên đ 5 cm. Bit trong mt chu kì,
khong thi gian đ vt nh ca con lc có đ ln gia tc không vt quá 100 cm/s
2
là T/3 Ly

= 40
Khi đó  =
40 2 10
2 rad/s. Vy f = 1Hz
VD : Vt dao đng điu hòa có v
max
= 3m/s và gia tc cc đi bng 30 (m/s
2
). Thi đim ban
đu vt có vn tc 1,5m/s và th nng đang tng. Hi vào thi đim nào sau đây vt có gia tc
bng 15 (m/s
2
):
A. 0,10s; B. 0,15s; C. 0,20s D. 0,05s;
x
v
a
-A 0 +A
x,a,v trên cùng h trc
-A.
2
0 +A.
2


a
Biu din gia tc a
-A.

0 +A.

max
/2)
t
1
=
5
6


= 0,08s và t
2
=
3
2


= 0,15s VD: Mt con lc lò xo nm ngang đang dao đng t do. Ban đu vt đi qua v trí cân bng, sau
0,05s nó cha đi chiu chuyn đng và vn tc còn li mt na. Khong thi gian gia hai ln
liên tip có đng nng bng th nng là:
A. 0,05s B. 0,04s C. 0,075s D. 0,15s
Gii: Hai ln liên tip có đng nng bng th nng là T/4
- gi s vt qua VTCB theo chiu dng:
x = Acos(t – /2)cm vì v sm hn x là /2
=> v = Acos(t )cm/s ( tính t v = +A.); vì vt cha

Bit trong mt chu kì, khong thi gian đ vt nh có đ ln gia tc không nh hn 500√2 cm/s
2
là T/2. 
cng ca lò xo là:
A. 20 N/m. B. 50 N/m. C. 40 N/m. D. 30 N/m.

-A O A
t = 0
A
2
/2
-A
2
A
2

t = 0
-A. 0 A/2 +A.

M
60
0
M
30
0
N
10√3 10√3
-20 0 20