Th.s Đỗ Minh Tuân
Th.s ĐỖ MINH TUÂN
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
MÔN TOÁN
NAM ĐỊNH, NĂM 2009
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
Lời nói đầu
Trong những năm gần đây, đề thi đại học đã trở nên cơ bản hơn trước rất nhiều , không
còn tính đánh đố cũng như bắt học sinh phải nhớ nhiều những mẹo rất lặt vặt. Một
số tài liệu giảng dạy rất hay ngày trước như "Các bài giảng luyện thi môn Toán", "Bộ
đề thi tuyển sinh" chỉ còn lại một ít giá trị thực tiễn của nó. Chắt lọc những tài liệu
này, bám sát những đề thi tuyển sinh những năm gần đây (Từ năm 2002-2010) cộng với
những kinh nghiệm trong thực tiễn giảng dạy luyện thi của mình (có tham khảo một số
bài giảng ở những trang web dạy học) tôi biên soạn tài liệu này mục đích chính để mình
giảng dạy một cách bài bản.
Tôi nghĩ rằng tài liệu này sẽ có ích đối với những người dạy toán, cũng như những bạn
ngấp nghé cổng trường Đại học.
Tài liệu này gồm 12 chuyên đề (vẫn còn thiếu)
1. Phương trình đại số.
2. Phương trình lượng giác.
3. Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối.
4. Hệ phương trình đại số
5. Giải tích tổ hợp
6. Hình phẳng tọa độ
7. Giới hạn
8. Bất đẳng thức
9. Hàm số và đồ thị
10. Hình học không gian tọa độ
11. Tích phân và ứng dụng
12. Số phức

1.5 Phương trình bậc 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2 Các dạng của phương trình bậc 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Dấu của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.1 Đa thức bậc 1 - bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.2 Đa thức - Phân thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.3 Giải hệ bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Phương trình lượng giác 32
2.1 Các kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.1 Công thức liên hệ giữa các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.2 Các công thức của các góc liên hệ với α . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.3 Bảng dấu của các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.4 Bảng các giá trị lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.5 Công thức lượng giác của tổng, hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.6 Công thức cộng lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.7 Công thức biến đổi tích thành tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.8 Công thức góc nhân đôi, nhân ba - Công thức hạ bậc . . . . . . . 34
2.1.9 Công thức tính sin x, cos x, tan x, cot x theo t = tan
x
2
. . . . . . 35
2.1.10 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 3 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
Mục lục Mục lục
2.2 Các phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Phương trình sin x = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.2 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.3 Hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Hệ phương trình bậc nhất - bậc hai: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.1 Phương trình đẳng cấp bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.2 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4 Hệ đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4.1 Hệ đối xứng loại I: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4.2 Hệ đối xứng loại II: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5 Hệ phương trình tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 4 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
Mục lục Mục lục
5 Giải tích tổ hợp 77
5.1 Khái quát chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.1 Quy tắc cộng - nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.2 Tổ hợp - chỉnh hợp - hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2.3 Công thức nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6 Hình phẳng tọa độ 85
6.1 Véc tơ, điểm, đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.1.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.1.2 Dạng bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
Mục lục Mục lục
9.1.3 Hàm đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.1.4 Hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.2 Cực trị và tiệm cận của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.2.1 Quy tắc tìm cực đại và cực tiểu của hàm số . . . . . . . . . . . . 159
9.2.2 Cực trị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.2.3 Các bài toán tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.2.4 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.3.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.3.2 Các bài toán đơn thuần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.3.3 Bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chứa tham số . . . . . . . . . 171
9.3.4 Phương pháp miền giá trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9.3.5 Phương pháp chiều biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.3.6 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.4 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
9.4.1 Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
9.4.2 Tiếp tuyến với đường cong tại điểm M . . . . . . . . . . . . . . . 178
9.4.3 Tiếp tuyến với đường cong đi qua điểm M . . . . . . . . . . . . . 179
9.4.4 Lớp các bài toán về sự tiếp xúc rất đa dạng . . . . . . . . . . . . 180
9.4.5 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.5 Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . 182
9.5.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
9.5.2 Tìm điểm không thuộ c mọi đường cong trong họ y = f(x, m) . . . 184
9.6 Sự tương giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.6.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.6.2 Sự tương giao của hàm đa thức với trục Ox . . . . . . . . . . . . 187
9.6.3 Sự tương giao của hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

11.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
11.1.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
11.1.3 Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp thường gặp . . . . . . . . . . . 226
11.2 Nguyên hàm và tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
11.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
11.2.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
11.2.3 Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp . . . . . . . . . 228
11.3 Các phương pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
11.3.1 Phép đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
11.3.2 Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.3.3 Tích phân hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
11.4 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
11.5 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
11.5.1 Tính diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
11.5.2 Tính thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
11.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12 Số phức 259
12.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
12.1.1 Các kiến thức chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
12.1.2 Các phép toán trên số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
12.2 Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
12.2.1 Thực hiện các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
12.2.2 Khai căn bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
12.2.3 Giải phương trình đại số và các vấn đề liên quan . . . . . . . . . . 262
12.2.4 Biểu diễn số phức trên mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.2.5 Chứng minh đẳng thức tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 7 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân

và đa thức bậc 2 (vô nghiệm).
Ví dụ 1.1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) P (x) = 2x
2
− 5x + 2.
b) P (x) = −3x
2
+ 12x − 12
c) P (x) = 4x
3
− 4x
2
− 7x − 2.
d) P (x) = 6x
3
− 13x
2
+ 4x + 3
Giải: a) P (x) có a = 2, x
1
= 2, x
2
=
1
2
nên P (x) = 2(x − 2)

x −
1
2


x +
1
3

x −
3
2

= (x − 1)(3x + 1)(2x −3).
1.1.2 Tính giá trị một đa thức, phân thức tại điểm lẻ
Cách làm: Nhập hàm, sử dụng tính năng CALC của máy 570ES.
Ví dụ 1.2: Tính giá trị biểu thức:
a) y = x
3
− 3x
2
− x − 1 tại x = 1 −
√
3 và x = 1 +
√
3
b) y =
x
2
− x − 1
2x + 3
tại x = 3 +
√
2 và x = 3 −

➤ Với a = 0, b = 0: Phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ R
➤ Với a = 0, b = 0: Phương trình vô nghiệm.
➤ Với a = 0 Phương trình có nghiệm duy nhất x = −
b
a
1.2.2 Các ví dụ
Ví dụ 1.3: Giải và biện luận phương trình: (m
2
− 1)x + m −1 = 0
Giải: - Nếu m
2
− 1 = 0 ⇔ m = ±1.
+) Với m = 1 phương trình trở thành: 0x + 0 = 0. Phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ R.
+) Với m = −1 phương trình trở thành: 0x − 2 = 0. Phương trình vô nghiệm.
- Nếu m
2
− 1 = 0 ⇔ m = ±1.
Phương trình có nghiệm duy nhất: x = −
1
m + 1
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 9 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.3. Phương trình bậc hai Chương 1. Phương trình đại số
Ví dụ 1.4: Tìm điểm cố định của họ đường thẳng:(d
m
) : y = (m − 2)x + 2m − 3
Giải: Gọi (x
0
, y

= −20
y
0
= 1
Vậy điểm cố định của họ (d
m
) là điểm A(−2; 1)
1.3 Phương trình bậc hai
1.3.1 Phương pháp giải
☞ Dạng của phương trình: ax
2
+ bx + c = 0.
☞ Biện luận:
➢ Nếu a = 0: phương trình bậc nhất
➢ Nếu a = 0: ∆ = b
2
− 4ac hoặc ∆
′
= b
′2
− ac.
+) Nếu ∆ < 0: Phương trình vô nghiệm.
+) Nếu ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép x
1
= x
2
= −
b
2a
= −

2
= −
c
a
☞ Phân tích một tam thức bậc 2 thành nhân tử.
Giả sử f(x) = ax
2
+ bx + c có 2 nghiệm x
1
, x
2
thì f(x) = a(x − x
1
)(x − x
2
).
Ví dụ: f(x) = 2 x
2
− 5x + 2 có 2 nghiệm x
1
= 2, x
2
=
1
2
nên f(x) = 2(x − 2)(x −
1
2
) = (x − 2)(2x − 1).
☞ Định lý Vi-et: Giả sử x

Nếu

x + y = S
x.y = P
, x, y là 2 nghiệm của phương trình:
X
2
− S.X + P = 0
☞ Dấu của nghiệm:
➢ Pt có 2 nghiệm phân biệt dương ⇔



∆ > 0
S > 0
P > 0
➢ Pt có 2 nghiệm phân biệt âm ⇔



∆ > 0
S < 0
P > 0
➢ Pt có 2 nghiệm trái dấu: P < 0.
➢ Pt có nghiệm dương tương đương với phương trình có 2 nghiệm dương hoặc
có 2 nghiệm trái dấu ⇔

max(x
1
, x

- Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ P < 0.
➢ Phương trình có nghiệm âm ta làm tương tự như trên:
⇔








∆ ≥ 0
S < 0
P ≥ 0
P < 0
⇔

∆ ≥ 0
min (x
1
, x
2
) < 0
Ở đó min (x
1
, x
2
) =






∆ > 0
a.f (α) > 0
S/2 < α
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 11 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.3. Phương trình bậc hai Chương 1. Phương trình đại số
➢ x
1
> x
2
> α ⇔



∆ > 0
a.f (α) > 0
S/2 > α
Ví dụ 1.5: Giải các phương trình sau:
a) x
2
− 5x + 4 = 0
b) x
2
− 2x − 3 = 0
Giải: a) a + b + c = 0 ⇒ phương trình có nghiệm x
1

√
28m − 19
2 (m − 1)
- Nếu ∆ = 0 ⇔ m =
19
28
có nghiệm kép:
x
1
= x
2
=
2m + 1
2 (m − 1)
=
2.
19
28
+ 1
2

19
28
− 1

= −
11
3
- Nếu ∆ < 0 ⇔ m <
19


m > 7
m < 3
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 12 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.3. Phương trình bậc hai Chương 1. Phương trình đại số
b) S = x
1
+ x
2
= m −1, P = x
1
.x
2
= 2m −5. Do đó 2S −P = 2(m −1) −(2m −5) = 3
Hệ thức liên hệ x
1
, x
2
không phụ thuộc m là : 2( x
1
+ x
2
) − x
1
.x
2
= 3
c) Đặt u = 2x

2
= 2(x
1
+ x
2
)
2
+ x
1
.x
2
= 2(m − 1)
2
+ 2m − 5 = 2m
2
− 2m − 3
Do đó u, v là 2 nghiệm của phương trình:
X
2
− (3m − 3)X + 2m
2
− 2m − 3 = 0
Ví dụ 1.8: Cho phương trình: x
2
− (m + 1)x + m +
9
4
= 0
1. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x
1

m < −2
b) Phương trình có 2 nghiệm dương ⇔



∆ > 0
S = m + 1 > 0
P = m + 9/4 > 0
⇔












m > 4
m < −2
m > −1
m > −
9
4
⇔ m > 4
c) Phương trình có nghiệm dương ⇔




−m − 1 < 0
m
2
− 2m − 8 ≥ 0

−m − 1 ≥ 0
m
2
− 2m − 8 > (−m − 1)
2
⇔










m > −1

m ≥ 4
m ≤ −2

m ≤ −1
m < −9/4

m < 17/4
m < 3
⇔

4 ≤ m < 17/4
m ≤ −2
1.4 Phương trình bậc 3
1.4.1 Tính chất của đa thức
❶ Định lý Berzout: Cho P (x) là một đa thức bất kỳ. K hi đó với mọi x
0
, đa thức
P (x) chia đa thức x − x
0
có số dư là P (x
0
).
❷ Hệ quả: Nếu x
0
thỏa mãn P (x
0
) = 0 thì P (x)
.
.
. x − x
0
.
❸ Lược đồ Hoocne: Giả sử P (x) = a
n
x
n

n
, b
n−1
= b
n
.x
0
+ a
n−1
, b
n−2
= b
n−1
.x
0
+ a
n−2
, ···, b
0
= b
1
.x
0
+ a
0
.
P (x) = (x − x
0
)(b
n

+ ···+ b
2
x + b
1
).
1.4.2 Đa thức bậc 3
☞ Dạng ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (1).
☞ Cách giải :
➢ Nhẩm nghiệm : Sử dụng máy tính để nhẩm một nghiệm x
0
nào đó.
➢ Dùng lược đồ Hooc-ne để phân tích đa thức trên thành nhân tử :
P (x) = (x − x
0
).Q(x). Ở đó Q(x) là một đa thức bậc 2.
☞ Định lý Viet: Giả sử x
1
, x
2
, x
3
là 3 nghiệm của phương trình (1) .





x
1
=
c
a
x
1
x
2
x
3
= −
d
a
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 14 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.4. Phương trình bậc 3 Chương 1. Phương trình đại số
☞ Định lý Viet đảo: Giả sử x, y, z là 3 số thỏa mãn



x + y + z = m
xy + yz + zx = n
xyz = p
Khi đó x, y, z là 3 nghiệm của phương trình : X
3
− mX
2
+ nX − p = 0

⇔

x = 1
x
2
+ x − 3 = 0
⇒


x = 1
x =
−1 ±
√
13
2
Ví dụ 1.10: Cho phương trình 2x
3
− 3x
2
− 5x + 5 = 0
a) Chứng minh phương trình có 3 nghiệm x
1
, x
2
, x
3
phân biệt.
b) Tính P = 3 (x
2
1

2
) = 0.
f(1).f(3) < 0 nên tồn tại x
3
∈ (1; 3) sao cho f(x
3
) = 0.
Do đó ta được f(x
1
) = f(x
2
) = f(x
3
) = 0 và x
1
< x
2
< x
3
nên phương trình
f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 15 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.5. Phương trình bậc 4 Chương 1. Phương trình đại số
b) Theo định lý Viet ta có:





x
1
= −
5
2
x
1
x
2
x
3
= −
5
2
x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
+ x
3
)

2
+ x
3
3
− 3x
1
x
2
x
3
) + 3x
1
x
2
x
3
= (x
1
+ x
2
+ x
3
) (x
2
1
+ x
2
2
+ x
2


−
5
2

=
57
8
Do đó ta được P = 3.
29
4
− 2.
57
8
=
15
2
.
Ví dụ 1.11: Giải hệ phương trình:



x + y + z = 2
x
2
+ y
2
+ z
2
= 6

(x + y + z) (x
2
+ y
2
+ z
2
− xy −yz −zx) + 3xyz = 8
⇔



x + y + z = 2
xy + yz + zx = −1
2 (6 + 1) + 3xyz = 8
⇔



x + y + z = 2
xy + yz + zx = −1
xyz = −2
Từ đó ta có x, y, z là 3 nghiệm của phương trình:
X
3
− 2X
2
− X + 2 = 0 ⇔


X = −1

2
≥ 0. Phương trình trở thành : at
2
+ bt + c = 0.
❷ Phân tích thành nhân tử:
Cách giải: Biết được một nghiệm, hoặc dùng cách nhóm, sử dụng hằng đẳng thức
để phân tích thành nhân tử, quy về phương trình bậc thấp hơn.
❸ Phương trình đối xứng: ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0 thỏa mãn

d
b

2
=
e
a
Cách giải: Xét x = 0 thay vào phương trình xem có thỏa mãn không?
Với x = 0. Chia cả 2 vế của phương trình cho x
2
ta được:
ax
2
+ bx + c +
d

b
2
d
2
x
2
+
2d
b
= x
2
+
e
ax
2
+
2d
b
.
Phương trình trở thành: a

t
2
−
2d
b

+ bt + c = 0
Giải phương trình bậc 2 ẩn t. Sau đó thay vào (∗) để tìm x.
❹ Phương trình dạng (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = e sao cho a + b = c + d.


x +
ab
x
+ a + b

.

x +
cd
x
+ c + d

= e
Đặt t = x +
ab
x
= x +
cd
x
(∗). Phương trình trở thành:
(t + a + b) (t + c + d) = e
Giải phương trình bậc 2 ta tìm được t. Thay vào (∗) để tìm x.
1.5.3 Các ví dụ
Ví dụ 1.12: Giải phương trình 2x
4
− x
2
− 3 = 0
Giải: Đặt t = x

− 91x − 42 = 0.
b) x
4
− 4x
3
+ 4x
2
− 16 = 0.
c) x
4
− 4x − 1 = 0.
Giải: a) Dùng máy tính ta nhẩm được một nghiệm là x = 2.
Dùng lược đồ Hooc - ne ta có:
8 16 −8 −91 −42
2 8 32 56 21 0
Phương trình ⇔ (x − 2) (8x
3
+ 32x
2
+ 56x + 21) = 0.
Tiếp tục ta nhẩm được 1 nghiệm là x = −
1
2
. Theo lược đồ Hooc - ne ta có:
8 32 56 21
−
1
2
8 28 42 0
Phương trình ⇔ (x − 2)

2
− 4
2
= 0 ⇔ (x
2
− 2x − 4) (x
2
− 2x + 4) = 0
⇔

x
2
− 2x − 4 = 0
x
2
− 2x + 4 = 0

Vô nghiệm

⇔ x = 1 ±
√
5
c) Phương trình ⇔ x
4
+ 2x
2
+ 1 − 2 (x
2
+ 2x + 1) = 0
⇔ (x

√
2x + 1 −
√
2

x
2
+
√
2x + 1 +
√
2

= 0
⇔

x
2
−
√
2x + 1 −
√
2 = 0
x
2
+
√
2x + 1 +
√
2 = 0

ta được
x
2
+ 4x − 1 +
8
x
+
4
x
2
= 0 ⇔

x
2
+
4
x
2

+ 4

x +
2
x

− 1 = 0
Đặt t = x +
2
x
⇒ t

2
+ 5x + 2 = 0 ⇔ x =
−5 ±
√
17
2
b) x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả 2 vế của phương trình cho
x
2
= 0 ta được
2x
2
− 3x − 3 +
3
x
+
2
x
2
= 0 ⇔ 2

x
2
+
1
x
2

− 3


x
= 1 ⇔ x
2
− x − 1 = 0 ⇔ x =
1 ±
√
5
2
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 19 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.6. Dấu của đa thức Chương 1. Phương trình đại số
+) Với t =
1
2
: x −
1
x
=
1
2
⇔ 2x
2
− x − 2 = 0 ⇔ x =
1 ±
√
17
4
.
Ví dụ 1.15: Giải phương trình sau : x (x + 1) (x −3) (x −2) = −2

Giải: Phương trình ⇔ (x
2
+ x − 6) (x
2
+ 5x − 6) = 21x
2
Do x = 0 không là nghiệm
của phương trình nên chia cả 2 vế của phương trình cho x
2
= 0 ta được:

x + 1 −
6
x

x + 5 −
6
x

= 21
Đặt t = x −
6
x
thay vào phương trình ta có:
(t + 1) (t + 5) = 21 ⇔ t
2
+ 6t + 5 = 21
⇔ t
2
+ 6t − 16 = 0 ⇔

0
+sign(a)
Ở đó sign(a) là dấu của a.
❷ Dạng P (x) = ax
2
+ bx + c (a = 0).
∆ = b
2
− 4ac. Ta có các trường hợp sau:
+) ∆ < 0: Dấu của đa thức là:
x
−∞ +∞
P (x) +sign( a)
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 20 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.6. Dấu của đa thức Chương 1. Phương trình đại số
+) ∆ = 0: Dấu của đa thức là:
x
−∞
−
b
2a
+∞
P (x)
+sign(a)
0
+sign(a)
+) ∆ > 0: P (x) có 2 nghiệm phân biệt x
1

a) P (x) = −2x + 3
b) P (x) = −x
2
+ 4x − 5
c) P (x) = 4x
2
− 12x + 9
d) P (x) = x
2
− x − 6
e) P (x) = −2x
2
+ 3x + 2
Giải: a) P (x) = 0 ⇔ x =
3
2
, a = −2 < 0. Do đó dấu của P (x ) là:
x
−∞
3
2
+∞
P (x)
+
0
−
b) ∆ = −4 < 0, a = −1 < 0, ta có dấu của P (x) là:
x
−∞ +∞
P (x)

+
e) ∆ > 0, x
1
= −
1
2
, x
2
= 2, a = −2 < 0. Do đó dấu của P (x) là:
x
−∞ −
1
2
2
+∞
P (x)
−
0
+
0
−
☞ Chú ý: Trong một bài toán thông thường không ai lại hỏi trực tiếp dấu của một
đa thức mà thường hỏi các câu hỏi về giải bất phương trình. Chúng ta cần xét dấu
của các đa thức tương ứng từ đó tìm thấy được tập nghiệm của bất phương trình.
Chẳng hạn:
✍ −2x + 3 > 0 thì tập nghiệm S =

−∞;
3
2

− 12x + 9 ≥ 0 thì S = R
✍ 4x
2
− 12x + 9 < 0 thì S = ∅
✍ 4x
2
− 12x + 9 ≤ 0 thì S =

3
2

✍ x
2
− x − 6 > 0 thì S = (−∞; −2) ∪ (3; +∞)
✍ x
2
− x − 6 ≥ 0 thì S = (−∞; −2] ∪ [3; +∞)
✍ x
2
− x − 6 < 0 thì S = (−2; 3)
✍ x
2
− x − 6 ≤ 0 thì S = [−2; 3]
✍ −2x
2
+ 3x + 2 > 0 thì S =

−
1
2

2

∪ [2; +∞)
Ví dụ 1.18: Cho tam thức bậc 2: P (x) = (3m − 1)x
2
− 2(m + 1)x + 2
a) Tìm m để P (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.
b) Tìm m để f(x) =

P (x) xác định trên R.
c) Tìm m để f(x) = l n P(x) xác định trên R.
Giải: a) Ta có ∆
′
= (m + 1)
2
− 2(3m − 1) = m
2
− 4m + 3.
Để phương trình P (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔

∆
′
> 0
a = 0
⇔

1
3
b) f(x) =

P (x) xác định trên R ⇔ P (x) ≥ 0 ∀x ∈ R.
+) Nếu 3m − 1 = 0 ⇔ m =
1
3
khi đó:
P (x) = −
8
3
x + 2, rõ ràng P (3) = −6 < 0 nên P (x) ≥ 0 không đúng với mọi x ∈ R.
+) Nếu 3m − 1 = 0. Khi đó P (x) là một đa thức bậc 2 do đó:
P (x) ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔

∆
′
≤ 0
a > 0
⇔

m
2
− 4m + 3 ≤ 0
3m − 1 > 0
⇔




− 4m + 3 > 0
3m − 1 > 0
⇔



1 < m < 3
m >
1
3
⇔ 1 < m < 3
Kết luận: 1 < m < 3 thỏa mãn điều kiện bài toán.
1.6.2 Đa thức - Phân thức tổng quát
☞ Đa thức bậc n: P (x) = a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ ··· + a
1
x + a
0
.
☞ Phân thức hữu tỷ: f(x) =
P (x)
Q(x)
. Trong đó P (x), Q(x) là các đa thức.

2
.(x − 2)
3
. (2x − 1)
(x
2
+ 2x + 2)
7
(2x + 1)
5
(1 − 4x) (−x
2
+ 4x − 5)
3
b) f(x) =
√
x
2
− 4x + 3. (2x
2
− 5x + 2)
Giải: a) Giải các phương trình:
+) x + 1 = 0 ⇔ x = −1.
+) x −2 = 0 ⇔ x = 2.
+) 2x −1 = 0 ⇔ x =
1
2
+) x
2
+ 2x + 2 = 0, ∆ < 0, a = 1.

3
(2x − 1)
(2x + 1)
5
(1 − 4x)
Các không điểm x = −1; 2;
1
2
; −
1
2
;
1
4
. Ta có bảng dấu:
x
−∞
−1
−
1
2
1
4
1
2
2
+∞
g(x)
+
0

+ +
0
0
+
2x
2
− 5x + 2
+
0
− −
0
+ +
f(x)
+
0
−
0
0
+
Dùng kết quả của ví dụ trên ta có thể giải được các bất phương trình:
+)
(x + 1)
2
.(x − 2)
3
. (2x − 1)
(x
2
+ 2x + 2)
7

+ 2x + 2)
7
(2x + 1)
5
(1 − 4x) (−x
2
+ 4x − 5)
3
> 0
có tập nghiệm là: S = (−∞; −1) ∪

−1; −
1
2

∪

1
4
;
1
2

∪ (2; +∞)
+)
(x + 1)
2
.(x − 2)
3
. (2x − 1)

.(x − 2)
3
. (2x − 1)
(x
2
+ 2x + 2)
7
(2x + 1)
5
(1 − 4x) (−x
2
+ 4x − 5)
3
< 0
có tập nghiệm là: S =

−
1
2
;
1
4

∪

1
2
; 2

+)