1
Phương trình và hệ phương trình
A.Vấn đề lý thuyết
I/Các phép biến đổi
-Cộng trừ nhân chia lỹ thừa
-Liên hợp
ab
ab
ab
-
-=
+

33
33
22
3
ab
ab
aabb
-
-=
++

-Hằng đẳng thức
333222
()()3
abcabcabcabbccaabc++=++++ +

3333


Từ đây ta có 2 h 1
x
yxy==-
-Phương trình đẳng cấp
22
0axbxycy++=

PP:
Chia cho
2
y
sẽ quay về bậc 2 với /txy=
VD:
2
22
x
yxxy+=+. Hãy nhìn mà xem, VT và VP đều thuần bậc 1 => Bình phương có đẳng cấp bậc 2

-Hệ phương trình kiểu đối xứng II
PP: Trừ 2 phương trình cho nhau sẽ có nhân tử (x-y)
VD.
22
22
23527
46514
xyxy
xyxy
ì
+=-+


3333
33
()
()
()
abtm
aabbabaabbL
abaabbL
=
é
ê
+=+Û>Þ+>+
ê
ê
<Þ+<+
ë

III/Phương pháp chung
-Sử dụng các biến đổi
-Sử dụng ẩn phụ è Đưa về các dạng chuẩn hoặc phương trình tích, hệ dễ giải.
-Sử dụng BĐT. èTa đi chứng minhVTaVP³³ hoặc
xm
= là nghiệm duy nhất

IV/Khai thác và áp dụng các phương pháp trong giải toán
1. Biến đổi trong giải toán
a/ Bài toán đã biết nghiệm.(pp: Đưa về phương trình tích)

2

Û+-++-=Û-++=
ç÷
++
èø

VD3.
22
1(2)22xxxxx+-=+-+
Tiếp tục bấm bạn sẽ có nghiệm x1=3,828427125 haizz. Đây thì quả thật là nghiệm vô tỷ rồi nhưng đừng vội bỏ
cuộc, ở bước shift + stove lúc nãy bạn bấm số mấy ? nếu bấm số dương rồi thì giờ bấm số âm ta sẽ có nghiệm
nữa x2=-1,828427125. Tiếp tục tính đi sẽ có x1x2=-7 và x1+x2=2. è Nhân tử
2
27
xx(
)
222
2
2
27(2)223(27)10
223
x
PTxxxxxxx
xx
æö
+
Û =+-+-Û =
ç÷

mà
2x ³

· Quay lại
( )
322
6
1632480(1)20
163
xxxxxxx
xx
æö
+ + +=Û-++=
ç÷
++-
èø

· Liên hợp tiếp
2
6
410
633
x
x
+=
-+*** Một số kĩ năng trong biến đổi liên hợp
VD5.

2
xx
tt
>Þ->>
++
rồi tương tự ……
VD6.
4323
341(1)
x
xx-=-+
Nhìn con vế phải mà liên hợp ngay thì ….
64242
222
22
3333
(34)340
11
xxxxx
xxxxx
tttt
++++
-=-Û-+=
++++
. (Rất khó làm tiếp)
Chẳng dại gì mà ta không liên hợp cụm khác cho dễ cho bậc thấp xuống

( )( )
(
)

11
611
xx
xx
xxx
x
x
-+++
+++
æö
Þ-+=Û-+=
ç÷
èø
++
++

b/Dùng hệ số bất định để “mò” nghiệm
VD1.
432
36530xxxx-+-+=
Có
43222432
3653()()()()()
x
xxxxaxbxcxdxacxacbdxadbcxbd-+-+=++++=++++++++

Đồng nhất hệ số có
3
6
5

=-
ç
=
è

Sẽ phân tích thành (
2
1
xx
-+)(
2
23
xx
-+)=0
VD2.
22
1(2)22xxxxx+-=+-+
Thay cho việc bấm máy như trên ta vẫn có cách giải thích hợp lý và toán học hơn cho nhân tử
2
27
xx
.
Ta chọn m,n sao cho:
è m=0 và n=3.

c/Các phép biến đổi thông thường
VD1.

222
()2ababab+=++
và
33322
()33abababab+=+++

VD1.
a/
323
1810820090(6)1793xxxx+++=Û+=
b/
(
)
3
323
3
51248640(4)4
x
xxxx+++=Û+=-

VD2.
42
283
x
xx=++

22
42422
283(2)83
44