Phần 1: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
CHỦ ĐỀ 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆUVÀ TÌMCỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Xét tính đơn điệu của hs y = f(x) nhờ đạo hàm:
Hs y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a;b) <=> y’
≥
0 (y’
≤
0)
∀
x
∈
(a;b)
( y’ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b))
2. Phương pháp tìm cực trị của hàm số y = f(x):
* PP1: B1: Tìm TXĐ
B2: Tìm y
'
và các điểm tới hạn
0
x
(
0
x
∈
TXĐ mà y
'
(
0
x
) = 0 hoặc y

hs không đạt cực trị.
* PP2: B1: Tìm TXĐ
B2: Tìm y
'
và các điểm tới hạn
0
x
(
0
x
∈
TXĐ mà y
'
(
0
x
) = 0 hoặc y
'
(
0
x
) không XĐ)
B3: Tìm y”, y”(
0
x
) và tìm cực trị nếu có
Chú ý: Nếu y”(
0
x
) < 0 thì tại


=


<


; f(x) đạt cực tiểu tại
0
x
nếu
/
0
//
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x

=


>


5. f(x) có đạo hàm và đạt cực trị bằng c tại
/
0
0

4/ y =
2
( 1) (5 )x x
+ −
5/ y = (x + 2)
2
(x – 3)
3
6/ y =
2
1
8
x
x
+
+
7/ y =
2
2
1
x
x x
−
+ +
8/ y =
4
48x
x
+


3
2
x
6x
−
18/ y =
2
10
x
x−
19/ y = cosx - sinx 20/ y =
sin 2x

(2) Chứng minh bất đẳng thức:
1

a/ tanx > x ( 0 < x <
2
π
) b/ tanx > x +
3
3
x
( 0 < x <
2
π
)
c/ sinx + tanx > 2x ( 0 < x <
2
π

3 2
xx m m− +
(m: tham số)
a/ Tùy theo m, hãy xét sự biến thiên của y.
b/ Tìm m để hàm số nghịch biến trong khoảng (1; 2)
(4) Tìm m để hàm số:
a/ y =
3
2
( 2) (2 7) 3
3
x
m x m x m− + + + −
đồng biến trong khoảng (0; +
∞
)
b/ y =
3 2
2
(3 1) (2 2 )
3 2
x x
m m m x m− + − − − +
đồng biến trong khoảng (0; 2)
(5) Tìm m để hàm số:
a/ y =
2
(2 1) 2 2
x + m 1
m x m

đạt cực trị tại x = -2
b/ y =
2 4 2 2
( 1) 3 x 8m x m m− + + −
có ba điểm cực trị
c/ y =
3 2 2
1
x ( 1) 1
3
x m m m x− + − + +
đạt cực đại tại x = 1
d/ y =
2
x +1
x +m
x m+
đạt cực tiểu tại x = 2
(7) Tìm a ; b để hs : y =
x
4
+ ax
2
+ b có một cực trị bằng
3
2
khi x = 1
(8) Cho hàm số
3 2
1

x mx
y
mx
+ −
=
−
. Xác định m để
a) Hàm số có cực trị
b) Hàm số có cực đại , cực tiểu với hoành độ thoả mãn x
1
+ x
2
= 4x
1
x
2
c) Hàm số có cực đại , cực tiểu có hoành độ dương
(13) Cho hàm số
2
1x mx
y
x m
+ +
=
+
. Xác định m để
a. Hàm số có cực trị
b. Hàm số có cực tiểu trong khoảng (0;m) (m > 0)
c. Hàm số có cực đại tại x = 2
(14) Cho hàm số

+ − +
=
−
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu và 2 điểm cực đại ,
cực tiểu nằm ở hai phía của đường thẳng có phương trình 9x – 7y – 1 = 0.
(17) Cho hàm số
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
. Xác định m để
a. Hàm số có cực trị b. Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
(18) Tìm a; b để hs : y =
2 3 2
5
2ax 9x + b
3
a x
+ −
có cực đại, cực tiểu là những số dương và x
0
= -
5
9
là

(21) Cho hàm số: y =
2
1
x m
x
+
+
a/ Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.
b/ Tùy theo m, biện luận số nghiệm của phương trình: x + m = m
2
1x
+

(22) Tìm a để hàm số: y =
4 3 2
8 3(1 2 ) 4x ax a x
+ + + −
chỉ có cực tiểu mà không có cực đại
(23) Xác định hàm số a sao cho hàm số: y = -2x + 2 + a
2
4 5x x
− +
có cực đại
(24) Cho hàm số: f(x) =
( )
n n
x c x
+ −
trong đó c > 0, n là một số nguyên dương lớn hơn 1
a/ Khảo sát sự biến thiên của hàm số.

2 2 2
0
2 2 2 2
n n
x x x
a
n n
+ +
+ + + =
+ +
(27) Chứng minh:
2 2
2 2
3( ) 8( ) 10 32
x y x y
y x y x
+ − + + ≥
với x.y < 0
(28) Cho x, y, z dương thỏa
2 2 2
1x y z+ + =
. C/m:
2 2 2 2 2 2
3 3
2
x y z
y z z x x y
+ + ≥
+ + +


), (x
2
;y
2
) là hai điểm cực trị, ta có:
1 1
2 2
y x
y x
α β
α β
= +


= +

=> Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị:
y x
α β
= +
.
* HÀM HỮU TỈ:
2
1
1 1
( 0)
ax bx c
y aa
a x b
+ +

<=>
/
0
0
( ) 0g x

∆ >

≠

Gọi (x
1
;y
1
), (x
2
;y
2
) là hai điểm cực trị, ta có:
1
1
1
2
2
1
2
2
ax b
y
a

b/ y =
2
2x+3
x-1
x +
(30) Cho hàm số : y =
3 2
3 9 3 5x mx x m
− + + −
a/ Xác định m để đồ thị có 2 điểm cực trị.
b/ Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị.
(31) Cho hàm số : y =
2
( 1) 1x m x m
x m
+ + − +
−
a/ Chứng minh rằng với mọi m, hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu.
b/ Định m để giá trị cực đại và giá cực tiểu có cùng dấu.
c/ Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị.
4

(32) Cho hàm số : y =
2
3
4
x x m
x
− + +
−

a/ Các số a, b thỏa mãn điều kiện gì để hàm số có cực đại và cực tiểu.
b/ Chứng minh với mọi a, b phương trình:
3 3 3
( ) ( )x a x b x
+ + + −
= 0 không thể có 3 nghiệm phân biệt.
CHỦ ĐỀ 3: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ (C) : y = f(x)
1/ Phương pháp tìm tiệm cận:
2/ BÀI TẬP:
(36) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
a) y =
2
2x 5x +1
x -2
−
b) y = 2x +
2
1x
+
c)
y =
3
2
3x 4
( 1).( 2)x x
+
− −
d) y =
2
1x x

− − − + −
+
có tiệm cận xiên đi qua điiểm A(-1; -3)
c) y =
2
x x 1
x -1
m+ −
có tiệm cận xiên tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8
d) y =
2
-3x x 4
4x
m
m
+ +
+
có tiệm cận vuông góc với tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0
(39) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm trên đồ thị hàm số :
y =
2
2x 3x +6
x 2
+
+
đến hai tiệm cận không phụ thuộc vào vị trí của điểm đó.
(40) Cho hs : y =
2
x 1
1

5

Điều kiện tiếp xúc: để (C
1
) tiếp xúc (C
2
), điều kiện là hệ Pt :
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=


=

có nghiệm
* BÀI TẬP:
(42) Cho (C) : y = x
4
- 5x
2
+ 4
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để (C) tiếp xúc với (P) : y = x
2
+ m . Tìm tọa độ các tiếp điểm
(43) Cho (C) : y = x
4
- (m

3
- x
2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để (d): y = m cắt (C) tại ba điểm có hoành độ x
1
; x
2
; x
3
. Tính tổng:
2 2 2
1 2 3
x x x
+ +
?
(46) Cho (C) : y =
2 1
1
x
x
+
− +

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx + 2m - 1 cắt (C) tại hai điểm trên cùng một nhánh.
(47) Cho hs : y =
x +1
x -1

), B(x
2
;y
2
). Tìm hệ thức giữa x
1
; x
2
độc lập với m
(50) Cho hàm số
2
2 4
2
x x
y
x
− +
=
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng d
m
: y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
6

(51) Cho (C) : y =
2
x x m
x m
− + +

ABC vuông ở A.
(53) Cho (C) : y =
2
2 3
2
x x
x
− −
−

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm trên (C) hai điểm A ; B sao cho đường thẳng AB cùng phương với y = - x ; đồng thời độ dài
AB ngắn nhất
(54) Cho (C) : y =
2
2 2 1
2 1
x x
x
− +
−

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A ; B sao cho
∆
OAB có diện tích bằng
10
9
(đvdt)
CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI Đ/CONG y = f(x)

A A
A x y
PPG : - Pttt có dạng : y = k.(x - x
A
) + y
A
- Áp dụng điều kiện tiếp xúc
A A
( ) k.(x - x ) + y
'( ) k
f x
f x
=


=

để tìm k => Pttt
Dạng 3 : Viết pttt với (C) : y = f(x) biết tt có hệ số góc bằng k
PPG : - Pttt có dạng : y = k.x + b
- Áp dụng điều kiện tiếp xúc
( ) k.x + b
'( ) k
f x
f x
=


=


=
−
. Viết pttt đi qua điểm A(-6;5) với đồ thị của hàm số
(56) Cho hàm số
3( 1)
, ( )
2
x
y C
x
+
=
−
.
a. Viết pttt đi qua điểm O(0 ; 0) với đồ thị của hàm số
b. Tìm các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên
(57) a. Cho hàm số
2
3 4
1
x x m
y
x
+ +
=
+
Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có tiếp tuyến vuông góc với
đường phân giác của góc phần tư thứ nhất?
b. Tìm các điểm trên đồ thị của hàm số
2

m
m
y x x C= − +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 2
b) Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng – 1 . Tìm m để tiếp tuyến của (C
m
) tại điểm M song
song với đường thẳng 5x – y = 0.
(59) Cho hs : y =
3
4x 3x 1
− +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) tại điểm A(-
3
2
; 1) và tìm giao điểm B
(khác A) của (d) và (C)
(60) Cho hàm số
4 2
1 5
3
2 2
y x x= − +
c) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
d) Gọi M là điểm thuộc (C) có hoành độ x
M
= a . Tìm a để tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt (C) tại

3 2
x 3x x +1m+ +
có đồ thị là (C
m
)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = 0
b) Tìm m để (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm A(0 ; 1), B, C sao cho tiếp tuyến của (C
m
) tại B
và C vuông góc với nhau
(65) Cho hs : y =
3 2
x 3x 2− + −

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm điểm M
∈
(C) sao cho qua M ta kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với (C)
(66) Cho hs : y =
2
1
x
x
−
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Viết Pttt (
∆

2 xx m m
x m
− +
+
a) CMR nếu đồ thị hs cắt Ox tại x = x
0
thì hệ số góc của tiếp tuyến tại đó là : k =
0
0
2 2x m
x m
−
+
b) Tìm m để đồ thị cắt Ox tại 2 điểm và hai tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc với nhau.
CHỦ ĐỀ 7 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT : F(x,m) = 0 BẰNG ĐỒ THỊ
* Chú ý : Số nghiệm của pt : f(x) = g(x) là số giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x)
(70) Cho hs : y =
3 2
x 2x x− +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm và xét dấu các nghiệm của Pt :
3 2
x 2x 0m− − =
(71) Cho hs : y =
2
- (x +1) (x +4)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của Pt :
2
(x +1) (x +4)

9

3. Đồ thị hàm số
1
( )y f x
=
4. Cho hàm số
( )
( )
P x
y
Q x
=
có đồ thị (C)
a. Vẽ đồ thị (C
1
):
1
( )
( )
( )
( )
( ) 0
P x
nêu Q(x)> 0
Q x
P x
y
P(x)
Q x

P x
nêu P(x) 0
P x Q x
y
P(x)
Q x
- nêu P x
Q(x)

≥


= =


≤


Đồ thị (C
1
) được suy ra từ đồ thị (C) bằng cách:
• Phần đồ thị (C) ở miền
( ) 0P x ≥
giữ nguyên
• Bỏ phần đồ thị (C) ở miền
( ) 0P x
≤
và lấy đối xứng của phần này qua trục Ox.
* BÀI TẬP:
(73) Cho hs : y =

x + x 2 3m m
− + +
= 0 có 4 nghiệm phân biệt
(76) Cho hs : y = x
3
- 3mx
2
+ (m – 1)x + 2
a) Tìm m để hs có cực tiểu tại x = 2. khảo sát và vẽ đồ thị với m tìm được
b) Biện luận số nghiệm của Pt : (x
2
- 2x – 2).
1x
−
= k theo tham số k.
(77) Cho hs : y =
1
2x + 1
x
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để Pt : 2m
2
4x 4x+1
+
= x - 1 có đúng một nghiệm
(78) Cho hs : y =
3 1
x - 2
x

PP1: ĐK
/
1 2
1 2
0 có 2 ;
( ). ( ) 0
y nghiêm x x
f x f x

=
<=>

<

Giải hệ này tìm m.
PP2: - Đoán nhận x
0
là một nghiệm của f(x; m) = 0 (1)
- Chia f(x; m) cho (x - x
0
) đưa (1) về dạng: (x - x
0
).g(x) = 0 ;
trong đó g(x) là một tam thức bậc hai thỏa
0
0
( ) 0g x
∆ >



PP2: - Đoán nhận x
0
>0 là một nghiệm của f(x; m) = 0 (1)
- Chia f(x; m) cho (x - x
0
) đưa (1) về dạng: (x - x
0
).g(x) = 0 ;
trong đó g(x) là một tam thức bậc hai thỏa:
0
0
0
0
( ) 0
P
S
g x
∆ >


>


>


≠

Giải hệ này tìm m.
3. Tìm m để (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm

max min
1 2
0
. 0
. ( ) 0
1
y co 2 nghiêm x x
y y
a y
x x
α
α

= <

<

<=>

<


< <

* (C) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ nhỏ hơn
α

/
2
max min

. (0) 0
0
1
y co 2 nghiêm x x
y y
a y
x

= <

<

<=>

<


<

11

* (C) cắt Ox tại 3 điểm, trong đó hai điểm có hoành độ dương
/
2
max min
2
0
. 0
. (0) 0
0

=

Giải hệ này tìm m.
PP2: - Đoán nhận x
0
là một nghiệm của f(x; m) = 0 (1)
- Chia f(x; m) cho (x - x
0
) đưa (1) về dạng: (x - x
0
).g(x) = 0 ;
trong đó g(x) là một tam thức bậc hai thỏa
0 0
0 0
( ) 0 ( ) 0
hoac
g x g x
∆ = ∆ >
 
 
≠ =
 
Giải hệ tìm m.
6. Tìm m để (C) cắt Ox tại 1 điểm
PP1: ĐK
'
y
/
1 2
1 2

( ) 0
hoac
g x
∆ =

∆ <

=

Giải hệ tìm m.
7. Tìm m để (C) có hai điểm cực trị
1 1 1 2 2 2
( ; ); ( ; )M x y M x y
nằm khác phía đối với đường thẳng (D):
0Ax By C
+ + =

/
1 2
1 1 2 2
0 có 2 ;
( )( ) 0
y nghiêm x x
Ax By C Ax By C

=
<=>

+ + + + <


x
và
2
x
thỏa mãn hệ thức (1)
1 2
1 2
1 2
.
( ; ) 0
b
x x
a
c
x x
a
F x x

+ = −



<=> =


=



• Giải hệ suy ra m. So sánh điều kiện nhận hay loại giá trị của m

y ax bx c= + +

12/ 3 2
4 2 2 (2 )y ax bx x ax b= + = +
. Cho
/ 2
0 2 (2 ) 0y x ax b
= <=> + =

2
0 (1)
2 0 (2)
x
ax b
=

<=>

+ =

• Hàm số có 3 cực trị <=> (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 <=> a.b < 0
• Hàm số có 1 cực trị <=> (2) VN hoặc có 1 nghiệm bằng 0 hoặc có một nghiệm kép

0 & 0
0 & 0
a b
a ab

<=>

∆ >


2. Hàm số không có cực trị
/
0y
<=> =
vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
3. Đ.thị có 2 cực trị nằm cùng phía với Ox
/ /
max min
0 0
0 0
. 0 0
g g
ab ab
y y y co 2 nghiêm phân biêt


≠ ≠


<=> ∆ > <=> ∆ >
 
 
> =



m −
x
3
+ mx
2
+ (3m – 2)x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
b. Tìm m để pt : x
3
+ 3x
2
- 9x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt
(81) a. Tìm m để hs : y = x
3
- 3x
2
- 9x + m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một
cấp số cộng. Tìm cấp số cộng đó
b. Tìm a, b để pt : x
3
+ ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Tìm cấp số
cộng đó
(82) a. Giả sử pt : x
3
- x
2
+ ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt. CMR : a
2
+ 3b > 0
d. Tìm a để pt : x
3

)
Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm
(83) Cho HS: y = x
3
- mx
2
+ (2m + 1)x – (m + 2) (C
m
)
Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A(1 ; 0) ; B ; C thỏa :
2 2
19
48
OA OA
OB OC
   
+ =
 ÷  ÷
   
(84) Cho HS: y =
1
3
x
3
- mx
2

b) Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
(86) Cho hs : y = (x + a)
3
+ (x + b)
3
- x
3
(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi a = 1 , b = 2
b) Tìm điều kiện đối với a, b để hs (1) có cực đại cực tiểu
c) CMR
∀
a, b phương trình (x + a)
3
+ (x + b)
3
- x
3
= 0 không thể có 3 nghiệm phân biệt
(87) Cho hs : y = x
4
- 2(m + 1)x
2
+ 3(m – 1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = 0
b) Tìm m để đồ thị hs cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Tìm cấp số cộng đó
(88) Cho hs : y = - x

x ; y
) tới đường thẳng (
∆
): Ax + By + C = 0 là: d =
0 0
2 2
Ax By C
A B
+ +
+
2 . BÀI TẬP:
(89) Cho hs : y =
2 1
x + 1
x
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs.
b) Tìm điểm M
∈
(C) mà tổng khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận bé nhất
(90) Cho hs : y =
1
x - 1
x +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs.
b) CMR đường thẳng 2x – y + m = 0 luôn cắt đồ thị tại hai điểm A, B trên 2 nhánh của (C)
c) Tìm m để đoạn AB ngắn nhất
(91) Cho hs : y =
1
x + 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs.
b) Tìm điểm M
∈
(C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (
∆
): y = 1 -
3
x
đạt giá trị bé nhất.
Trong trường hợp này, c/m (
∆
) song song với tiếp tuyến của (C) tại M.
(95) Cho hs : y = x
3
+ 3x
2
- 2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs.
b) Gọi A, B là hai điểm cực trị của (C). Tìm m để tổng k/c từ A và B đến đường thẳng (
∆
): 3mx +
3y + 2m + 2 = 0 đạt GTLN, NN.
CHỦ ĐỀ 11: TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ
1. Kiến thức liên quan :
- Tập D được gọi là đối xứng nếu x
∈
D thì –x
∈
D
- Hàm số y = f(x) được gọi là hs chẵn nếu thỏa 2 ĐK :

b
b/ y = (x – a)
2010
+ (x – b)
2010
có trục đối xứng là đường thẳng x =
2
a b+
c/ y = (x – a)
2010
+ (x – b)
2010
có trục đối xứng là đường thẳng x =
2
a b+
d/ y = (x – a)
2011
+ (x – b)
2011
có tâm đối xứng là I(
2
a b+
; 0)
e/ y = x
4
- 4x
3
- 2x
2
+ 12x - 1 có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 Tìm giao của đồ thị với trục hoành

) : y = - x + m.
Tìm m để (D
2
) cắt (C) tại hai điểm A ; B đối xứng nhau qua (D
1
)
MộT Số BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH :
Câu 1 : (A08) Cho hàm số
2 2
(3 2) 2
3
mx m x
y (1),
x m
+ − −
=
+
với m là tham số thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
b. Tìm các giá trị của tham số m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) tạo với nhau
một góc bằng 45
0
.
HD: b. Tìm hai đường tiệm cận:
1
/ / /
2
: 0
: 0
ax by c

x x x+ =
Câu 4: (A07) Cho hàm số
2 2
2( 1) 4
2
x m x m m
y (1),
x
+ + + +
=
+
với m là tham số thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = - 1
b. Tìm tham số m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời hai điểm cực trị của đồ thị cùng với
góc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
HD:b) – Tìm hai điểm cực trị A; B ; - Giải phương trình
. 0OAOB
=
uuur uuur
=> m là giá trị cần tìm.
Câu 5: (B07) Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1 (1),y x x m x m= − + + − − −
m là tham số.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b. Tìm tham số m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách
đều gốc tọa độ.
HD: b) Tìm hai điểm cực trị A; B. Giải phương trình
OA OB
=

16

a. Tìm tham số m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt
3
2
2 9 12x x x m
− + =
HD: Vẽ đồ thị của hs
3
2
2 9 12y x x x
= − +
, biện luận số giao điểm của (C) với đường thẳng y = m
Câu 8: (B06) Cho hàm số
2
1
2
x x
y
x
+ +
=
+
(1)
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thi
Câu 9: (D06) Cho hàm số
3
3 2y x x= − +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2
( 1) 1
(1)
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
b. Chứng minh rằng với mọi m đồ thị (C
m
) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách
hai điểm đó bằng
20
Câu 12

D05) Cho hàm số
3 2
1 1
,(1)
3 2 3
m
y x x
= − +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2
b. Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng – 1. Tìm m để tiếp tuyến của (C

∆
- Gọi
0 0
( ; ) ( )M x y C∈
, chứng minh
/
0
( )f x hsg
≥ ∆
Câu 15: (D04) Cho hàm số
3 2
3 9 1(1)y x mx x= − + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2
b. Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1
Câu 16

A03) Cho hàm số
2
(1)
1
mx x m
y
x
+ +
=
−
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1
17

b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ

x x
y
x
− −
=
−
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b. Tìm m để phương trình
2
2 4 3 2 1 0x x m x− − + − =
có hai nghiệm phân biệt.
Câu 20: (DBA03) Cho hàm số
2 2
(2 1) 4
2( )
x m x m m
y
x m
+ + + + +
=
+
a. Tìm m để hàm số có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
Câu 21(DBB03) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
−

g x m x m
≥
≥ ∀ ≥ <=> ≤
Câu 23: (DBA04) Cho hàm số
4 2 2
2 1(1)y x m x
= − +
d. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
e. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác vuông cân.
HDb) ĐK:
. 0OAOB
=
uuur uuur
Câu 24: (DBA05) Cho hàm số
2 2
2 1 3
(1)
x mx m
y
x m
+ + −
=
−
có (C
m
)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
b. Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.
HDb) ĐK:
/

1
x
x x
+
+ +
.b/ y =
2 2
(1 2x )(1 )x
+ −
.c/ y = x +
2
12 3x
−
d/ y = x
4
+ (1 – x)
4
e/ y =
4 4
1 1x x− + +
g/ y = cos3x + 2cos2x + 3cosx – 2 trên [0;
2
3
π
]
h/ y = sin2x + 2sinx trên [0 ;
3
2
π
] i/ y = 1 + cosx +

2
1
os osx + 2c x c
+
s/ y =
2
sinx +1
sin sinx +1x
+
.t/ y =
1 1
2 sinx 2 osxc
+
+ −
(2) Cho 2 số thực x, y
≠
0. Tìm GTNN của biểu thức :
58a/ A =
2 2
2 2
3
x y x y
y x y x
 
+ − +
 ÷
 
HD: đặt t =
x y
y x

+ +
HD: thay b = 1 – a, tìm maxC(a); minC(a)
65(4) Cho 2 số thực a, b > 0 thỏa: a + b = 1. Tìm GTNN của biểu thức :
D =
2 2
1 1
a b
a b
   
+ + +
 ÷  ÷
   
HD: đặt a =x, b=1-x, x
∈
(0;1)=> tìm minD(x)=
25
2

86(5) Cho 3 số thực a, b, c > 0 thỏa: a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. Tìm GTNN của biểu thức :
E =
2 2 2 2 2 2
a b c
b c c a a b
+ +

2a -1
x 2a -3
x y
y a
+ =


+ = +

Tìm a để biểu thức P = xy đạt GTNN
(8) Giả sử x, y là nghiệm của hệ pt:
2 2 2
a 1
x 2 2
x y
y a
+ = +


+ = −

Tìm a để biểu thức P = xy đạt GTLN
(9) Giả sử x, y là nghiệm của hệ pt:
2 2 2
2a 1
x 4a
x y
y a
+ = +


Tìm tọa độ M
∈
(C) để khoảng cách d(M;
∆
) ngắn nhất
(12) Cho đường (C): y =
3
1
1
4 3x
+
và điểm A(0;1)Tìm tọa độ M
∈
(C) để độ dài đoạn AM ngắn nhất
(13) Cho pt: x
4
- 2x
2
- 2a + 2 = 0 Tìm GTNN của a để pt có nghiệm
(14) Tìm tất cả các giá trị của m để PT sau có nghiệm : x
4
+ mx
3
+ x
2
+ mx + 1 = 0
(15) Tìm tất cả các giá trị của m để BPT sau nghiệm đúng với mọi x: sin
4
x + cos
4

+
−
= m (1)
a/ Giải pt khi m = -3 b/ Tìm m để pt (1) có nghiệm
(19) Cho pt :
2
2x ( 2) 8m x
− + +
= 2 - x (1)
a/ Giải pt khi m = 7 b/ Tìm m để pt (1) có nghiệm
(20) Cho BPT: 2x + 1
≥
a.
( )
x -1 + 1
(1)
a/ Giải Bpt khi a = 1 b/ Tìm a để Bpt (1) có nghiệm
(21) Cho Bpt: cos2x + (m-1)cosx + 3m – 2
≥
0
a/ Tìm m để Bpt có nghiệm b/ Tìm m để Bpt nghiệm đúng với mọi x
(22) Tìm tất cả các giá trị của m để BPT sau có nghiệm 4
x
- m.2
x
+ m + 3
≤
0
(23) Tìm tất cả các giá trị của m để PT sau vô nghiệm
a/

a/ Giải pt khi a = 0 b/ Tìm a để pt có nghiệm duy nhất
(25) Cho Pt: cos4x + 6sinx.cosx = m
a/ Giải pt khi m = 1 b/ Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt trên đoạn
0;
4
π
 
 
 
(26) Trong tất cả các khối nón có đường sinh bằng a, tìm khối nón có thể tích lớn nhất. Tính đường cao
khối nón đó
II. PP dùng Miền giá trị hàm:
• B1: Xem y = f(x) là phương trình ẩn x và tham số y
• B2: Tìm điều kiện của y để phương trình y = f(x) có nghiệm
• B3: Kết luận Miny và Maxy.
* Hs y =
2
2
ax x + c
a'x ' '
b
b x c
+
+ +
có TXĐ D = R được biến đổi về dạng : Ax
2
+ Bx + C = 0 (1)
- Với A = 0, tìm nghiệm x của pt (1)
- Với A
≠


⇒


* BÀI TẬP :
20

(27). Tìm GTLN; GTNN của hs :
a/ y =
2
1
1
x
x x
+
+ +
b/ y =
2
2
2x 4x+5
x 1
+
+
c/ y =
2 osx
2 - cosx - sinx
c+

d/ y =
2sinx + 3cosx - 1

III. PP dùng Bất đẳng thức:
1/ Bất đẳng thức Cauchy : Cho n số dương a
1
, a
2
, …, a
n
ta có: a
1
+ a
2
+ … + a
n
≥
n
1 2 n
a .a a
n

* Nếu tích
1 2 n
a .a a
= p không đổi thì tổng a
1
+ a
2
+ … + a
n
đạt GTNN bằng n.
n

= … = a
n
=
S
n
2/ Bất đẳng thức Bunhiacôpski: (AC + BD)
2
≤
(A
2
+ B
2
)(C
2
+ D
2
)
Trong đó: A
2
+ B
2
= k
2
; C
2
+ D
2
= m
2
, với k, m đều là hằng số dương

;
C =
1
m
a
b
 
+
 ÷
 
+
1
m
b
a
 
+
 ÷
 
; m
∈
Z ; D =
3
2
( )a b
a b
+
(33) Cho 3 số thực a, b, c > 0. Tìm GTNN của biểu thức:
D = (a + b + c)
1 1 1

abc
+ + +
; K =
b c c a a b
a b c
+ + +
+ +
(34) Cho 2 số thực a, b > 0. Tìm GTNN của biểu thức:
a/ y =
( )( )x a x b
x
+ +
trên miền (0; +
∞
) b/ y = ax +
b
x a
+
trên miền (-a; +
∞
)
(35) Cho 2 số x, y thỏa 0
≤
x
≤
1 ; 0
≤
y
≤
2. Tìm GTLN của biểu thức:

 
(38) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: Q = ax + by + c
Trong đó a, b, c là các số cho trước và 2 số x, y thỏa x
2
+ y
2
= 1
21

(39) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: S=y–4x+8. Trong đó x, y là hai số thỏa : 4x
2
+y
2
=
1
4
(40) Cho 3 số không âm a, b thỏa a + b + c = 1. Tìm GTLN của biểu thức:
U =
a b c+ +
; V =
4 4 4
a b c+ +
(41) Tìm GTLN, GTNN của hs: y =
2
2
os sinx.cosx
1+ sin
c x
x
+

A
B
=


=

* BÀI TẬP :
(42) Tìm GTNN của biểu thức : A = 2x
2
+ 2y
2
+ 2xy – 2x + 2y + 1
(43) Tìm GTLN của biểu thức : B = 4 - 5x
2
- 2y
2
+ 2xy + 8x + 2y
(44) Tìm GTNN của biểu thức : C = 4sin3x + cos2x – cos6x + 5
(45) Tìm GTNN của biểu thức : D = cosx + cosy +
1
2
cos(x + y) -
11
2
Phần 3: P.TRÌNH VÀ BẤT P.TRÌNH SIÊU VIỆT
* CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định nghĩa và các công thức của luỹ thừa, logarít.
2. Tính chất của hàm số mũ và hàm lôgarít.
3. Các phương trình và bất phương trình mũ và lôgarít

x a a
x m
x a a

> >
> <=>

< < <

Trường hợp:
,log
x
a
a m x m< <
xét tương tự như các trường hợp trên
4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI THƯỜNG GẶP
 Phương pháp đưa về cùng cơ số:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x= <=> =
log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0
a a
f x g x f x g x= <=> = >
( ) ( )
( ) ( ), 1
( ) ( ),0 1
f x g x
f x g x a
a a

( )( ) 1a b a b+ − =
Ta đặt
( )
( )
f x
t a b
= +
22

Dạng:
2 ( ) ( ) 2 ( )
. .( ) . 0
f x f x f x
a u b uv c v+ + =
Ta chia hai vế phương trình cho
2 ( )f x
v
rồi đặt
( )
( )
f x
u
t
v
=
.
Khi biến đổi phương trình về dạng:
2
. ( ) . ( ) 0a f x b f x c+ + =
( > 0) với

là duy nhất.
* BÀI TẬP:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1)
2
8 1 3
2 4
x x x− + −
=
2)
2
5
6
2
2 16 2
x x− −
=
3)
1 2 5
2 .5 2.10
x x x+ +
=
4)
1 2
2 .3 .5 12
x x x− −
=
5) 7. 3
1x+
- 5

− = −
9) 7
3x
+ 9.5
2x
= 5
2x
+ 9.7
2x
10) 2
2
1x −
- 3
2
x
= 3
2
1x −
- 2
2
2x +
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) 3
2x-5
= 4 2) 2
2
x
. 3
x
= 1 3)

x x x=
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1)
2.16 15.4 8 0
x x
− − =
2)
2 6 7
2 2 17 0
x x+ +
+ − =
3)
4 8 2 5
3 4.3 27 0
x x+ +
− + =
4)
2 3 3
8 2 12 0
x
x x
+
− + =
5)
2 2
2 2 1
9 7.3 2
x x x x x x− − − − −
− =
6)

5
3
x
+
( )
10
10
3
x−
= 84
13)
(4 15) (4 15) 62
x x
+ + − =
14)
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
− + + =
15)
(7 4 3) 3(2 3) 2 0
x x
+ − − + =
16)
3
(3 5) 16.(3 5) 2
x x x

+ + = + +
7)
2
3
x
= cosx
8) 3. 25
2x−
+ (3x – 10). 5
2x
−
+ 3 – x = 0 9) 3. 4
x
+ (3x – 10). 2
x
+ 3 – x = 0
10) x
2
- (3 - 2
x
).x + 2( 1 - 2
x
) = 0
Bài 5: Giải các phương trình sau:
23

1)
2
2 1
( 1) 1

2xx
x
−
= 1 6)
2
3
x x
x
−
−
= (x – 3)
2
7)
2 1 2 2 1
x x
− + − =
Bài 6: Giải các phương trình sau:
1)
5 5 5
log log ( 6) log ( 2)x x x= + − +
2)
5 25 0.2
log log log 3x x+ =
3)
2
log (2 5 4) 2
x
x x
− + =
4)

2
2
log 16 log 64 3
x
x
+ =
(422)
9)
2 2
log (4.3 6) log (9 6) 1
x x
− − − =
(432) 10)
1 2
1
4 l g 2 l go x o x
+ =
− +
11)
2 2
log 10log 6 0x x+ + =
12)
16 2
3log 16 4log 2log
x
x x− =
(423)
13)
3
l g(l g ) l g(l g 2) 0o o x o o x+ − =

(443-nham)
19)
5
3 3 log
x
x
= −
20)
4
12 9
1
log ( ) (log )
2
x x x
+ =
Bài 7: Giải các bất phương trình sau
1)
6
2
9 3
x
x+
<
2)
3 9.3 10 0
x x−
+ − <
3)
5.4 2.25 7.10 0
x x x

−
+ −
≤
−
(381) 8)
1
1 1
3 1 1 3
x x+
≥
− −
(381)
9)
1
1
2 1
3 1
2 2
x
x
−
+
≥
(384) 10)
2
1 5 25
x x−
< <
(384)
11)

1
( 2 3) 1
x
x
x x
−
+
+ + <
17)
2
3
2 2 2
( 1) 1
x x
x x
+
− > −

Bài 8: Giải các bất phương trình sau
1)
2
8
log ( 4 3) 1x x
− + ≤
2)
3 3
log log 3 0x x
− − <
3)
2

7)
2
2 2
log log 0x x
+ ≤
8)
3 1
2
log (log ) 0x ≥
(464)
24

9)
2
6 6
log log
6 12
x x
x+ ≤
(471) 10)
3
2 2
2 log 22 log
1
x
x
x
− −
>
(471)

3log (9 ) log 3
x y
x y

− + − =


− =


3)
log (3 2 ) 2
log (3 2 ) 2
x
y
x y
y x
+ =



+ =


4)
2 4
2
2 4
5log 3log 8
10log log 9

− −

=


=



7)
2
3 2 77
3 2 7
x y
x y

− =


− =


8)
2 2 12
5
x y
x y

+ =


x y
y x
x y x y
+


=


+ = − +

4)
3 3 3
log log 1 log 2
5
x y
x y
+ = +


+ =


5)
4 2
2 2
log log 0
5 4 0
x y
x y

2
l g( 1)
o ax
o x
=
+
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
( 4).9 2( 2).3 1 0
x x
m m m− − − + − =
Bài 6: Cho bất phương trình sau:
1
4 (2 1) 0
x x
m
−
− + >
a/ Giải bất phương trình khi
16
9
m =
b/ Định m để bất phương trình thoả
x R∀ ∈
Phần 4: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
 CHỦ ĐỀ 1: BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
Hàm số sơ cấp Hàm số hợp : u = u(x) Công thức suy rộng
+1
1 ( x + b)
( x + b) x = .
k + 1

∫
1
os(kx + b)dx = sin (kx + b) + C
k
c
∫
1
sin (kx + b)dx = os(kx + b) + C
k
c−
∫
25