05/13/14 Hệ phương trình tuyến tính 1
C. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
ξ1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
2.1. Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính:
1. Định nghĩa: Đó là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồm
m phương trình n ẩn có dạng:







=++
=++
=++
mnmn2
2m
1
1m
2n
n2
2
22
1
21
1n
n1
2
12
1



=
mn2m1m
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
A
3. Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự do:
[ ]
T
n21
n
2
1
x xx
x

x
x
X
=









=
Hệ phương trình (1) có thể viết: AX = B
05/13/14 Hệ phương trình tuyến tính 3
ξ1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
4. Ma trận bổ sung:












=
m
2
1
mn2m1m
n22221
n11211
b

b






=++
=++
=++
1axxx
1xaxx
1xxax
321
321
321
)2a()1a(2a3a
a11
1a1
11a
A
23
+−=+−==
05/13/14 Hệ phương trình tuyến tính 5
ξ2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME
2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ phương
trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định thức của ma trận
hệ số khác không.
2.2. Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm duy
nhất tính bằng công thức X = A
-1
B, tức là:

Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn
khác nhau hoặc ma trận các hệ số bằng không.
Ta thực hiện các phép toán trên hàng đối với ma trận bổ
sung của hệ phương trình (1) và đưa ma trận này về dạng ma
trận bậc thang.












=
m
2
1
mn2m1m
n22221
n11211
b
b
b
a aa

a aa

=++
0xa xaxa

0xa xaxa
0xa xaxa
nmn2
2m
1
1m
n
n2
2
22
1
21
n
n1
2
12
1
11
[ ]
T
0 00
0

0
0
X =


nmn2
2m
1
1m
n
n2
2
22
1
21
n
n1
2
12
1
11
[ ]
T
0 00
0

0
0
X =









+ + − =


+ − + =


+ + − =

05/13/14 Hệ phương trình tuyến tính 11
ξ3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS












−
−−
−−
−
 →


HH4
HH3












−
−
 →
+
+−
+
−
0000
0000
5610
7801
42
32
12
2
HH2

05/13/14 Hệ phương trình tuyến tính 13
ξ3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
3.3.4. Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất: Giả sử rankA = k < n. Ta có hệ có vô số nghiệm
phụ thuộc n-k tham số. Giả sử n-k tham số đó là x
k+1
, … x
n.
x
1
x
2
x
k
x
k+1
x
k+2
… x
n
c
11
c
12
… c
1k
1 0 0
c
11
c

x
3
x
4
8 -6 1 0
-7 5 0 1