Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Minh Thư,
người đã tận tình hướng dẫn tôi thực hiện khóa luận này. Trong suốt một thời
gian dài, mặc dù công việc giảng dạy và nghiên cứu của thầy rất bận rộn
nhưng thầy vẫn dành cho tôi những khoảng thời gian quý giá để chỉ bảo tận
tình giúp tôi hoàn thành được khóa luận. Sự giúp đỡ, động viên kịp thời và
những tình cảm thầy dành cho tôi đã giúp tôi tự tin vượt qua những khó khăn
trong quá trình thực hiện khóa luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật Lí – Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội đã trang bị cho tôi vốn kiến thức quý báu để tôi có thể
thực hiện khóa luận, cũng như làm giàu thêm hành trang kiến thức để tôi tiếp
tục sự nghiệp sau này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Tác giả: Nguyễn Thanh Thủy.
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
MỤC LỤC
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
MỞ ĐẦU
Thành tựu của khoa học Vật lý cuối những năm 80 của thế kỷ 20 được
đặc trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các vật liệu bán
dẫn khối (bán dẫn có cấu trúc 3 chiều) sang bán dẫn thấp chiều [1-5]. Các hệ
thấp chiều có kích thước lượng tử được tạo ra bởi các vật liệu bán dẫn như:
các giếng lượng tử (Quantum Wells), các siêu mạng (Superlatices), các dây
lượng tử (Quantum Wires), các chấm lượng tử (Quantum Dots) và các vòng
lượng tử (Quantum Rings) [6-14]. Các cấu trúc này được kì vọng sẽ đóng vai
trò quan trọng trong sự phát triển của vật lí mới cũng như rất nhiều các ứng
dụng trong điện tử học, quang học, quang tử học và máy tính lượng tử. [4, 7,
15-20] Tuỳ thuộc vào cấu trúc bán dẫn cụ thể mà chuyển động tự do của các

phần mềm mô phỏng Comsol Multiphysic [26]. Sử dụng kết quả tính toán này
chúng tôi sẽ mô phỏng độ từ hóa và độ cảm từ của tập hợp vòng lượng tử bán
dẫn vào từ trường và nhiệt độ khi tính đến sự không đồng nhất của bán kính
của các vòng trong tập hợp. Các kết quả mô phỏng sẽ được so sánh với kết
quả thực nghiệm và những tính toán, mô phỏng của các tác giả khác.
Bố cục của khóa luận: ngoài phần mở đầu, kết luận, cùng danh mục
tài liệu tham khảo, khóa luận được trình bày thành ba chương:
Chương 1. Tổng quan về hệ thấp chiều
1.1. Các hệ thấp chiều.
1.2. Vòng lượng tử bán dẫn.
Chương 2. Phương pháp tính toán
2.1. Phương pháp khối lượng hiệu dụng.
2.2. Phương trình Schrodinger trong gần đúng một vùng.
2.3. Độ từ hóa và độ cảm từ của tập hợp vòng lượng tử bán dẫn.
Chương 3. Kết quả và thảo luận
3.1. Sự phụ thuộc của các hệ số B
C
, và vào R.
3.2. Độ từ hóa và độ cảm từ của tập hợp vòng lượng tử bán dẫn đối xứng.
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
2
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ HỆ THẤP CHIỀU
1.1. Các hệ thấp chiều
Trong chương này, chúng ta sẽ đi tìm hiểu các khái niệm cơ bản về hệ
thấp chiều. Trước tiên, ta đi tìm hiểu về các độ dài đặc trưng cho hệ thấp
chiều trong phần 1.1.1. Trong mục 1.1.2, chúng ta đi tìm hiểu khái niệm
chiều, sau đó là mối quan hệ giữa mật độ trạng thái và cấu trúc vùng năng
lượng của các hệ khác nhau (1.1.3). [1-3]
1.1.1. Các độ dài đặc trưng cho hệ Mesoscopic

hệ thức giữa k
F
và mật độ điện tử n khi tính đến spin:
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
3
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN









=
=
=
=
1,
2
2
2,
)2(
2
3,
3
4
)2(
2

. Với bán dẫn 2 chiều (trong cấu trúc dị
thể GaAs-AlGaAs) n=5.10
11
cm
-2
thì
F
λ
cỡ 35 nm.
Ở nhiệt độ thấp, dòng chủ yếu mang bởi điện tử với k gần k
F
.
1.1.1.2.Quãng đường tự do trung bình (l).
Trong tinh thể hoàn hảo, các điện tử chuyển động như trong chân
không với khối lượng hiệu dụng. Lệch khỏi mạng hoàn hảo (tạp chất, dao
động mạng…) dẫn đến các va chạm làm cho điện tử bị tán xạ, chuyển từ trạng
thái này sang trạng thái khác. Khi lệch khỏi mạng tinh thể hoàn hảo, chúng ta
có khái niệm quãng đường tự do trung bình: quãng đường tự do trung bình là
khoảng cách trung bình mà điện tử dịch chuyển được trước khi momentum
ban đầu của nó bị phá hủy. Khái niệm quãng đường tự do trung bình đóng
một vai trò quan trọng trong lý thuyết dịch chuyển Boltzman.
Ở nhiệt độ thấp, tính chất chuyển được xác định bởi các điện tử có
F
kk

≈
, có thể viết:
mF
vl
τ

, là khoảng thời gian lưu
giữ kí ức về pha. Thời gian
ϕ
τ

có thể xác định:
ϕ
∆
~
ϕ
τ
.E∆
~1 (1.4)
Việc tính
ϕ
τ

cần thực hiện cho từng cơ chế tán xạ và thường không
đơn giản,
P
T
−
∝
ϕ
τ
(1.5)
với T là nhiệt độ của hệ,
p=2 cho tán xạ điện tử - điện tử,
p>2 cho tán xạ điện tử - phonon,
Biết

=
2
(1.7)
Với D là hệ số khuếch tán.
Từ (1.5), (1.6) và (1.7) rút ra:
2/P
TL
−
∝
ϕ
(1.8)
Ta thấy có 3 độ dài đặc trưng cho các hệ thấp chiều. Điều kiện để một
hệ là hệ thấp chiều khi kích thước của nó nhỏ hơn hoặc bằng một hoặc cả 3 độ
dài đặc trưng. Tỷ đối giữa
F
λ
, l,
ϕ
L
là tùy thuộc vật liệu, với vật dẫn thường
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
5
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
thì
F
λ

≤
l
≤













+








+









: số nguyên.
Với mẫu đo bình thường L cỡ mm, dẫn tới khoảng cách giữa các mức
(1.9) là nhỏ. Ví dụ L=1mm thì
E∆
=
≈
2
22
1
.
2
L
m
π

3,8.10
-10
MeV hiệu ứng lượng
tử hóa mức năng lượng là không quan trọng. Giảm L đến giá trị gần với bước
sóng Fecmi hiệu ứng lượng tử hóa đóng vai trò quan trọng. Công nghệ nano
hiện đại cho phép chế tạo vật liệu với L cỡ (
ϕ
λ
Ll
F
,,
). Một cách tương đối có
thể phân lớp các mẫu đo bằng cách so sánh các kích thước của nó với một
trong (ví dụ
F

y
,L
z
, dùng điều kiện biên tuần hoàn Born –
Karman:
x
xx
L
nk
π
2
.
=
(1.11)
y
yy
L
nk
π
2
.
=
(1.12)
z
zz
L
nk
π
2
.

3
3
)(
3
)2(
)/8(
)3/4(
2)( EE
m
V
V
k
EN
T
−==

ππ
π
(1.16)
Khi đó, ta có mật độ trạng thái là:
2/1
0
3
2/3
)(
2
)2(
)(
1
)( EE

xx
L
nk
L
nk
π
π
2
2
=
=
(1.18)
Khi đó, phần thể tích trong không gian chiếm một trạng thái riêng rẽ là:
SLL
yx
2
)2(22
πππ
=
(1.19)
trong đó S là diện tích của hệ.
Mặt khác, ta có năng lượng điện tử xác định bởi:
m
k
EE
2
22
0

+=

dE
d
S
EN
T
−==
θ
π

(1.22)
với
)(
0
EE
−
θ
là hàm bậc thang.
k
2
E
k
0
N(E)
E
0
(a) (b)
Hình 1.3: Đồ thị năng lượng (a) và đồ thị mật độ trạng thái (b) của hệ hai chiều.
Các hạt tải bị giới hạn theo một chiều trong khi chúng tự do theo hai
chiều còn lại, phổ năng lượng bị gián đoạn theo chiều bị giới hạn.
Nguyễn Thanh Thủy_BK60

k
EE
2
22
0

+=
(1.25)
nên số trạng thái với năng lương nhỏ hơn E, tương ứng nằm trong
đường tròn bán kính k là:
2/1
0
2/1
)(
)2(
/2
2)( EE
m
L
L
k
EN
x
x
T
−==

ππ
(1.26)
Khi đó, ta có mật độ trạng thái là:

E
k
0
Hình 1.4: Đồ thị năng lượng (a) và đồ thị mật độ trạng thái (b) của hệ một chiều.
Phổ năng lượng bị gián đoạn theo hai chiều trong không gian.
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
10
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
d.Hệ không chiều
Vì điện tử bị giam cầm theo cả ba chiều, các hạt không thể chuyển
động tự do nên các mức năng lượng gián đoạn và khoảng cách giữa các mức
rất lớn, đặc biệt nếu ta có thể chế tạo hệ càng lý tưởng thì khoảng cách giữa
các mức càng lớn. Do tính chất gián đoạn của năng lượng và không phụ thuộc
vào vec-tơ sóng
k

nên mật độ trạng thái có dạng hàm Dirac:
∑
−
i
i
EEEN )()(
δα
(1.28)
Hình 1. 5 : Đồ thị năng lượng (a) và mật độ trạng thái (b) của hệ không chiều.
1.1.4. Kết luận
Các hệ bán dẫn thấp chiều là các hệ bán dẫn có kích thước theo một,
hai hay ba chiều có thể so sánh được với các bước sóng De Broglie. Trong
các hệ này, các hạt chịu sự giam cầm dọc theo các trục giam giữ. Khi kích
thước của hệ so sánh được với các độ dài đặc trưng của hệ thấp chiều thì

hhyxh
≤+
+−+
−+−
−
+
−
++=
22
2
0
222
2222
2
2
0
0
22
22
0
,
)(
)(
])1([),(
γ
γ
ξ
r
r
M

- h
0
, h
M
, h
∞
là các thông số cho phép điều chỉnh độ cao của vòng lượng tử.
- γ
0
, γ
∞
lần lượt thể hiện độ dốc bên trong và bên ngoài tại vị trí vành
của vòng lượng tử;
- ξ là thông số đặc trưng cho sự bất đối xứng của độ cao tại vành của
vòng lượng tử bán dẫn, nếu ξ càng lớn thì sự chênh lệch độ cao của vành theo
trục Ox và Oy càng lớn. Khi ξ = 0 thì độ cao của vòng là như nhau tại mọi
điểm trên vành của nó, lúc đó chúng ta có vòng lượng tử đối xứng quanh trục
Oz. Độ cao của vòng lượng tử bán dẫn bất đối xứng được mọc lên từ mặt
phẳng xy ứng với ξ=0,2 và ξ=0,1 được biểu diễn trên hình 1.6.
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
12
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
Hình 1.6: Vòng lượng tử bán dẫn bất đối xứng: (a) ξ = 0,2 và (b) ξ = 0,1.
Trong trường hợp vòng lượng tử đặt trong từ trường ngoài hướng theo
trục Oz, các tác giả trong bài báo [25] mô phỏng độ từ hóa và độ cảm từ trung
bình của tập hợp các vòng lượng tử bất đối xứng khi tính đến sự không đồng
nhất của bán kính vòng và thông số ξ (thông số mô tả sự bất đối xứng của
vòng). Tuy nhiên, các tác giả cũng đã chỉ ra rằng sự thay đổi của bán kính
vành của vòng lượng tử cho đóng góp chủ yếu trong sự phụ thuộc vào nhiệt
độ của độ từ hóa và độ cảm từ trung bình của tập hợp vòng lượng tử. Điều

)(
.
)(
),(
γ
γ

(1.28)
r
r
M
Ryx
Ryx
hh
hyxh
>+
+−+
−
+=
∞
∞∞
∞
22
2222
2
,
)(
)(
),(
γ

2
rkErrU
m
kk





ψψ
=






+∇−
(2.1)
Khai triển hàm Block
)(r
k


ψ
theo hệ hàm Wannier
)(
n
Rr


và
)(
n
Rr


−
ϕ

thỏa
mãn các điều kiện trực giao và chuẩn hóa:

kk
k
k
rdrr



,
**
''
)()(
δψψ
=
∫
(2.3)

nmnm
rdRrRr

ψϕ
∑
−
=−
(2.5)
Khác với hàm sóng của điện tử trong nguyên tử
)(
n
Rr


−
φ
, hàm
)(
n
Rr


−
ϕ

trực giao và chuẩn hóa. Khác với hàm
)(r
k


ψ
, hàm
)(

)()()()(
2
2
2
rErrVrU
m
h

ααα
ψψ
=






++∇−
(2.6)
Trong đó
α
E

là năng lượng của điện tử khi có thêm thế
)(rV

tác dụng.
Ta hãy trình bày phương pháp gần đúng xác định
α
E

Đặt (1.7) vào (1.6) rồi nhân hai vế với
)(
*
m
Rr


−
ϕ
và lấy tích phân theo
toàn bộ thể tích của tinh thể, ta được:
0)()()(
2
)()(
2
2
*
=−






−++∇−−
∑
∫
rdRrErVrU
m
h

∑
∫
−−−=
ϕϕ
αα
rdRrrVRrRfI
nm
n
n






)()()()(
*
2
−−=
∫
∑
ϕϕ
α
rdRrrU
m
h
RrRfI
n
n
mn

I
,
3
I
. Dễ thấy rằng:
rdRrRrRfEI
n
nmn






)()()(
*
1
∑
∫
−−−=
ϕϕ
αα
)()(
1 m
n
mnn
RfERfEI

αααα
δ




=
∇=∇
))(()(
. Nếu hàm
)(rV


là trơn và biến đổi chậm
trong khoảng cỡ hằng số mạng thì gần đúng, ta thay
)(rV


bằng
)(
n
RV

trong
tích phân
2
I
. Khi đó, ta có:
∫
∑
−−=
rdRrRVRrRfI
nnm

k
k
Rki
n
n







ψϕ
∑
−
=−
)(
1
)(
'
'
**
re
N
Rr
k
k
Rki
n
m









)()()()(
1
'
'
'
*
3
ψψ
α
∫
∑∑∑
−
=
[ ]
'
'
'
,
3
)()(
1
kk

nm
ekERf
N
I





)(
3
)()(
1
α
Đặt
nml
RRR

−=
, ta viết được:
l
Rki
l
l
k
m
ekERRf
N
I


)(kE

theo chuỗi Fuorier:
∑
−
=
p
Rki
p
p
eRCkE




)()(
(2.12)
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
17
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
Trong đó
)(
p
RC

là hệ số khai triển. Đặt biểu thức của
)(kE

vào (2.11),
ta được:

δ
=
∑
−



)(
1
Ta có:
∑
−=
l
llm
RCRRfI )()(
3

α
(2.13)
Hàm
)(
lm
RRf

−
α
là hàm
)( rRf
m








αααα
)( )(
2
1
)(1)(
2
mm
RfrrrRf



αα






−∇+∇−=−
)()(
m
r
m
RferRf



∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
|
)()()(
αα
( )
m
Rr
m
rf
z
z
y
y
x
xRfr






m
rfRf




=
∇≡∇
|
22
)()(
αα
Thay
r

bằng
l
R

, ta được:
)()(
m
R
lm
RfeRRf
ml


αα
∇−

.
Đặt (2.14) vào (2.13) ta có:
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
19
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
∑
∇−
=
l
m
R
l
RfeRCI
ml
)()(
3


α
(2.15)
Trong biểu thức (2.12) của
)(kE

nếu thay
k


bằng
m
i

{ }
)()()()(
mmmm
RfERfRViE

α
=+∇−
(2.18)
Phương trình (2.18) là định lí Wannier.
Thay
m
R
bằng
r

và
m
∇
bằng
z
k
y
j
x
i
∂
∂
+
∂
∂

)(rV


và giải phương trình (2.19) ta xác định
được
α
E
và
).(rf

α
Hàm
)(rf

α
gọi là hàm bao. Thay
r


bằng
n
R

vào hàm bao
)(rf

α
ta xác định
)(
n

=
k

và
có đối xứng cầu và đối xứng parabol, ta có:
*
22
2
)(
m
k
kE


=
(2.20)
Trong đó,
*
m

là khối lượng hiệu dụng của điện tử. Thay
k


bằng
∇−
i
vào biểu thức
)(kE




+
∇
−
(2.22)
Từ phương trình (2.22), ta thấy ảnh hưởng của trường tuần hoàn
)(rU

của điện tử trong tinh thể đã được xét đến bằng cách thay đổi khối lượng thật
m của điện tử bằng khối lượng hiệu dụng
*
m
. Phương pháp này gọi là phương
pháp khối lượng hiệu dụng.
2.2.Phương trình Schrodinger trong gần đúng một vùng
Với điện tử bị giam cầm trong vòng lượng tử bán dẫn, năng lượng E
n
và
hàm sóng tương ứng F
n
( ) thỏa mãn phương trình Schrodinger:
)()()(
ˆ
rFErFrH
nnn

=
(2.23)
Trong trường hợp có từ trường ngoài, hàm Hamilton hiệu dụng của một



+∇−=+=
′
r
∇

là gradient không gian,
A(
r

) là thế véc tơ của từ trường
ArotB


=
,
m(
r

) là khối lượng hiệu dụng của điện tử phụ thuộc vào vị trí
( = {x,y,z}),
B
µ
là magneton Bohr,
g(
r

) hệ số Lande,
là ma trận Pauli.

a
yxhz
a
zz
EzyxV
o
Ce
(2.25)
với
0 out in
c c
E E E∆ = −
là tổng độ chênh lệch năng lượng vùng dẫn của vật
liệu ở bên ngoài vòng với bên trong vòng.
Thông số a đặc trưng cho độ dốc của thế và phạm vi của thế thay đổi
tại các vị trí xung quanh vành của vòng.
Từ thế (2.25) chúng tôi xác định được hàm mapping:
o
C
e
E
zyxV
zyxM
∆
−=
),,(
1),,(
(2.26)
Dùng M(x,y,z) ta có thể biểu diễn sự phụ thuộc của khối lượng hiệu
dụng ở đáy vùng dẫn m

R
RR
R
hh
hh
>
+−
−
+=
≤
+−
−−
−
+=
∞
∞∞
∞
ρ
γρ
γ
ρ
ρ
γρ
ρ
γ
ρ
,
)(
)(
)(

ρ
, z), khi đó phương trình Schrodinger
trở thành:
),(),(
2
),(
),(
),(8
),(2
1
),(2
*
222
*2
2
2
2
2
2
*
2
zFEzF
Bzg
zV
zm
Be
zm
eBl
z
l



+++
+








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+−−

(2.30)
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
23