Mục lục
MỞ ĐẦU 4
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7
1.1 Chuỗi số thực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Các định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Phần dư của một chuỗi số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 Tiêu chuẩn hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 Chuỗi số dương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.6 Chuỗi đan dấu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.7 Chuỗi số bất kì. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Chuỗi hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Dãy hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Chuỗi hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 CHUỖI FOURIER 18
2.1 Chuỗi lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1
2.1.4 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.5 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.6 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.4 Bổ đề (Riman). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.5 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.6 Công thức Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Toán học gọi đó là các vấn đề liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn. Một trong
những loại hàm tuần hoàn thường xét là hàm số y = Asin(ωx + α). Việc trực tiếp xét các
hiện tượng nêu trên là tương đối khó. Bởi vậy, để đơn giản hóa vấn đề này, các nhà toán
học đã nghĩ ra cách biểu diễn chúng qua các hàm số lượng giác cos
nπx
n
và sin
nπx
n
.
Từ đó xuất hiện khái niệm chuỗi Fourier của một hàm số và khai triển một số hàm
số thành chuỗi Fourier.
Để làm sáng tỏ ứng dụng của chuỗi Fourier và cũng là để làm quen nghiên cứu khoa
học, em đã chọn đề tài "Chuỗi Fourier và khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier"
làm khóa luận tốt nghiệp của mình dưới sự hướng dẫn của Th.S Phạm Thị Thái.
2. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.
2.1. Mục đích nghiên cứu.
- Trình bày một số ứng dụng của chuỗi Fourier và cách khai triển một số hàm số thành
chuỗi Fourier.
- Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân.
- Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên ngành Toán trường Đại
Học Tây Bắc và tất cả những ai yêu thích và quan tâm đến bộ môn giải tích.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu về chuỗi Fourier, tính hội tụ của chuỗi, và các tính chất của các hệ số
Fourier.
4
- Nghiên cứu về điều kiện để khai triển một hàm số thành một chuỗi Fourier.
- Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier và cách khai triển một số
hàm số thành chuỗi Fourier. Nghiên cứu sâu hơn về chuỗi Fourier, từ đó làm cơ sở hình
thành nên một số khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích.

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Chuỗi số thực.
1.1.1 Các định nghĩa.
Định nghĩa 1.1. Giả sử {u
n
}
+∞
n=1
là một dãy số thực. Ta gọi
u
1
+ u
2
+ + u
n
+ =
+∞

n=1
u
n
(1.1)
là chuỗi số thực (chuỗi số).
Định nghĩa 1.2. Ta gọi S
n
=
n

k=1

2
n
hội tụ và có tổng bằng 1 vì tổng riêng thứ n của chuỗi là
S
n
=
1
2
+
1
4
+ +
1
2
n
= 1 −
1
2
n
.
Do đó lim
n→∞
S
n
= lim
n→+∞
(1 −
1
2
n

n→+∞
R
n
= lim
n→+∞
(S −S
n
) = 0.
1.1.3 Tính chất.
Tính chất 1.4. Giả sử chuỗi số
+∞

n=1
u
n
và chuỗi số
+∞

n=1
v
n
hội tụ có tổng tương ứng là I
và J. Khi đó:
(i) Chuỗi số
+∞

n=1
(u
n
± v

8
Tính chất 1.7. Điều kiện cần để chuỗi
+∞

n=1
u
n
hội tụ là lim
n→+∞
u
n
= 0.
Chứng minh. Giả sử chuỗi số
+∞

n=1
u
n
hội tụ có tổng là S và S
n
=
n

k=1
u
k
là tổng riêng thứ
n của chuỗi. Khi đó
lim
n→+∞


n=1
u
n
phân
kì. Tuy nhiên, tính chất 1.7 chỉ là điều kiện cần nên một chuỗi số thỏa mãn điều kiện
lim
n→+∞
u
n
= 0 thì chưa kết luận được chuỗi đó hội tụ hay phân kỳ.
Ví dụ: Chuỗi số
+∞

n=1
q
n
(q là hằng số) được gọi là chuỗi số nhân. Chuỗi này hội tụ khi
|q| < 1, phân kỳ khi |q| ≥ 1.
1.1.5 Chuỗi số dương.
Định nghĩa 1.9. Chuỗi số
+∞

n=1
u
n
có các số hạng u
n
≥ 0 với mọi n được gọi là chuỗi số
dương.

trên.
Định lý 1.11. (Dấu hiệu so sánh 1.)
Giả sử hai chuỗi số dương
+∞

n=1
u
n
và
+∞

n=1
v
n
và u
n
≤ v
n
kể từ một chỉ số nào đó trở đi.
9
Khi đó
(i) Nếu chuỗi số
+∞

n=1
v
n
hội tụ thì chuỗi số
+∞


có lim
n→+∞
u
n
v
n
= k (0 = k ∈ R). Khi đó hai chuỗi
số trên cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Định lý 1.13. (Dấu hiệu tích phân Cauchy.)
Giả sử f là một hàm số liên tục trên khoảng [1; +∞) , f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞) và f giảm
với x đủ lớn. Đặt
u
1
= f(1), u
2
= f(2), , u
n
= f(n),
Khi đó chuỗi số
+∞

n=1
u
n
hội tụ nếu và chỉ nếu
lim
y→+∞
y

1

− u
3
+ (1.5)
với u
n
≥ 0, ∀n ∈ N
∗
gọi là chuỗi số đan dấu.
Sau đây là định lí thường hay sử dụng đối với chuỗi số đan dấu:
10
Định lý 1.15. (Định lý Leibniz)
Nếu chuỗi số đan dấu
+∞

n=1
(−1)
n−1
u
n
thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) u
1
≥ u
2
≥ ≥ u
n
≥
(ii) lim
n→+∞
u

n
và là
điều kiện đủ để chuỗi đó hội tụ. Đối với chuỗi đan dấu dang
+∞

n=1
(−1)
n
u
n
ta chỉ áp dụng
định lý Leibniz sau khi nhân tất cả các số hạng của chuỗi với (−1). Do đó chỉ kết luận
được sự hội tụ của
+∞

n=1
(−1)
n
u
n
mà không kết luận được chuỗi đó có tổng S ≤ u
1
.
(ii) Đối với chuỗi đan dấu dạng
+∞

n=1
(−1)
n−1
u




+∞

n=1
u
n





≤
+∞

n=1
|u
n
|.
11
Chứng minh. Giả sử chuỗi số
+∞

n=1
u
n
hội tụ tuyệt đối. Khi đó chuỗi số
+∞


Do đó ∀ε > 0, ∃N ∈ N
∗
sao cho ∀n, p ∈ N
∗
, n ≥ N
⇒ |u
n+1
+ u
n+2
+ + u
n+p
| < ε.
Điều trên chứng tỏ chuỗi số
+∞

n=1
u
n
hội tụ.
Sau đây là một số dấu hiệu về sự hội tụ của chuỗi.
Định lý 1.20. (Dấu hiệu D’Alembert.)
Cho chuỗi số
+∞

n=1
u
n
có lim
n→+∞
|u

+∞

n=1
u
n
là một chuỗi số với lim
n→+∞
sup
n

|u
n
| = l. Khi đó
(i) Nếu l < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.
(i) Nếu l > 1 thì chuỗi phân kỳ.
(iii) Nếu l = 1 thì chưa thể nói gì về tính chất của chuỗi số.
Chứng minh. Ta biết rằng với một dãy số thực {a
n
} bất kì, ta có
lim
n→+∞
sup a
n
= lim
n→+∞
sup {a
n
, a
n+1
, }.

n
hội tụ nên, theo dấu hiệu so sánh, chuỗi số
+∞

n=1
|u
n
| hội tụ.
b) Tồn tại một dãy con {u
k
n
} của dãy {u
n
} sao cho lim
n→+∞
n

|u
k
n
| = l > 1. Do đó
n

|u
k
n
| > 1 với n đủ lớn. Vậy chuỗi đã cho phân kì.
Định lý 1.23. Giả sử
+∞


+∞
n=1
là dãy hàm số thực xác định trên một tập hợp
X ⊂ R. Với mỗi x
0
∈ X, {u
n
(x
0
)} là một dãy số thực. Nếu dãy số thực {u
n
(x
0
)} hội tụ
thì ta nói rằng dãy hàm số {u
n
(x)} hội tụ tại điểm x
0
. Điểm x
0
được gọi là điểm hội tụ
của dãy hàm số {u
n
(x)}. Tập hợp các điểm hội tụ của dãy hàm số {u
n
(x)} gọi là miền
13
hội tụ của dãy hàm số đó.
Nếu dãy hàm số {u
n


1 với x = 1
0 với − 1 < x < 1
và dãy hàm phân kì tại điểm x = −1 và tại các điểm x mà |x| > 1. Vậy miền hội tụ của
dãy hàm số đã cho là (−1; 1].
Hội tụ
f(x) =











1 với x = 1
0 với − 1 < x < 1
gọi là hàm số giới hạn của dãy hàm số đã cho.
b. Hội tụ điểm.
Định nghĩa 1.26. Giả sử u, u
1
, u
2
, là những hàm số xác định trên tập hợp X. Ta nói
rằng dãy hàm số {u
n
} hội tụ điểm (hoặc hội tụ) đến u trên X nếu với mọi x ∈ X, ta đều

n
(x) −u(x)| < ε
với mọi x ∈ X.
Khi đó ta viết
u
n
⇒ u trênX
Định lí sau đây cho một điều kiện tương đương của định nghĩa 1.27.
Định lý 1.28. Giả sử u, u
1
, u
2
, là những hàm số xác định trên tập hợp X. Khi đó
u
n
⇒ u trên X nếu và chỉ nếu
lim
n→+∞
sup
x∈X
|u
n
(x) −u(x)| = 0
d. Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều.
Định lý 1.29. Giả sử {u
n
(x)} là một dãy hàm số xác định trên tập hợp X. Khi đó u
n
hội tụ đều trên X nếu và chỉ nếu với một số ε > 0 cho trước bất kì, tồn tại một số nguyên
dương N sao cho

+∞

n=1
ln
x
n
= ln x + ln
x
2
+ + ln
x
n
+ là một chuỗi hàm trên (0; +∞).
+∞

n=1
sin nx = sin x + sin 2x + + sin nx + là chuỗi hàm trên (−∞; +∞).
Định nghĩa 1.32. Cho chuỗi
+∞

n=1
u
n
(x) các hàm xác định trên X, x
0
∈ X thì
+∞

n=1
u

n
, là những hàm số xác định trên tập hợp X. Khi
đó, chuỗi hàm số
+∞

n=1
u
n
hội tụ đều trên X nếu và chỉ nếu với một số ε > 0 cho trước bất
kỳ, tồn tại một số nguyên dương N sao cho: ∀n, p ∈ N
∗
, n ≥ N
Suy ra |u
n+1
(x) + u
n+2
(x) + + u
n+p
(x)| < ε, ∀x ∈ X.
Định lý 1.34. Điều kiện cần và đủ để chuỗi hàm
+∞

n=1
u
n
(x) hội tụ đều trên tập X là
lim
n→+∞
sup
x∈X


n=1
u
n
hội tụ đều trên khoảng I của R. Nếu các hàm số u
n
đều liên
tục tại điểm x
0
∈ I thì tổng S của chuỗi hàm số liên tục tại điểm x
0
. Vậy ta có:
lim
x→x
0
+∞

n=1
u
n
(x) =
+∞

n=1
u
n
(x
0
) =
+∞

+∞

n=1
b

a
u
n
(x)dx.
Định lý 1.37. (Đạo hàm từng số hạng)
Cho chuỗi hàm
+∞

n=1
u
n
(x) xác định trên [a; b]. Giả sử:
(i) {u
n
} là dãy các hàm khả vi liên tục trên [a; b].
(ii) Chuỗi hàm
+∞

n=1
u
n
(x) hội tụ tại một điểm c nào đó trên [a; b].
Khi đó, chuỗi hàm đã cho hội tụ đều trên [a; b]. Hơn nữa, tổng chuỗi là hàm khả vi liên
tục trên [a; b] và


n
cos nx+b
n
sin nx), x ∈ R
trong đó {a
n
}, {b
n
} là hai dãy số thực.
Với mỗi n, hàm số u
n
(x) = a
n
cos nx + b
n
sin nx có các đạo hàm mọi cấp trên R và có
chu kỳ 2π.
Nếu chuỗi lượng giác hội tụ đến hàm số f(x) thì f là một hàm số có chu kỳ 2π trên R.
Các hằng số a
n
, b
n
gọi là các hệ số của chuỗi.
Chuỗi lượng giác không phải bao giờ cũng có đạo hàm mọi cấp trên khoảng hội tụ của nó.
Tổng của một chuỗi lượng giác có thể không liên tục trên miền hội tụ của nó. Có những
chuỗi lượng giác mà tổng liên tục nhưng không có đạo hàm tại mọi điểm của miền hội tụ.
2.1.2 Định lý.
Định lý 2.2. Nếu các chuỗi số
+∞


n
| + |b
n
|, ∀x ∈ R, n ≥ 1.
Vì chuỗi số
+∞

n=1
(|a
n
| + |b
n
|) hội tụ nên theo dấu hiệu Weierstrass, chuỗi (2.1) hội tụ đều
trên R nên tổng của chuỗi là một hàm số liên tục trên R.
2.1.3 Định lý.
Định lý 2.3. Giả sử dãy {a
n
} và {b
n
} là hai dãy số dương giảm đến không khi n → +∞.
Khi đó, chuỗi lượng giác
a
0
2
+
+∞

n=1
(a
n

n
|) < +∞ thì tổng f của chuỗi lượng giác
a
0
2
+
+∞

n=1
(a
n
cos nx+b
n
sin nx) (2.2)
19
là một hàm số khả vi liên tục trên R và f

(x) nhận được bằng cách lấy đạo hàm từng
hạng tử của chuỗi (2.2), tức là
f

(x) =
+∞

n=1
(−na
n
sin nx + nb
n
cos nx), ∀x ∈ R.

và
+∞

n=1
b
n
đều hội tụ tuyệt đối thì tổng f của chuỗi lượng giác:
a
0
2
+
+∞

n=1
(a
n
cos nx+b
n
sin nx) (2.4)
liên tục trên R và tổng của chuỗi lượng giác
a
0
2
+
+∞

n=1

a
n

π

−π

1
√
2

2
dx =
π

−π
cos
2
kx dx =
π

−π
sin
2
kx dx = π.
π

−π
1
√
2
cos kx dx =
π

< x
1
< < x
n
= b
của đoạn [a; b] có tính chất: Với mỗi i, hàm số f liên tục trên khoảng (x
i−1
; x
i
) , i = 1, , n,
có giới hạn phải hữu hạn tại điểm x
i−1
và giới hạn trái tại điểm x
i
. Nói cách khác, f là
liên tục từng khúc trên đoạn [a; b] nếu nó chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn loại I và
liên tục tại mọi điểm còn lại của đoạn.
2.2.2 Định nghĩa.
Định nghĩa 2.5. Giả sử f là một hàm số tuần hoàn xác định trên R với chu kỳ 2π, liên
tục từng khúc trên mỗi đoạn bị chặn. Chuỗi lượng giác:
a
0
2
+
+∞

n=1
(a
n
cos nx + b

n
được gọi là công thức Euler.
Vì f là một hàm số tuần hoàn chu kỳ 2π nên nhờ một phép đổi biến số, dễ dàng chứng
minh được:
a
n
=
1
π
α+2π

α
f(x)cos nxdx, n = 0, 1, 2,
b
n
=
1
π
α+2π

α
f(x)sin nxdx, ∀α ∈ R, n = 1, 2,
Đặc biệt ta có:
a
n
=
1
π
π



n=1
a
n
cos nx.
Tương tự, nếu f là một hàm số lẻ thì f(x)cos nx là những hàm số lẻ và f(x)sin nx là
những hàm số chẵn. Do đó
a
n
= 0, n = 0, 1, 2, và b
n
=
2
π
π

−π
f(x)sin nxdx, n = 1, 2,
Khi đó chuỗi Fourier của f có dạng:
+∞

n=1
b
n
sin nx
22
Chuỗi Fourier của f có thể hội tụ và có thể phân kỳ. Trong trường hợp chuỗi Fourier của
f hội tụ, tổng của nó có thể khác f.
Giả sử f là một hàm số tuần hoàn với chu kì 2π. Vấn đề đặt ra là trong những trường
hợp nào tồn tại một chuỗi lượng giác hội tụ trên R và có tổng bằng f?


−π
f(x)cos pxdx,
b
p
=
1
π
π

−π
f(x)sin pxdx, p = 1, 2,
Chứng minh. Vì chuỗi (2.6) hội tụ đều trên R nên chuỗi nhận được bằng cách nhân từng
hạng tử của chuỗi (2.6) với một hàm số bị chặn trên R cũng hội tụ trên R. Do đó các
chuỗi hàm:
f(x)cos px =
a
0
2
cos px +
+∞

n=1
(a
n
cos nx + b
n
sin nx)cos px,
f(x)sin px =
a

π

−π
cos nxcos pxdx + b
n
π

−π
sin nxcos pxdx],
(2.7)
23
π

−π
f(x)sin pxdx =
a
0
2
π

−π
sin pxdx +
+∞

n=1
[a
n
π

−π










0 Với n = p
π Với n = p
Do đó từ (2.7), (2.8) suy ra
π

−π
f(x)dx = πa
0
π

−π
f(x)cos pxdx = πa
p
, p ≥ 1
π

−π
f(x)sin pxdx = πb
p
, p ≥ 1
Từ đó suy ra các công thức cần chứng minh.

Gọi π:
a = x
0
< x
1
< < x
n
= b
là một phép phân hoạch đoạn [a, b] có đường kính d(π) < δ. Khi đó
I(λ) =
b

a
f(x) cos λx dx =
+∞

i=1
x
i

x
i−1
f(x) cos λx dx
=
+∞

i=1
f(x
i
)


i=1
(x
i
− x
i−1
)
Vì
|
x
i

x
i−1
cosλxdx| = |
1
λ
(sinλx
i
− sinλx
i=1
)| ≤
2
λ
, λ > 0
nên
|I(λ)| ≤
2Mn
λ
+ ε(b − a), ∀λ > 0