Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG NĂM
2014 MÔN TOÁN CÓ HƯỚNG DẪN CHI TIẾT
- Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc
biệt là khối 12).
- Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng
của Bộ GD&ĐT.
- Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn:
1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT
Thái Nguyên. (Chủ biên)
2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên.
3. Nguyễn Anh Tuấn – Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên.
4. Thầy Vũ Minh Đức – CLB gia sư Bắc Giang.
5. SV Hà Thị Tú Anh – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái
Nguyên.
- Tài liệu lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
- Các bạn có thể gửi ý kiến phải hồi về địa chỉ email: [email protected]
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2014
TM. Nhóm Biên soạn
Chủ biên
Cao Văn Tú
1
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!

PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ℑ1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a,b)

II. Định lý:
1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b]và có đạo hàm trên
khoảng (a,b) thì tồn tại một điểm c∈(a,b) sao cho
( ) ( )
( ) ( ) '( ).( ) '( )
f b f a
f b f a f c b a hay f c
b a
−
− = − =
−
2) Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,b).
• Nếu f’(x)>0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b).
• Nếu f’(x)<0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên (a,b).
(Nếu f’(x) =0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a,b) thì định lý vẫn còn đúng).
B. CÁC BÀI TẬP :
Bài 1: Cho hàm số
3 2
3 3(2 1) 1y x mx m x= − + − +
.
a) Khảo sát hàm số khi m=1.
b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
c) Định m để hàm số giảm trên (1,4).
Bài 2: Cho hàm số
2
2y x x= −
a) Tính y’’(1)
b) Xét tính đơn điệu của hàm số.
Bài 3: Cho hàm số
1

5 3
2 1 0x x x− + − =

ℑ2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định trên (a,b) và điểm x
0
∈(a,b) .
2
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề 1 :
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
• Điểm x
0
được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu với mọi x thuộc một lân
cận của điểm x
0
ta có f(x) < f(x
0
) (x ≠ x
0
).
• Điểm x
0
được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một
lân cận của điểm x
0
ta có f(x)>f(x
0
) (x ≠ x

0
) ; f’(x) > 0 trên khoảng (x
0
; δ+ x
0
) thì x
0
là một
điểm cực tiểu của hàm số f(x).
Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x
0
, đạo hàm đổi dấu thì điểm x
0
là điểm cực trị.
Định lí 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x
0
và f’(x
0
) = 0,
f''(x
o
) ≠ 0 thì x
o
là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa
1) Nếu f”(x
0
) > 0 thì x
0
là điểm cực tiểu.
2) Nếu f”(x

2
x mx m
y
x
+ − −
=
+
a) Khảo sát hàm số khi m=-1.
b) Xác định m để hàm số có hai cực trị.
Bài 3: Cho hàm số
mmxxmxy 26)1(32
23
−++−=
a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến
của (C).
b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình
đường thẳng qua điểm cực trị đó.
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞).
Bài 4: Cho hàm số
2 2
2 1x kx k
y
x k
− + +
=
−
với tham số k.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k=1
2)Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;0) có hệ số góc a. Biện luận theo a số
giao điểm của (C) và (d). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A.

ℑ3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D
Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
0 0
: ( )
: ( )
x D f x M
x D f x M
∀ ∈ ≤
∃ ∈ =
(ký hiệu M=maxf(x) )
Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
0 0
: ( )
: ( )
x D f x m
x D f x m
∀ ∈ ≥
∃ ∈ =
(ký hiệu m=minf(x) )
2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b)
+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá
trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b)
3) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b].
+ Tìm các điểm tới hạn x
1
,x
2

2sinx- sin
3
y x=
trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ)
d)
2 os2x+4sinxy c=
x∈[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ)
e)
2
3 2y x x= − +
trên đoạn [-10,10].
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y= x 1 3x 6x 9 + + − + +
trên
đoạn[-1,3].
Bài 3: Chứng minh rằng
2
2
6 3
2
7 2
x
x x
+
≤ ≤
+ +
với mọi giá trị x.
góc bé nhất.
ℑ4. TIỆM CẬN

lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→+∞
− =

hoặc
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→−∞
− =
hoặc
lim[ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→∞
− =
.
4) Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b.
x
( )
lim b= lim[ ( ) ax]
x
f x
a f x
x
→∞ →∞
= −
.

2
1
1
x x
y
x
+ +
=
−
c)
2
3 1
1 2
x x
y
x
+ +
=
−
.d)
2
2
1
3 2 5
x x
y
x x
+ +
=
− −

I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số không có cực trị ⇔ ?
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ?
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
 Hàm số trùng phương: y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)
 Hàm số nhất biến :
)bcad(

x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số có 1 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ ?
y
I
x
y
O
Dạng 2: hsố nghịch biếnDạng 1: hsố đồng biến
x
O
I
x
y
O
•
I
x

= 3m -2 ( dùng bảng 2)
3. Biện luận phương trình
3 2
1
3
x x
−
=
3 2
1
3
m m−
( dùng bảng 3)
Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay.
Học sinh cần nhớ và vận dụng thành thạo các công thức:
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b)
→ Ta sử dụng công thức
b
a
S f x dx=
∫
( )
(I)
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), y = g(x) / [a;b]
→ Ta sử dụng công thức
b
a
S f x g x dx

thể, đồng thời nắm được các bước cơ bản khi giải dạng toán này:
 Khi cần tính diện tích 1 hình phẳng:
 Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (I) hay (II) (có hay không có Ox).
 Xác định được cận dưới a và cận trên b (nếu chưa có thì biết đi tìm).
 Dựa vào đồ thị (hoặc xét dấu riêng), để biết dấu của biểu thức f(x)/[a;b]. (hay dấu của f(x)
– g(x) /[a;b]).
 Biết các bước trình bày bài giảivà tính đúng kết quả.
 Khi cần tính thể tích vật thể tròn xoay:
 Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (III) hay (IV) (hình sinh quay quanh Ox hay
quay quanh Oy)
 Xác định các cận trên, cận dưới và tính đúng kết quả.
Ví dụ 4: (trích đáp án kì thi THPT không phân ban 2006 )
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y = e
x
, y = 2 và đường thẳng x = 1.
Giải: (0,75 đ)
Ta có: e
x
= 2 ⇔ x = ln2
7
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
Diện tích hình phẳng cần tìm S =
( )
1 1
ln2 ln2
2 2
x x
e dx e dx− = −
∫ ∫

4
x
x
 
= − +
 ÷
 
= 27/4 ( đvdt)
Bài tập : (cho dạng 1 và dạng 2)
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
– mx + m + 2. có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát hàm số khi m = 3.
b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
x
3
– 3x – k +1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3.
Bài 2: Cho hàm số y = x
3
– 2x
2
– (m - 1)x + m = 0
a) Xác định m để hàm số có cực trị.
b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C).
c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi (C) và đoạn OA.
Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)
2
(x –1)

=
x
xx
y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết pttt của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành.
8
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 6: Cho hàm số
4
4
2
−
+−
=
mx
mxx
y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2
).
b) Dùng đồ thị (C
2
) giải và biện luận phương trình :
x
2
– 2(k + 1)x + 4(k + 1) = 0.
c) Tính diện tích hình phẳng của hình (H) giới hạn bởi: (C

) y= f(x) và (C
2
) y=g(x) là số nghiệm của
phương trình hoànhđộ giao điểm f(x) = g(x) (1)
Ví dụ Cho hàm số
1
1
−
+
=
x
x
y
và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai đường
cong.
Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình
1
1
1
−=
−
+
mx
x
x

(điều kiện x khác 1)
0)2(
2
=+−⇔ xmmx

. KQ: 1 giao điểm ( m ≤
27
12
−
), 3 giao điểm ( m >
27
12
−
)
Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số
3 4
1
x
y
x
+
=
−
. KQ: -28 <
a ≤ 0
Dạng 4: Cực trị của hàm số
 Yêu cầu đối với học sinh :
9
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!

Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:

Hàm số bậc 3 : y = ax
3

a 'x b'
+ +
=
+

→
không có cực trị hoặc có 2 cưc trị.

Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a;b) và x
0

∈
(a;b)
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x
0
thì hàm số có cực trị tại x = x
0
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’(x) đổi dấu từ + → – khi x qua x
0
thì hàm số có cực tiểu tại x = x
0
.
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’(x) đổi dấu từ – → + khi x qua x
0

có cực đại và cực tiểu.Kết quả: m < - 2 hay m > 3
2i)Hsố y =
2
2
1
x mx
mx
+ −
−
có cực trị. Kết quả: - 1 < m < 1
3i) Hàm số y = 2x
3
– 3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x
1
, x
2
và khi đó
x
2
– x
1
không phụ thuộc tham số m. Kết quả : ∀m và x
2
– x
1
= 1
Bài 2: Hàm số y = x
3

;y
0
) ∈ (C).
 Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y
0
= f’(x
0
)
( )
0
x x−
hay y – y
0
= k(x – x
0
) (*)
 Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x
0
, y
0
, f’(x
0
) thay vào (*). Rút gọn ta có kết quả
Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(x
A
;y
A
)
 Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k:
y – y

Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
 Bước 2: Lập và giải hệ pt:
( )
'( )
f x kx m
f x k
= +


=

⇒ k = ? thay vào (**). Ta có kết quả
Bài tập về PTTT của đồ thị (C ):
Bài 1: Cho hàm số y = x
2
– 2x + 3 có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0
a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B
b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A,B vuông góc nhau.
Bài 2: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
– m – 1, có đồ thị (C).
a) Tìm các điểm cố định của (Cm).
b) Lập pttt tại các điểm cố định đó.
Bài 3: Cho hàm số y = -x
4
+ 2mx
2

2
2 2
1
x x
x
+ +
+
đi qua B(1;0)
Bài 8) Cho hàm số y = x
3
– 3x. Lập các Pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số
Bài 9) Cho hàm số y = 2x
3
– 3x
2
+ 5. Lập Pttt kẻ từ A(
19
12
;4)
Bài 10) Cho hàm số y = 2x
3
+ 3x
2
– 12x – 1. Tìm M ∈ đồ thị (C) của hàm số đã cho sao
cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O.
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP
Bài 1) Cho hàm số
x
mx)m(x
y

)1x(2
3x4x2
2
−
−−
2. Định m để ptrình : 2x
2
– 4x – 3 + 2m|x - 1| = 0 có 2 nghiêm phân biệt.
11
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
Bài 5 :Cho hàm số
1
3
+
+
=
x
x
y
gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên
c) Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
MN ;xác định m để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất
d) Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ
được hai tiếp tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ
e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa
chúng bé nhất
f) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J

-6x
2
-5x+m=0.
c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M.
d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx.
e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
f) Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng.§1. NGUYÊN HÀM:
Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ
( )
a,b a 0∈ & ≠¡
:
dx x C
= +
∫
1
ln
dx
ax b C
ax b a
= + +
+
∫
( )
1
1
1
,

1
sin cosaxdx ax C
a
= − +
∫
2
2
,
cos
dx
tgx C x k
x
π
π
= + ≠ +
∫
1
cos sinaxdx ax C
a
= +
∫
2
cot ,
sin
dx
gx C x k
x
π
= − + ≠
∫

Ghi nhớ:
− Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các
nguyên hàm của những hàm số thành phần.
− Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích
(thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
− Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng
hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm.
Áp Dụng: Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng cách biến đổi và sử dụng bảng
nguyên hàm cơ bản
1.
4
x dx
∫
2.
(3 1)x dx−
∫
3.
2
(3 6 1)x x dx+ −
∫
4.
4 2
( 5)x x dx− −
∫
5.
2
3
2
(3 1)x dx
x

11.
2
(2 )
os
x
x
e
e dx
c x
−
+
∫
12.
2 5x dx+
∫
13.
3 8x
e dx
−
∫
14.
1
1 5
dx
x−
∫
15.
2
7
x

cos2xcos3xdx
∫
24.
7
sin .cosx xdx
∫
25.
tan5xdx
∫
26.
2
tan xdx
∫
27.
1
( 1)
dx
x x +
∫
28.
2
1
4
dx
x −
∫
29.
2
1
5 4

13
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:
1.
7
(2 )x x dx−
∫
(đặt t= 2-x) 2.
3 4x xdx−
∫
(đặt
4 3t x= −
) 3.
2
1 1
sin dx
x x
∫
(đặt
1
t
x
=
)
4.
2
ln x
dx
x

) 8.
3 2
2x x dx+
∫
(đặt t=1+x
2
) 9.
sin(ln )x
dx
x
∫

(đặt t=lnx)
Bài 3. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:
i)
(3 1)sinx xdx+
∫
2i)
(2 3)cosx xdx+
∫
3i)
(3 5 )cos
2
x
x dx−
∫
4i)
2
(1 )sinx xdx−
∫

( 4 1)
x
x x e dx− +
∫
10i)
(2 1)
x
x e dx
−
+
∫
11i)
sin
x
e xdx
∫
12i)
3
ln x
dx
x
∫
13i)
ln(1 )x x dx−
∫
14i)
2
lnx xdx
∫
15i)

biết rằng
0
4
G
π
 
=
 ÷
 
.
Bài 5: Cho hàm số
( )
4 4
2 3cos cos cos
cos sin
x x x
f x
x x
+ +
=
−
.
Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
f x
biết rằng
( )

( )
8 2 4sin cos cos cosf x x x x x=
.
a. Giải phương trình
( ) ( )
0f x f x
′′
+ =
.
b. Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
f x
biết rằng đồ thị của hàm số
( )
F x
đi
qua điểm
0
8
;M
π
 
−
 ÷
 
.
Bài 8: Biết rằng hàm số

2y
′
.
b. Tìm nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
2007
x
f x x e
= +
.
Bài 10: Cho hàm số
( )
sin
x
f x e x=
. Chứng minh rằng hàm số
( ) ( )
f x f x
′ ′′
−
là nguyên hàm của
hàm số
( )
2 f x
.
14
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
Bài 11: Tìm nguyên hàm
( )

= = −
∫
2). Bài tập :
 Ghi nhớ:
− Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân
thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.
− Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng
bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.
− Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét
dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những
đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng
định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
4
0
2cos cosx xdx
π
∫
b.
4
cos sinx x dx
π
π
+
∫
c.
21
1
2 3

1lnF x x
= +
.
a. Chứng minh rằng
( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
. b. Áp dụng câu a. tính
1
2
0
1
xdx
x
+
∫
.
Bài 3: Cho hàm số
( )
2
2ln lnf x x x x x
= −
. a. Tính
( )
f x
′
. b. Áp dụng câu a. tính
2

∫
3
2
1
1
dx
x
. 2.
∫
+
2
1
2
3
2
dx
x
x
3.
∫
−
−
π
π
dxxx ).cos3sin2(
4.
∫
2
4
2

cos3 .cos5x xdx
π
−
∫
9.
∫
π
0
2
.sin dxx
.
15
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
10.
4
6
cot xdx
π
π
∫
11.
3
2
0
tan xdx
π
∫
12.
2

6 5
x
dx
x x
−
+
− +
∫
16.
2
1
3 1
1
x
dx
x
−
+
∫
17.
2
2
0
2 5 1
3
x x
dx
x
+ −
−

3
x
dx
π
π
−
∫
§3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
1). Công thức tổng quát :
( ) ( ) ( )
.
b
a
f x x dx f t dt
β
α
ϕ ϕ
′
= 
 
∫ ∫
Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu tích phân có
dạng tích của
( )
f x
ϕ
 
 
(hàm số theo biến là
( )

nằm trong
n
.
b). TH2:
( )
cos .sinf x xdx
β
α
∫
.
→ Đặt
cost x=

→ hoặc
cost p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
cos
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
cosp x q+
nằm trong
n
.
c). TH3:
( )

α
∫
tan .
cos
f x dx
x
.
→ Đặt
= tant x

→ hoặc
= +tant p x q

( )
,p q∈¡

→ hoặc
= +tan
n
t p x q
nếu như biểu thức
ptgx q+
nằm trong dấu
n
.
e). TH5:
( )
2
1
β

a.
( )
6
3
0
2 1
cos
sin
xdx
x
π
+
∫
b.
2
3
6 1cos sinx xdx
π
π
+
∫
c.
( )
1
3 2ln
e
dx
x x
+
∫

x
π
∫
c.
( )
2
2
6
3 1cot sin
dx
gx x
π
π
+
∫
d.
4
2 1
1
x
dx
e x
+
∫
Bài 3: Tính các tích phân sau đây:
a.
3
3
0
cos

xdx
x x
π
+
∫
Bài 4: Tính các tích phân sau đây:
a.
3
3
4
0
sin
cos
xdx
x
π
∫
b.
3
2 3
0
1x x dx
+
∫
c.
6
0
2
2 1
sin

x
∫
+
3
3
2
9
1
(HD: x=3tant) 3
dxx
∫
−
−
−
2
1
1
2
1

(HD: x=sint)
4.
dxx
∫
−
4
1
2
16
( HD: x=4sint) 5.

a
(HD: x=asint) 8.
0
sin 4
1 sin
x
dx
x
π
+
∫
(
x t
π
= −
)
Bài 6: Tính các tích phân sau đây: ( Tổng hợp)
1.
∫
−
1
0
2009
)1( dxxx
(t=1-x) 2.
∫
+
1
0
32 dxxx


( 1 3sin )t x= +
6.
dx
x
x
e
∫
+
1
ln1
(t=lnx) 7.
dx
x
x
e
∫
+
1
ln32
( 2 3ln )t x= +
8.
dxx
x
x
e
∫
+
1
ln

∫
−
2
1
1
dx
e
e
x
x
.
( 1)
x
t e= −
17
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyờn ụn thi i hc Cao ng nm 2014 Ti liu lu hnh ni b!
12.
ln8
ln3
1
x
e dx+


( 1)
x
t e= +
` 13.
dx

=

(1)
2). Cỏc bc thc hin:
Bc 1:
( ) ( ) ( )
ẹaởt
( ) ( ) (nguyeõn haứm)
u u x du u x dx ẹaùohaứm
dv v x dx v v x

= =




= =

Bc 2: Th vo cụng thc (1).
Bc 3: Tớnh
( )
b
a
uv
v suy ngh tỡm cỏch tớnh tip
b
a
vdu




=

Ghi nh :
Trong trng hp ny nu t ngc li thỡ khi th vo cụng thc ta c
b
a
vdu

phc tp hn
b
a
udv

ban u.
b). Dng 2:
( ) ( )
.
b
a
p x q x dx

Trong ú
( )
p x
l hm s a thc, cũn
( )
q x
l hm logarit.
Trong trng hp ny ta t:

2 cosx x xdx
π
+
∫
c.
4
2
0
cosx xdx
π
∫
d.
4
2
0
cos
xdx
x
π
∫
e.
( )
1
2
2
0
1
x
x e dx
+

2
1
3 1 lnx xdx+
∫
b.
( )
1
0
1lnx x dx
+
∫
c.
2
1
ln
e
xdx
∫
d.
( )
1
2
0
1lnx x dx
+
∫
Bài 3. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:
1.
xdxx sin)2(
2

x2
1
0
∫
6.
dxexx
2
1
0
2
)13(
∫
+−
7.
xdxe
x
cos
2
0
∫
π
8.
dxex
x2
0
sin
∫
π
9.
∫

)(ln
14.
∫
−
e
dxxx
1
)ln2(
15.
∫
+
2
0
2
cos
1
π
dx
x
x

16.
xdxe
x
2sin
2
sin
2
4
∫

4
0
.
§5. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN:
Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
2
2
6
1 cos
sin
x dx
x
π
π
−
∫
b.
( )
2
2
1
ln
x
x x e dx
x
+
∫
c.

e.
2
0
1
sin cos
cos
x xdx
x
π
+
∫
f.
1
2
0
1 1
2
x
xdx
x e
 
−
 ÷
+
 
∫
g.
0
2
2 2

b
a
S f x g x dx
= −
∫
(2)
b). Các bước thực hiện:
• Bước1: Nếu hai đường
,x a x b= =
đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải
phương trình
( ) ( )
f x g x=
(PTHĐGĐ của
( )
1
C
và
( )
2
C
để tìm.
19
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
• Bước 2: Áp dụng công thức (2).
• Bước 3: Rút gọn biểu thức
( ) ( )
f x g x−
, sau đó xét dấu của hiệu này.

tích bằng công thức (2).
• Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất cả các
hình nhỏ.
3). Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh
trục Ox:

( ) ( )
: ; ; ;C y f x Ox x a x b
= = =
(trong đó hai đường thẳng
;x a x b= =
có thể thiếu một hoặc cả hai).
a). Công thức:
( )
2
b
a
V f x dx
π
=  
 
∫
(3)
b). Các bước thực hiện:
• Bước 1: Nếu hai đường
,x a x b= =
đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải
phương trình
( )
0f x

π
= = = − =
6.
2 1
, 0, 0, 1
x
y e y x x
+
= = = =
7.
2
2
, 0, 0, 2
x
y xe y x x
+
= = = =
8.
2
1
ln , 0, ,y x y x x e
e
= = = =
9.
2 3
sin cos , 0, 0,
2
y x x y x x
π
= = = =

7. (C):
3 2
3 6 2y x x x= + − +
và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1; 8.
sin , cos , 0,y x y x x x
π
= = = =
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
2
6 5
2 1
:
x x
C y
x
− +
=
−
và trục Ox.
Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( ) ( )
2
3:C y x x= −
và trục Ox.
Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
4 2
:C y x x
= −

( )
3 2
3 4:C y x x x
= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến
d
của
( )
C
tại
gốc tọa độ O. Từ đó tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
và
d
.
Bài 7: Cho parabol
( )
2
6 5:P y x x
= − +
.
a. Viết phương trình các tiếp tuyến của
( )
P
tại các giao điểm của
( )
P
với trục Ox.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

P
, trục Ox và tiếp tuyến nói ở
câu a.
Bài 11: Cho đường cong
( )
2 1
1
:
x
C y
x
+
=
+
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
; ;C Ox Oy
. Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.
Bài 12: Cho đường cong
( )
4 2
:C y x x= −
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
và trục
Ox. Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.
Bài 13. Tính thể tich của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D được tạo bởi các đường sau khi quay
xung quanh trục Ox.
1.

π
= + = = = 21
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề 3 :
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
A. HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:
I. Qui tắc cộng – qui tắc nhân: (Phép đếm)
 Qui tắc cộng: Nếu có m
1
cách thực hiện công việc H
1
, m
2
cách thực hiện công việc H
2
, …,
m
n
cách thực hiện công việc H
n
(cách thực hiện H
i
không trùng với bất kỳ cách thực hiện công
việc H
j
nào, với i
≠

việc H
j
nào, với i
≠
j; i, j = 1, 2, …, n) thì có m
1
.m
2
…m
n
cách thực hiện Tất cả các công việc
H
1
, H
2,
…, H
n
.
II. Hoán vị: Cho tập A có n phần tử (n
≥
1). Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập A
được gọi là một hoán vị của n phần tử của A.
Số các hoán vị của n phần tử là: P
n
= n!
 n! = 1.2…(n – 1).n
 Qui ước: 0! = 1
III. Chỉnh hợp: Cho tập A có n phần tử. Mỗi bộ gồm k (1
≤
k

(không chú ý đến tính thứ tự) của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (với
k = 0 ta qui ước bộ rỗng không có phần tử nào).
Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:
k
k
n
n
A
n
C
k n k k
= =
−
!
!( )! !

k n k
n n
C C
−
=

o n
n n
C C 1= =

1 n 1
n n
C C n
−

+
=
1
(số hạng thứ k + 1)

0 1
2
k n n
n n n n
C C C C
+ + + + + =
 Các nhị thức thường dùng:
22
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!

0 1
(1 )
n k k n n
n n n n
x C C x C x C x
+ = + + + + +
.

0 1
(1 ) ( 1) ( 1)
n k k k n n n
n n n n
x C C x C x C x
− = − + + − + + −

hành gồm một bí thư, một phó bí thư và ba uỷ viên? (mỗi đoàn viên chỉ đảm nhiệm nhiều
nhất một chức vụ).
 Muốn chọn một Ban chấp hành ta phải thực hiện tất cả ba công việc: CV1–chọn một
bí thư, CV2–chọn một phó bí thư, CV3–chọn ba uỷ viên.
CV1: Chọn một đoàn viên trong 25 đoàn viên làm bí thư
→
có 25 cách thực hiện công
việc 1.
CV2: Chọn một đoàn viên trong 24 đoàn viên còn lại làm phó bí thư
→
có 24 cách
thực hiện công việc 2.
CV3: Chọn ba đoàn viên (không kể thứ tự) trong 23 đoàn viên còn lại làm ba uỷ viên
→
mỗi tổ hợp chập 3 của 23 phần tử là một cách chọn.
Do phải thực hiện tất cả các công việc CV1, CV2, CV3 nên ta dùng qui tắc nhân tìm đáp
số.(Có thể dùng chỉnh hợp để tìm số cách chọn bí thư và phó bí thư)
 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bảy chữ số trong
đó chữ số 2 có mặt ba lần, các chữ số khác có mặt nhiều nhất một lần?
 Có ba viên bi màu đỏ giống nhau và năm viên bi màu xanh có bán kính khác nhau.
người ta muốn xếp ba viên bi đỏ và bốn trong các viên bi xanh vào một hàng có bảy ô (mỗi ô
xếp một viên). Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
23
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
 Sau khi cho học sinh phân tích và giải bài toán  đến đáp số là
3 4
7 5
C A
, nêu thêm bài toán 

− − +
III. Các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có chứa
k
n
A
và
k
n
C
:
 Hướng dẫn kỹ cách đặt điều kiện:
+ Đối với
k
n
A
điều kiện là:
k,n
1 k n
∈


≤ ≤

¥
+ Đối với
k
n
C
điều kiện là:
k,n

sau đó khai
thác giả thiết tìm k, n
→
kết quả.
 Tính tổng, chứng minh…:
 Qua các bài toán cần tập cho học sinh phát hiện ra các qui luật chung của các số hạng, kết
hợp với các kiến thức khác như đạo hàm, tích phân …tìm ra chương trình giải.
 Ví dụ: Tính tổng:
2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
2 1 2 1 2 1
S C C C C
2 3 n 1
+
− − −
= + + + +
+
(n nguyên dương)
 Hướng dẫn học sinh tìm ra qui luật với số hạng tổng quát là:
k 1 k 1
k
n
2 1
C
k 1 k 1
+ +
 
−
 ÷

b) Gồm năm chữ số khác nhau.
c) Gồm năm chữ số khác nhau và là số lẻ.
d) Gồm năm chữ số khác nhau và là số chẵn.
e) Gồm năm chữ số khác nhau bắt đầu bằng chữ số 2.
f) Gồm năm chữ số khác nhau và không bắt đầu bởi 23.
g) Gồm năm chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 1 và chữ số 3.
h) Gồm tám chữ số khác nhau trong đó chữ số 1 có mặt ba lần các chữ số khác có mặt đúng
một lần.
i) Tính tổng tất cả các số tự nhiên ở câu b).
2) Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có 8 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Giáo viên muốn
chon bốn học sinh để trực lớp. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chon nhóm trực, biết rằng:
a) Số nam nữ trong nhóm là tuỳ ý.
b) Trong nhóm phải có hai nam và hai nữ.
c) Trong nhóm phải có ít nhất một nữ.
3) Cho đa giác lồi 12 cạnh. Hỏi:
a) Đa giác có bao nhiêu bao nhiêu đường chéo?
b) Có bao nhiêu véctơ khác véctơ–không được tạo thành từ các đỉnh của đa giác?
c) Có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các đỉnh của đa giác?
d) Biết rằng ba đường chéo cùng không đi qua một đỉnh thì không đồng qui. Hãy tính số
giao điểm (không phải là đỉnh) của các đường chéo của đa giác.
4) Có năm tem thư khác nhau và sáu bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra ba
tem thư, ba bì thư và dán ba tem thư ấy lên ba bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán một tem thư.
Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện?
5) Một tổ gồm mười học sinh trong đó có hai học sinh A và B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp
tổ học sinh thành một hàng ngang để tập thể dục, biết rằng A và B phải đứng kề nhau?
6) Có năm quyển sách toán khác nhau, bốn quyển sách lý khác nhau và hai quyển sách hoá
khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các quyển sách đó lên kệ sách sao cho các quyển sách
cùng môn được xếp kề nhau?
7) Giải các phương trình sau:
a) P

C
−
=
−
8) Giải các bất phương trình:
a)
3 4
3 1 1
14 .
x
x x
P C A
−
− +
<
b)
3 2
4 5( 1)
x x
A C x
− ≤ −
c)
4 3 2
1 1 2
5
0
4
x x x
C C A
− − −

y y y
x x x
C C C
+ −
+
=
10) Cho khai triển nhị thức:

1
1
1 1 1 1
0 1 1
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
n n n
n n
x x x x
x x x x
n n
n n n n
C C C C
−
−
− − − −
− − − −
−
            
+ = + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷ ÷  ÷  ÷