1
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
HỘI ĐỒNG RA ĐỀ THI MÔN HỌC, HỌC PHẦN
Độc lập - Tự do – Hạnh phúc NGÂN HÀNG ĐỀ THI
Môn: ĐẠI SỐ
Ban hành kèm theo Quyết định số: ………/QĐ-TTĐT1của Giám
đốc Học viện Công nghệ Bưu chính viễn thông ký ngày /04/2006
DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC TỪ XA NGÀNH VIỄN THÔNG, CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
THỜI GIAN : 120 phút
MỖI ĐỀ 4 CÂU
( một câu loại 1, một câu loại 2, một câu loại 3 và một câu loại 4)
A. LOẠI CÂU HỎI 1 ĐIỂM
Câu 1:
D
C
B
A
,
,
,
C
B
A
,
,
,
là tập con của
E
. Chứng minh rằng:
Nếu
B
A
C
A
B
A
C
A
,
thì
B
C
.
v
;
3
(3, 1,3)
v
.
Câu 6: Tính định thức
1 3 9
1 5 25
1 7 49
D
.
Câu 7: Tính định thức
8 6 7
5 8 5
6 5 4
D
.
Câu 8
: Cho
. Tính
t
AB
.
2
Câu 9: Tính tích ma trận
2 5 6 3 1 4 2
1 2 5 0 2 1 5
1 3 2 4 6 3 1
.
Câu 10: Cho ma trận
1 3 4
5 3 3
2 1 4
A
3 2
:g
có công thức xác định ảnh
( , ) ( 2 , , 3 4 )
f x y x y x x y
,
( , , ) ( 2 5 ,3 4 )
g x y z x y z x y
.
Viết ma trận của
g f
trong cơ sở chính tắc.
Câu 13: Tìm hạng của ma trận:
8 4 6 2
3 1 4 2
6 2 8 3
A
.
Câu 14: Tìm hạng của ma trận:
5 2 3 1
B. LOẠI CÂU HỎI 2 ĐIỂM
Câu 1: Rút gọn công thức sau của đại số Boole:
' ' ' '
A x y z y z y z x x z x z y
.
Câu 2
: Rút gọn công thức sau của đại số Boole:
2
(2,4,7)
v
,
3
(5,6, )
v m
.
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của
m
để
(7, 2, )
u m
biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính
của:
1
(2,3,5)
v
,
2
(3,7,8)
v
,
3
(1, 6,1)
1 2
E
thành tổ hợp tuyến tính của:
1 1
0 1
A
,
1 1
1 0
B
và
1 1
0 0
C
và
1 1
0 0
C
.
Câu 8: Biểu diễn véc tơ
(3,6, 6,0)
u
thành tổ hợp tuyến tính của 3 véc tơ sau:
1
(3,2, 4,1)
v
,
2
(1,5,0,3)
v
,
3
(4,3, 2,5)
v
.
Câu 9: Chứng tỏ rằng hệ véc tơ
(
u
trong cơ sở này.
Câu 11
: Chứng tỏ rằng hai hệ véc tơ:
)1,7,3(;)3,3,2(;)1,2,1(
321
vvv
)6,1,1(,)1,2,5(,)4,1,3(
321
uuu
là hai cơ sở của không gian
3
. Tìm ma trận chuyển từ cơ sở thứ nhất sang cơ sở thứ hai.
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 3 2 4 3
7 3 7 17
4 2 3 7 1
8 6 5 9
x x x x
x x x x m
x x x x
x x x x
4
Câu 14: Cho hai ma trận
2 3
1 3
2 3
1 4
B
. Tìm ma trận
X
thỏa mãn
XA B
C. LOẠI CÂU HỎI 3 ĐIỂM
Câu 1: Đặt
4
1
( , , , ) 0; 2
V x y z t x y z t
,
4
2
( , , , ) 0
gồm các véc tơ
),,,(
4321
xxxxv
thoả mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II):
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
4 5 2 3 0
( ) 3 5 6 4 0
2 4 3 0
x x x x
I x x x x
x x x x
,
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 3 2 0
( ) 4 7 5 6 0
2 2 0
.
Câu 3: Trong không gian
4
xét các véc tơ:
)3,1,4,2(
1
v
;
)2,1,2,1(
2
v
;
)3,2,2,1(
3
v
;
)7,3,8,2(
1
u
;
)1,1,0,1(
,, uuu
. Hãy tìm số chiều của các không gian con
1
V
,
2
V
,
1
V
+
2
V
,
1
V
2
V
.
Câu 4: Trong không gian
4
xét các véc tơ:
1
(2,1,2,1)
v
;
)3,2,4,3(
2
V
là hai không gian véc tơ con của
4
lần lượt sinh bởi hệ véc tơ
321
,, vvv
và
321
,, uuu
. Hãy tìm số chiều của các không gian con
1
V
,
2
V
,
1
V
+
2
V
,
1
V
f x y z x y z x y x y z
.
a) Chứng minh rằng định thức ma trận chính tắc của
f
khác không.
b) Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược
),,(
1
zyxf
.
Câu 7: Tự đồng cấu tuyến tính
f
có ma trận ứng với cơ sở
4321
,,, eeee
là
4 4
:f
xác định bởi:
( , , , ) (2 3 5 8 ,3 2 , , 4 5 9 )
f x y z t x y z t x y z t x y t x y z t
a) Viết ma trận của
f
trong cơ sở chính tắc của
4
.
b) Tìm một cơ sở của
Ker
f
và
Im
f
.
Câu 9: Cho ánh xạ tuyến tính
33
: f
có ma trận trong cơ sở chính tắc là
2 1 1
2 6 5
6 4 7
A
)10,0,1(
3
v
là một cơ sở của
3
.
b) Cho ánh xạ tuyến tính
23
: f
xác định bởi
)0,1()(
1
vf
,
)0,1()(
2
vf
,
)1,0()(
3
vf
. Tìm công thức xác định ảnh
),,( zyxf
.
Câu 11: Cho
là ánh xạ từ không gian véc tơ các ma trận vuông cấp 2 vào chính nó xác
định bởi công thức:
( )
f A MA
, trong đó
1 1
2 2
M
.
a) Chứng minh
f
là một ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm một cơ sở của
Ker
f
.
c) Tìm một cơ sở của
Im( )
f
.
Câu 13: Trong không gian
3
, (iii)
3
V W
.
Trường hợp nào ở trên là tổng trực tiếp.
Câu 14: Cho hai véc tơ
1
(1, 3,2)
u
và
2
(2, 1,1)
u
của không gian véc tơ
3
.
a) Biểu diễn véc tơ
(1,7, 4)
v
thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ
1
u
,
2
u
.
thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ
1
u
,
2
u
.
b) Tìm điều kiện
, ,
x y z
để
( , , )
x y z
viết được thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ
1
u
,
2
u
.
D. LOẠI CÂU HỎI 4 ĐIỂM
Câu 1
: Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:f
xác định bởi:
A
của ánh xạ
f
trong cơ sở chính tắc.
b) Tính
det( )
A
.
c) Tìm ma trận
P
sao cho
1
P AP
có dạng chéo.
Câu 3
: Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:f
xác định bởi:
7( , , ) ( 3 , 3 5 , 3 3 )
f x y z x y z x y z x y z
a) Viết ma trận
A
f
là một đẳng cấu;
b)
1
dimKer
f
.
Câu 5: Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:f
xác định bởi:
( , , ) (3 2 4 , 2 2 , 4 2 3 )
f x y z x y z x z x y z
a) Viết ma trận của
f
trong cơ sở chính tắc.
b) Tìm một cơ sở của
3
để ma trận của
f
trong cơ sở này có dạng chéo. Viết ma
trận của
f
trong cơ sở này.
1
A
.
b) Cho
1
m
tìm
1
A
.
Câu 7: Cho ma trận
41
14
23
m
m
m
( , );( , ) 3
x y x y x x x y y y
a) Viết ma trận
A
của
trong cơ sở
1 2
(1,0), (1,1)
u u
.
b) Viết ma trận
B
của
trong cơ sở
1 2
(2,1), (1, 1)
v v
.
8
Q
trong cơ sở chính tắc.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số
để
Q
là dạng toàn phương xác định dương.
Câu 10
: Cho dạng toàn phương
3
:Q
xác định bởi:
2 2 2
( , , ) 14 17 14 4 8 4
Q x y z x y z xy xz yz
.
a) Viết ma trận của
Q
trong cơ sở chính tắc.
b) Tìm một cơ sở trực chuẩn của
3
để biểu thức toạ độ của
Q
trong cơ sở này có
dạng chính tắc.
.
Câu 12
: Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:f
xác định bởi:
( , , ) (2 , 4 ,3 )
f x y z y z x y x
a) Hãy viết ma trận
A
của ánh xạ
f
trong cơ sở chính tắc.
b) Hãy viết ma trận
'
A
của ánh xạ
f
trong cơ sở
1 2 3
' ' , ' , '
e e e
B
,
uuu
.
b) Trong không gian véc tơ
4
xét tích vô hướng thông thường. Tìm một cơ sở của không
gian
W
gồm các véc tơ trực giao với hai véc tơ
1 2
1, 2,3, 4 , 3, 5,7,8
v v
.
Câu 14
: Cho ma trận
11 2 8
2 2 10
8 10 5
A
chéo.
Copyright: Tài liệu đại học ©