1
x
Chương 13: DẦM CHỊU UỐN NGANG
PH
ẲNG
Một dầm chịu uốn ngang phẳng là một dầm chịu lực sao cho
trên mọi mặt cắt ngang của nó có hai thành phần nội lực là lực
cắt và mô men uốn. Các thành phần nội
lực này nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm.
Ví d
ụ : Dầm có mặt cắt ngang là hình chữ nhật chịu lực như trên
hình v
ẽ (hình 5.16). Xét một mặt cắt 1-1 nào đó của dầm, thì
trên m
ặt cắt đó có hai thành phần nội lực
là l
ực cắt Q
y
và mô men uốn M
x
. Hai thành phần nội lực này đều
nằm trong mặt phẳng
đối xứ
ng của dầm là Oyz (hình 5.17).
5.6. ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT NGANG CỦA DẦM CHỊU
U
ỐN NGANG PHẲNG .
b
d
z
1 2

ị
u uốn ngang
ph
ẳ
ng
Công thức tính ứng suất pháp 
z
(5-2)
được suy ra cho
tr
ường hợp M
x
= const.
N
ếu mô men uốn M
x
là m
ột hàm số theo z thì trên mặt cắt
ngang sẽ có lực cắt:
Q
y


dM
x
2
dz
3
Trong trường hợp này, trên mặt cắt ngang, ngoài ứng suất
pháp do mô men uốn M

ữ nhật.
Nói chung, ứng suất tiếp 
z
ở một điểm bất kì trên mặt cắt
ngang có thể không cùng phương với lực cắt Q
y
.
Phân tích
ứng suất tiếp 
z
ra thành hai thành ph
ần 
zy
và

zx
(hình 5.18):

z
=
2 2

zy


zx
Trong đó:
zy
là thành ph
ần ứng suất tiếp

zy
.
Để lập công thức tính thành phần ứng suất
tiếp song song
v
ới lực cắt, ta thừa nhận giả
thuyết sau:
Thành
ph
ần ứng suất
ti
ếp song song
và cùng chi
ều
v
ới lực cắt ở
một điểm bất
kì K trên m
ặt
c
ắt ngang là
phân t
ố đều
theo
đoạn
th
ẳng đi qua
điểm K và
vuông góc v
ới

ặt cắt 1-1 và 2-2 (xem hình 5.19 và hình 5.20).
Sau
đó, cắt đoạn dầm dz bởi mặt cắt thứ ba đi qua điểm đang
xét K và vuông góc với lực cắt Q
y
. Mặt cắt này cắt đoạn dầm làm
hai ph
ần, ta xét sự cân bằng của phần dưới ABCDEFGH (hình
5.20).
Vi
ết điều kiện cân bằng của phân tố này dưới dạng phương
trình hình chiếu của các lực lên phương của trục dầm (trục O
z
).
- Trên m
ặt ABCD: Kí hiệu ứng suất pháp trên mặt này là

z(1)
(hình 5.20), ta có:
5

=
y
z(1)

S
x
z
M
M

(
2)
x
Hình 5.19:
Phân
1)
D C
tố VCB
y
Hình 5.20: Xác
đị
nh
ứ
ng
su
ất ti
ế
p
Vậy hình chiếu của lực tác dụng lên mặt ABCD lên phương
Oz bằng:
N
1
=


dF 
M
x

ydF

z(2)
=
x
x
y
J
x
Vậy hình chiếu của lực tác dụng lên mặt AFGH lên phương
O
Z
bằng:
M 
dM
M dM
N
2
=



dF

x
x
ydF 
x
x
S
c
(b)

phân b
ố đều trên
đoạn AB (hình 5.20)
nên thành ph
ần ứng suất tiếp 
yz
c
ũng phân bố trên toàn mặt
ABEF. Do đó, hình chiếu của nội lực tác dụng lên mặt ABEF lên
p
hương O
Z
bằng:
T = 
yz

diện tích (ABEF) = 
zy
b
c
dz
Trong
đó b
c
là bề rộng của mặt cắt (tức chiều dài đoạn AB)
đi qua điểm đang xét
K và vuông góc v
ới lực cắt Q
y
.

c
dz  0
x x
zy
x
x
x
x
h
y
x
y
x
dM
S
c
x x
rút ra: 
zy
=
Vì
dM
x
dz
dz

Q
y
J b
c

b
Q
y

m
ax
O
K
x
trước hết ta tính thành phần
ứ
ng suất
tiếp 
zy
ở điểm K
(hình 5.21).
B
ề rộng mặt cắt đi qua điểm
K bằng :
b
c
=
b.
Mô men t
ĩnh của phần điện
tích bị cắt (phần dưới) đối với
trục trung hòa Ox bằng:
c

h

  
 

y
Hình 5.2: Xác
đị
nh
ứ
ng
su
ất ti
ế
p
14) ta được:
Mô men quán tính của mặt cắt
đối với
bh
3
trục trung hòa Ox: J
x
=
12
Khi thay các giá trị trên vào
x
h
y
x
(5-

zy

l
ớn nhất (y=0):
3
Q
y

max
=
2
bh
(5-15)
b) Mặt cắt ngang hình chữ I (hình 5.22).
Ở đây, ta chỉ xét sự phân bố của ứng suất tiếp

zy
trong lòng ch
ữ I Tính ứng suất tiếp 
zy
ở
điểm
K nằm trong lòng chữ I.
Bề rộng của mặt cắt đi qua điểm K bằng: b
b
c
= d ;
2
S
c

S

R


Q

S
 d
y

y

x
2



zy
=
  

J
x
d
V
ậy, luật phân bố của 
zy
d
ọc theo chiều cao của mặt cắt
ngang chữ I là một
đường Parabol bậc hai.

c
=
2
R
2

y
2
; J
x
=
4
3
R
S
c



b



  d





2 R




3


1



F
R
2
 

Công thức này chứng tỏ

zy
bi
ến thiên dọc theo
đường kính của
mặt cắt ngang hình tròn là
đường cong bậc hai.
Ứng
suất tiếp 
zy
đạt
tới giá trị lớn nhất ở những
điểm nằm trên đường trung
hòa (y=0):

ất ti
ế
p
5.8. ĐIỀU KIỆN BỀN CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG
Như trên đã nói, trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang
ph
ẳng ngoài ứng
su
ất
pháp 
z
do mô men u
ốn M
x
gây ra, còn có ứng suất tiếp 
zy
do l
ực
c
ắt Q
y
gây ra.
Trên hình 5.24 bi
ểu diễn biểu đồ ứng suất pháp 
z
và
ứng
su
ất tiếp 
zy

điểm
Avà D trên hình 5.24). Điều kiện bền của các phân tố :
-
Đối với dầm bằng vật liệu dẻo: max||  || (5-
18)
-
Đối với dầm bằng vật liệu giòn: 
max
[]
k
; 
min

[
]
n
(5-
19)
b) Trạng thái trượt thuần túy:Vì ứng suất pháp ở những
điểm trên trục trung hòa
b
ằng không, nên trạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm
này là trạng thái trượt thuần túy, ví dụ ở điểm O trên hình 5.24.
Ứng suất chính của phân tố có trị số:

1
= -

3
=

(5-21)
N
ếu dầm bằng vật liệu giòn, ta có thể dùng thuyết bền Mohr
để kiểm
tra.
c) Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt :
Vì ứng suất pháp và ứng suất tiếp nằm trong khoảng giữa trục
trung hòa và mép trên cùng hay mép d
ưới cùng đều khác không,
nên tr
ạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm này là trạng
thái ứng suất phẳng đặc biệt. Ví dụ ở điểm B, C trên hình 5.24.
Ứng suất chính của phân tố này là (xem chương 3: Trạng thái
ứ
ng suất):
2



1
 
2




 

99
2

 

Nếu dầm bằng vật liệu dẻo, điều kiện bền của phân tố trên là :
- Theo thuy
ết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

2
 4
2
 []
- Theo thuy
ết bền thế năng biến đổi hình dạng:

2
 3
2
 []
-
Đối với dầm bằng vật liệu giòn, có thể dùng thuyết bền
Mohr để
kiểm tra bền.
* Chú ý: Không phải kiểm tra bền cho cả ba loại phân tố ở
trên cùng một mặt cắt ngang. Đối với phân tố ở trạng thái ứng suất
đơn, ta phải chọn
mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất. Đối với
phân tố ở trạng thái trượt thuần túy, phải chọn mặt cắt ngang có lực
c
ắt lớn nhất. Đối với phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt,
ph
ải chọn mặt cắt có mô men uốn và lực cắt cùng lớn (thường chỉ

l
x
20,8
.1
b
0
4
N
)
c
)
4,18.10
4
4,5.1
0
4
21.
10
4
N
21.
10
4
N
b
d
4
b
Hình 5.25: Ki
ể

=
20,8.10
4
N; M
x
= 4,2.10
4
Nm
S
ố liệu và kích thước của mặt cắt ngang chữ I số 36 (cho
theo b
ảng) như sau: J
x
= 13380cm
4
; W
x
= 743cm
3
;
S
x
= 423cm
3
, d = 0,75cm; h = 36cm
a) Kiểm tra bền đối với phân tố ở trạng thái ứng suất đơn:
Phân tố này được chọn ở trên mặt cắt ngang có mô men uốn
lớn nhất và ở biên trên hay biên dưới của mặt cắt ngang này. Ứng
suất pháp lớn nhất bằng:
4

Q .S
21.10
4
.423.10
6

max
=

max x



88,5
MN / m
2
J
x
d
13380.10
8
.0,75.10
2
Tr
ị số ứng suất tiếp cho phép có thể tính theo thuyết bền thế
năng
biến đổi hình
d
ạng : [] =
[

c) Kiểm tra bền đối với phân tố ở trạng thái ứng suất
phẳng đặc biệt:
Phân tố này được chọn ở điểm tiếp giáp giữa đế và lòng của
chữ I trên mặt cắt ngang có mômen uốn và lực cắt cùng lớn sát
mép trái C hay sát mép ph
ải D. Gọi K là điểm tiếp giữa lòng và đế
của chữ I.
 =
M
x
y
J
x
4,2.1
0
4


13380.1
0
8
(0,18
 0,0123)  52,6MN / m
2
c

k
=



423

16,77

0,75

16,77

317,5cm
3
2
Sử dụng thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất, ta
xác
đinh ứng suất tương đương là:

td
=

2

3
2


52,6
2
 3(65,8)
2
 125MN / m
2