SERMINA Semiconductor Photonics 11-05-2009
MÔ PHỎNG VÀ PHÂN GIẢI PHA PHỔ QUANG - PHẢN XẠ CỦA BÁN
DẪN InPVÀ CẤU TRÚC ĐA LỚP DỊ THỂ Al
x
Ga
1-x
As (n)/GaAs (p)
hương pháp Quang-phản xạ (Photoreflectance - PR) là một phương pháp thực
nghiệm mạnh trong việc nghiên cứu trạng thái bề mặt cũng như tại các mặt tiếp xúc
bán dẫn. Phương pháp này có những đặc tính nổi bật: độ phân giải cao, không tiếp xúc mẫu,
chỉ tương tác bức xạ lên mẫu.
P
Dùng phần mềm MATLAB để mô phỏng nhằm kiểm chứng cũng như xây dựng một
lý thuyết hoàn thiện hơn phù hợp với thực nghiệm, Từ đó, tính toán và phân tích các kết quả
thơ sơ thu được từ thực nghiêm.
NỘI DUNG TRÌNH BÀY
 Quang phản xạ (Photoreflectance PR)
 Hiệu ứng Franz-Keldysh
 Sai hỏng bề mặt – mức Tamm
 Phổ học biến điệu (Modulation Spectroscopy) và phương pháp quang phản xạ
 Mô phỏng và phân giải pha phổ quang phản xạ của InP
 Thành phần dao động Franz-Keldysh (FKO)
 Thành phần Eciton
 Phổ PR đa thành phần
 Phân giải pha từ phổ PR
 Phân giải phổ PR từ thực nghiệm
 Phổ PR của cấu trúc đa lớp dị thể
 So sánh với các kêt quả thực nghiệm
 Vấn đề tồn tại
1 Quang phản xạ (Photoreflectance PR)
1.1 Hiệu ứng Franz-Keldysh

e h
m m
= +
µ
( 1.1.0 )
qFz
: công của F thực hiện lên điện tích q trên đoạn đường z
i
E
: các mức năng lượng ứng với hàm sóng
( )
i
rψ
của hạt thứ i.
Phương trình ( 1.1 .0 ) không xét đến tương tác Coulomb giữa electron và lỗ trống
(hiệu ứng Eciton). Hàm sóng của electron dịch chuyển trong giếng thế là nghiệm của
phương trình ( 1.1 .0 ) :
( )
1
2
 
 
−ξ
 
 ÷
ψ =
 ÷
 
 ÷
µ Ω Ω

Hình 1 .1 là mô hình biểu diễn dạng của hàm sóng
( )
i
rψ
theo năng lượng
ξ
của
electron khi có điện trường.
Tại
0ξ ≥
⇔
2 2
2
+ ≥
µ
h
i
k
qFz E
, hàm sóng có dạng dao động.
Tại
0ξ <
⇔
2 2
2
+ <
µ
h
i
k

0
1 1
cos exp
3 2 3
1
exp sin
3 3
s s
Ai xs ds i xs ds
s s
Bi xs xs ds
∞ ∞
−∞
∞
   
= + = +
 ÷  ÷
π π
   
 
   
= − + −
 
 ÷  ÷
π
   
 
∫ ∫
∫
( 1.1.0 )

g
E
, và có tính đến thông số giãn nở năng lượng
Γ
. Ở đây,
/Γ ≈ τh
, với
τ
là thời gian sống của hạt (từ nguyên lý Heisenberg).
PHẠM THANH TÂM 21
−
 
 ÷
Ω
 
h
i
ξ
ψ
( )
ξ eV
SERMINA Semiconductor Photonics 11-05-2009
Người ta phân biệt dạng phổ biến điệu điện trường khi có liên quan đến cường độ điện
trường F
s
được Aspnes Error: Reference source not found đưa ra

như Bảng 1 -1.
Bảng 1-1 Dạng phổ PR liên quan đến cường độ điện trường
s

chuyển Stark (Stark
shifts)
Trong đó:
Ωh
(J): năng lượng quang điện ( 1.1 .0 ).
q: điện tích.
Từ Bảng 1 -1 ta có, trong giới hạn trường trung bình
Ω ≥ Γh
,
g
qFz E≤
, phổ PR có
dạng dao động FKO.
Hiệu ứng Franz-Keldysh được mô tả đơn giản như sau:
Dưới sư ảnh hưởng của điện trường
F
r
, vùng năng lượng bị nghiêng đi một đại lượng
qFz
(Hình 1 .2):
Hình 1.2 Sự nghiêng vùng năng lượng dưới tác động của điện trường F.
PHẠM THANH TÂM 21
c
E
v
E
ur
F
E
0

−=
2/3
3
4
exp xT
( 1.1.0 )
Trong đó:
Ω
−
=

EEg
x
( 1.1.0 )
Phương trình (1.2.4) thể hiện dạng của dao động FKO.
Khi
0, ( )> <
g
x E E
: T có dạng hàm exponential.
Khi
0, ( )< >
g
x E E
: T có dạng hàm dao động.
Từ phương trình ( 1.1 .0 ) ta có hàm sóng
( )
i
rψ
ứng với xác suất hấp thụ phôton

( )ξ eV
( )a
( )b
( )c
( )d
SERMINA Semiconductor Photonics 11-05-2009
Ta thấy tại các vị trí (a), (c) xác suất hấp thụ là cực tiểu và tại (b), (d) xác suất hấp thụ là
cực đại. Trong Hình 1 .4 trình bày mô hình dịch chuyển của electron lên các vùng năng
lượng gián đoạn trên vùng dẫn Các vị trí (a), (b), (c), (d) ứng với xác suất hấp thụ khác nhau
trong được trình bày trong Hình 1 .3 được biểu diễn trong Hình 1 .4.
Từ ( 1.1 .0 ) ta thấy, khi không có điện trường
F 0
=
, thì năng lượng cần cung cấp cho
electron để dịch chuyển từ vùng hóa trị lên vùng dẫn là
2 2
E k / 2≥ µh
và khi có điện trường
F 0
≠
là
2 2
E ( k / 2 ) qFz≥ µ −h
. Do đó, năng lượng cần cho electron hấp thụ để nhảy lên vùng
dẫn trong trường hợp có điện trường nhỏ hơn trong trường hợp không có điện trường. Do đó,
phổ hấp thu khi có điện trường sẽ bị dịch chuyển về phía vùng năng lượng thấp so với phổ
hấp thu khi có điện trường (Hình 1 .5).
Hình 1.4 Xác suất hấp thụ phôton ứng với các mức năng lượng khác nhau (a), (b), (c), (d Trong
trường hợp không có điện trường (a) và có điện trường (b)
PHẠM THANH TÂM 21

F
ur
2 2
2
≥ −
µ
h k
E qFz
( )
: 0≠
ur
b F
α
E
0F =
0F ≠
g
E
g
E E− ∆
SERMINA Semiconductor Photonics 11-05-2009
Hình 1.5 Ảnh hưởng của điện trường đối với hệ số hấp thu
Từ đây ta có thể suy ra hệ quả của hiệu ứng Franz-Keldysh, dưới tác dụng của điện
trường ngoài F, electron nhận thêm được một phần năng lượng qFz, Do đó, phổ hấp thụ
riêng và phổ phản xạ bị dịch chuyển về phía năng lượng thấp.
1.2 Phương pháp quang phản xạ
Phương pháp quang phản xạ thuộc phổ học biến điệu là một dạng biến điệu bên trong,
biến điệu điện trường (electro modulation). Sử dụng nguồn laser biến điệu chiếu lên bề mặt
mẫu làm điện trường nội tại trên bề mặt mẫu bị thay đổi một cách tuần hoàn.
Hình 1.6 Nguồn laser làm giảm điện trường bề mặt do sản sinh các cặp

Laser off Laser on
SERMINA Semiconductor Photonics 11-05-2009
bề mặt
s
F
r
giảm, thế tại bề mặt giảm, độ cong của vùng năng lượng cũng giảm theo. Mô
hình tương ứng hiệu ứng Franz-Keldysh biến mất, trở về bình thường, tức hệ số hấp thu ( hệ
số phản xạ) giảm. Hình 1 .5
Như vậy, trong một chu kỳ biến điệu của nguồn laser (có và không có laser), sẽ xuất
hiện độ chênh lệch hệ số hấp thu. Điều này đồng nghĩa với việc xuất hiện độ chênh lệch hệ
số phản xạ
R∆
theo năng lượng phôton.
Khi đó ta có tỉ số:
−
∆
=
on off
off
R R
R
R R
( 1.2.0 )
off
R
là hệ số phản xạ khi không có laser chiếu vào.
on
R
là hệ số phản xạ khi có laser chiếu vào.

( )
c
knk
c
knn
s
s
132
132
22
22
−−
=
−−
=
β
α
( 1.2.0 )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
2 2 1c n k n k k n
 
= + + + − +
 
 
( 1.2.0 )
PHẠM THANH TÂM 21
SERMINA Semiconductor Photonics 11-05-2009
Hình 1.7 So sánh giữa 3 loại phổ từ 0-6eV của GaAs . Ở trên: phổ phản xạ R (Philip and

α < β
ứng với năng lượng phôton lớn hơn 2.8 eV. InP:
α > β
trong khoảng năng lượng từ 0-3 eV và
α < β
ứng với năng lượng phôton lớn hơn 3 eV. Điều đáng ghi nhận là dạng
α
và
β
ở hai bán
dẫn này tương tự nhau và ở năng lượng lân cận năng lượng vùng cấm (1.42eV đối với GaAs và
1.36 eV đối với InP) thì ở cả hai bán dẫn này
α β?
. Do đó, trong biểu thức ( 1.2 .0 ) thành
phần
( ) ( )
s 1 2 2 s 1 2 1
, ,β ε ε ∆ε α ε ε ∆ε=
.
( )
s 1 2 1
R
,
R
∆
≈ α ε ε ∆ε
( 1.2.0 )
Để xét k‚ hơn đối với trường hợp điểm tới hạn ba chiều, hàm điện môi dưới tác động
của điện trường (bỏ qua ảnh hưởng của
Γ

m E
µ
ε
( 1.2.0 )
Với
0
2 2 2
( ) ( ) ' ( )
x
Ai x dx xAi x Ai x
−∞
= −
∫
( 1.2.0 )
Eg E
x
−
=
Θh
( 1.2.0 )
2/ 3
2Θ = Ωh h
( 1.2.0 )
Ωh
(J): năng lượng quang điện ( 1.1 .0 ).
Hàm điện môi
( )
x,Fε
dưới sự ảnh hưởng của điện trường F được xem như là tổng của
hằng số điện môi khi không có điện trường

( ) ( ) ( )
( )
( )
1/ 2
3/ 2
1 1 1
2
( ) ( )
, ,0
( )
const eV eV
x x F x G x
E eV
ε ε ε
Θ
∆ = − =
h
( 1.2.0 )
PHẠM THANH TÂM 21
SERMINA Semiconductor Photonics 11-05-2009
( ) ( ) ( )
( )
( )
1/ 2
3/ 2
2 2 2
2
( ) ( )
, ,0
( )

và
( )
xG
được gọi là các hàm quang điện không mở rộng (Hình 1 .9)
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1/ 2
' 2 2
' ' 1/ 2
F x Ai x xAi x x U x
G x Ai x B i x xAi x Bi x x U x
π
π
 
= − − − −
 
 
= − +
 
( 1.2.0 )
' '
, , ,Ai Bi Ai B i
là các hàm Airy và các đạo hàm của chúng được tính từ biểu thức ( 1.1 .
0 ) .
( )
U x
là hàm bậc đơn vị
( )

µ
= +
( 1.2.0 )
Nếu
*m m<<
2
2
1 2
vc
g
v P c
m E
µ
=
( 1.2.0 )
2
0
0
2
g
vc
m E
m
v P c
µ
 
=
 ÷
 
( 1.2.0 )

g
e E
const eV=
h
µ
( 1.2.0 )
Hình 1.10* Dạng của hàm điện môi
2
ε
ứng với khi có (đường liền nét)
và không có điện trường (đường đứt nét) của GaAs và InP
Từ biểu thức ( 1.2 .0 ), chúng tôi vẽ dạng của
( )
2
x,Fε
(Hình 1 .10), từ biểu thức
( 1.2 .0 ), ( 1.2 .0 ) chúng tôi vẽ dạng của
( )
1
x,F∆ε
(Hình 1 .11) và từ biểu thức biểu thức (
1.2 .0 ), ( 1.2 .0 ) chúng tôi vẽ dạng của
( )
2
x,F∆ε
(Hình 1 .12) của GaAs và InP với các thông
số:
g _ InP
E 1.344eV=
,

>
g
E E
,
1
∆ε
và
2
∆ε
có dạng dao
động và khi
g
E E<
,
1
∆ε
và
2
∆ε
có dạng exponential.
PHẠM THANH TÂM 21
InP
GaAs
2
ε
E
( )
2
x,Fε
( )

E eV
InP
GaAs
1
∆
ε
( )
E eV
InP
GaAs
SERMINA Semiconductor Photonics 11-05-2009
1.3 Xử lý phổ để xác định trạng thái quang điện của bề mặt bán dẫn:
Trên cở sở hiệu ứng Franz-Keldysh nói trên, người ta xây dưng nên phương pháp xác
định điện trường bề mặt của bán dẫn dựa trên phương pháp quang phản xạ.
Trong trường hợp tính đến thông số
Γ
, hàm
R
R∆
có dạng tổng quát như sau Error:
Reference source not found
( )
[ ]
m
i
iEgEeA
R
R
−
Γ+−=

3/ 2
2
1 4
exp cos
3
g
g
g
E E
E E
R
E
R
E E E
 
 
Γ −
−
 
∆
 
 ≈ −
 ÷
Ω
−
Ω
 
 
 
 

thức:
3/ 2
4
3
n g
E E
n
−
 
π = + θ
 
Ω
 
h
( 1.3.0 )
Trong đó: n: là số nguyên (0, 1, 2, 3, ).
E
n
: giá trị năng lượng tại vị trí cực trị tương ứng với n. Với E
1

PHẠM THANH TÂM 21
SERMINA Semiconductor Photonics 11-05-2009
là vị trí năng lượng của cực trị thứ nhất, có biên độ cực đại.
Từ ( 1.3 .0 ) cho thấy: dạng phổ
/R R∆
chứa đựng 2 đặc trưng: các cực đại biên độ
giảm theo E (năng lượng photon) với qui luật exponent, và toàn bộ phổ có tính chu kỳ (dạng
cosin). Một cộng sự Error: Reference source not found đã mô phỏng dựa trên biểu thức này,
và do đó đã không thể hiện được phần

E =1.425 eV
,
6
F=5 10 /× V m
,
8
Γ =
meV
,
300=
F
d nm
,
0.82=
ξ
.
Với
F
d
là độ dày của vùng điện tích không gian
−
=
F i
F
F F
F
ξ
;
0 1
ξ

), mật độ điện tích bề
mặt (
ss
Q
) được tính dựa vào phương pháp sau:
Phương trình ( 1.3 .0 ) có thể được viết lại:
( )
( ) ( )
3/ 2
3/ 2 3/ 2
4
3
n g
E E n− = Ω − Ω θ
π
h h
( 1.3.0 )
Hình 1.14 Sự phụ thuộc tuyến tính của
( )
3/ 2
n g
E E−
vào n
Biểu thức ( 1.3 .0 ) có dạng phương trình đường thẳng
baxy +=
với hệ số góc
( )
3/ 2
a = Ωh
, hay nói cách khác, đại lượng

n
SERMINA Semiconductor Photonics 11-05-2009
3/1
2
22
2








=Ω
s
F
e
µ


( 1.3.0 )
3/ 2
2e
Fs
µ
= Ωh
h
( 1.3.0 )
Độ cong vùng năng lượng xác định qua

Từ biểu thức ( 1.2 .0 ) ta có:
( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 2
, , ,
s s
R
E F
R
α ε ε ε β ε ε ε
∆
= ∆ + ∆
( 2.1.0)
Với
s
α
và
s
β
là các hệ số Seraphin được tính từ biểu thức ( 1.2 .0 ) và ( 1.3 .0 )
( )
( )
c
knk
c
knn
s
s
132
132
22

( )
( )
1/ 2
1
2
1/ 2
2
2
const
E G x
E
const
E F x
E
ε
ε
Θ
∆ =
Θ
∆ =
h
h
( 2.1.0)
Const được tính từ biểu thức ( 1.2 .0 ) :
3/ 2 1/ 2
3/ 2
2
( )
g
e E

* *
1 1 1
e h
m m
= +
µ
( 2.1.0)
* *
,
e h
m m
lần lượt là khối lượng hiệu dụng của electron và lỗ trống (Bảng 2 -2).
Với F(x) và G(x) được tính từ ( 1.3 .0 )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1/ 2
' 2 2
' ' 1/ 2
F x Ai x xAi x x U x
G x Ai x B i x xAi x Bi x x U x
π
π
 
= − − − −
 
 
= − +
 

''
,ΓxG
được tính từ
biểu thức ( 2.1 .0 ). Error: Reference source not found.
/ 3
0 0 0 0 0
'( , ') '( , ') 2 [ '( ) '( ) ( ) ( )]
i
F x iG x e Ai z Ai Ai z Ai
π
π ω ω ω
−
Γ + Γ = + −
PHẠM THANH TÂM 21
Các thông số GaAs InP
KLHD của lỗ trống
*
h
m
(
0
m
)
0.34 0.64
KLHD của electron
*
e
m
(
0

Γ
=Γ

'
1.5 Phổ PR khi điện trường bề mặt
s
F
thay đổi theo độ sâu. Mô hình đa lớp
Trong các phần trước, khi mô phỏng chúng tôi giả thiết điện trường bề mặt không thay
đổi ứng với các độ sâu d vùng bề mặt khác nhau. Trong thực tế, điện trường tại bề mặt là lớn
nhất, càng đi sâu vào trong điện trường bề mặt càng giảm, và bằng 0 tại
d del
=
, del gọi là độ
dày vùng điện trường bề mặt hay khoảng chắn Debye phụ thuộc vào nồng độ tạp chất trong
bán bẫn được tính từ biểu thức ( 2.3 .0 ) Error: Reference source not found.
0
2
0
el
KT
d
n e
εε
=
( 2.3.0 )
0
n
: nồng độ hạt tải trong bán dẫn. Trong bán dẫn pha tạp thì
0

d d
ω
h
?
,
chúng ta có thể tính toán phổ với điện trường bề mặt không đổi. nhưng nếu
el
d d
ω
<
h
chúng
ta phải xét đến điện trường bề mặt thay đổi theo độ sâu trong quá trình mô phỏng. Hình 2 .
15 thể hiện sự thay đổi của điện trường theo độ sâu trong mô hình đa lớp Error: Reference
source not found.
PHẠM THANH TÂM 21
SERMINA Semiconductor Photonics 11-05-2009
Hình 2.15 Điện trường bề mặt thay đổi theo độ sâu trong mô hình đa lớp
=
z 0
: tại bề mặt,
F
ν
:
điện trường của lớp thứ v
=
el
dv d / j
( 2.3.0 )
el v el

(1 tương ứng với lớp gần bề mặt nhất)
( )
( )
1v 2v 2v 1v
v
2 2
n k i n k
N
2 n k
∆ε ∆ε ∆ε ∆ε
∆
+ − −
=
+
( 2.3.0 )
1v
∆ε
,
2v
∆ε
được tính từ ( 2.1 .0) sử dụng hàm F(x) và G(x) được tính từ biểu thức
( 2.1 .0 ).
Vì vậy, mô hình đa lớp tương ứng với hệ thông mô hình đơn lớp, mỗi lớp có chỉ số
khúc xạ phức khác nhau. Biên độ sóng phản xạ tại lớp thứ j:
( )
( )
v
v
v 1
v 1

v v
v
d d
2 N N 2 N
ϕ π ∆ π
λ λ
   
= + =
 ÷  ÷
   
( 2.3.0 )
Hệ số Fresnel tại mặt tiếp xúc giữa lớp thứ v và v-1 được cho bởi biểu thức:
v 1 v
v 1
v 1 v
N N
f
2N N N
∆ ∆
−
−
−
−
=
+ +
( 2.3.0 )
Biên độ sóng phản xạ tại lớp thứ j:
j
j
j

,
1=
L
N
( 2.3.0 )

L
N
chỉ số khúc xạ của không khí.
Phổ quang phản xạ được tính theo biểu thức:
( )
( )
( )
0
0
2
0
Re
Re
R
Rr
E
R
R
−
=
∆
( 2.3.0 )
2
L