PHẦN ĐẠI SỐ 9
A/. HỆ PHƯƠNG TRÌNH :
I/. Kiến thức cơ bản :
* Với hệ phương trình :
1
2
( )
' ' '( )
ax by c D
a x b y c D
+ =


+ =

ta có số
nghiệm là :
Số nghiệm Vị trí 2 đồ thị ĐK của hệ số
Nghiệm duy
nhất
D
1
cắt D
2
' '
a b
a b
≠
Vô nghiệm D
1
// D

Thay x = 3 vào (1) => 6 + 3y = 6 => y = 0
Vậy ( x = 3; y = 0) là nghiệm của hệ PT
2).
7 2 1(1)
3 6(2)
x y
x y
− =


+ =

Từ (2) => y = 6 – 3x (3)
Thế y = 6 – 3x vào phương trình (1) ta được :
7x – 2.(6 – 3x) = 1 => 13x = 13 => x = 1
Thay x = 1 vào (3) => y = 6 – 3 = 3
Vậy ( x = 1; y = 3) là nghiệm của hệ phương trình.
Dạng 2 : Tìm tham số để hệ PT thoả đk của đề bài
1). Cho hệ phương trình:
5
4 10
x my
mx y
+ =


+ = −

Với giá trị nào của m thì hệ phương trình :
- Vô nghiệm - Vô số nghiệm .


=

⇔ ⇔ =
 
≠ −
− ≠


(thoả)
Vậy m = 2 thì hệ phương trình trên vô nghiệm
- Để hệ phương trình (*) có vô số nghiệm thì :

1 5
4 10
m
m
= =
−
<=>
2
2
4
2
2
10 20
m
m
m
m

− = − − = − =
  
⇔ ⇔
  
+ = − + = − + = −
  
3
4
b
a
=

⇔

= −

Vậy a = -4 ; b = 3 thì hệ có nghiệm (1;-2)
III/. Bài tập tự giải :
1). Giải các hệ phương trình :
a).
7 4 10
3 7
x y
x y
− =


+ =

b).

+ =


+ =

a). Với m = 3 giải hệ PT trên.
b). Tìm m để hệ PT có một nghiệm duy nhất, có VSN
B/. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :
I/. Kiến thức cơ bản :
1).Công thức nghiệm & công thức nghiệm thu gọn
Với phương trình : ax
2
+ bx + c = 0 (
0a
≠
) ta có :
2).
2
2 1
2
1 1
x
x x
− =
− +
(*) - TXĐ :
1x ≠ ±
* Phương pháp cộng :
- Biến đổi hệ pt về dạng có hệ số của 1 ẩn
bằng nhau hoặc đối nhau .

a
−
= =
-
0∆ >
: PT có 2 n
0
1 2
;
2
b
x x
a
− ± ∆
=
2
' 'b ac∆ = −
-
' 0∆ <
: PTvô nghiệm
-
' 0∆ =
: PT có n
0
kép
1 2
'b
x x
a
−

* Nếu x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 (
0a
≠
) thì tổng và tích của hai
nghiệm là :
1 2 1 2
; .
b c
x x x x
a a
−
+ = =
II/. Các dạng bài tập cơ bản :
♣ Dạng 1 : Giải phương trình
1). 4x
2
– 11x + 7 = 0 (a = 4; b = – 11; c = 7)
* Cách 1 : Sử dụng công thức nghiệm
2 2
4 ( 11) 4.4.7 9 0 3b ac∆ = − = − − = > ⇒ ∆ =
Vì
0∆ >
nên phương trình có 2 nghiệm là :

2
2 1.( 1) 2.( 1).( 1)
1 ( 1).( 1) 1.( 1).( 1)
x x x x
x x x x x
− + −
⇔ − =
− + − + −
2
2
2 1 2 2
2 3 0
x x x
x x
⇔ − + = −
⇔ − − =
Vì a – b + c = 2 – (– 1) – 3 = 0
Nên phương trình có 2 nghiệm là :
1 2
3
1;
2
c
x x
a
−
= − = =
3). 3x
4
– 5x

- Có nghiệm kép
- Có 2 nghiệm phân biệt
Giải :
Ta có : a = 1; b = – 4; c = 2m – 1
⇒
2
' ( 2) 1.(2 1) 3 2m m∆ = − − + = −
* Để phương trình trên vô nghiệm thì
0∆ <
3
3 2 0 2 3
2
m m m⇒ − < ⇔ − < − ⇔ >
* Để phương trình trên có nghiệm kép thì
0
∆ =
3
3 2 0 2 3
2
m m m⇒ − = ⇔ − = − ⇔ =
* Để PT trên có 2 nghiệm phân biệt thì
0∆ >
3
3 2 0 2 3
2
m m m⇒ − > ⇔ − > − ⇔ <
(Lưu ý : Để PT có nghiệm thì
0
∆ ≥
)

⇔ = ⇔ = ±
Vậy khi m =
2 5±
thì PT có 2 nghiệm
1 2
10x x− =
☺ Loại 1 : Tìm tham số m thoả ĐK cho trước
- Tính
∆
theo tham số m
- Biện luận
∆
theo ĐK của đề bài ;
- Tìm ĐKXĐ của phương trình (nếu có)
- Biến đổi về dạng PT bậc 2 một ẩn số.
- Giải PT bằng công thức nghiệm
- Nhận nghiệm và trả lời
☺Loại 2 : Tìm tham số m để phương trình có
nghiệm x = a cho trước :
- Thay x = a vào PT đã cho => PT ẩn m
- Giải PT ẩn m vừa tìm được
Giải :
a). Vì x = -1 là nghiệm của phương trình, khi đó :
2 2
2
2
1 2
( 1).( 1) 2 .( 1) 3.(1 ) 0
1 2 3 3 0
2 0 1; 2

2
= 9
+ Với m = -1 => x
2
= 0
Vậy : Khi m = 2 thì nghiệm còn lại của PT là x
2
= 9
Và khi m = -1 thì nghiệm còn lại của PT là x
2
= 0
VD : Cho PT : x
2
– 2x – m
2
– 4 = 0
Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả :
a).
2 2
1 2
20x x+ =
b).
1 2
10x x− =
Giải :
Vì a.c < 0 nên phương trình luôn có 2 nghiệm với

2±
thì PT có 2 nghiệm thoả
2 2
1 2
20x x+ =
III/. Bài tập tự giải :
Dạng 1 : Giải các phương trình sau :
1).
2
10 21 0x x− + =
2).
2
3 19 22 0x x− − =
3).
2
(2 3) 11 19x x− = −
4).
8
1 1 3
x x
x x
+ =
+ −
5).
5 7 2 21 26
2 2 3
x x
x x
+ +
− =

a). Với m = -4 giải phương trình trên
b). Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2

thoả điều kiện
2 2
1 2
34x x+ =
C/. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ :
I/. Kiến thức cơ bản :
1). Điểm A(x
A
; y
A
) & đồ thị (C) của hàm số y =
(x):
- Nếu f(x
A
) = y
A
thì điểm A thuộc đồ thị (C)
- Nếu f(x
A
)
≠
y
A
thì điểm A không thuộc đồ thị

2 n
0
thoả ĐK cho trước là
1 2
n m
x x
α β δ
+ =
…. :
- Tìm ĐK của m để PT có 2 nghiệm
- Sử dụng Viét để tính S và P của 2 n
0
theo m.
- Biến đổi biểu thức
1 2
n m
x x
α β δ
+ =
về dạng S; P
=> PT hoặc hệ PT ẩn là tham số m
* Ghi nhớ : Một số hệ thức về x
1
; x
2
thường gặp
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )

(L) :
f(x) = g(x) (1)
- Nu (1) vụ nghim => (C) & (L) k./cú im
chung
- Nu (1) cú n
0
kộp => (C) & (L) tip xỳc nhau
- Nu (1) cú 1n
0
hoc 2 n
0
=> (C) & (L) cú 1 hoc
2 im chung.
II/. Cỏc dng bi tp c bn :
Dng 1 : V th
VD : Cho 2 hm s y = - x + 1 v y = 2x
2
.
a). Hóy V th 2 h/s lờn cựng mt phng
Oxy.
b). Da vo th tỡm honh giao im v
kim tra li bng PP i s.
Gii :
- Xỏc nh to cỏc im thuc th :
x 0 1
y = - x + 1 1 0
x -1 -ẵ 0 ẵ 1
y = 2x
2
2 ẵ 0 ẵ 2

2 2
1
2 4 2 0
2
x x m x x m= + =
(1)
(P) v (D) tip xỳc nhau khi (1) cú nghim kộp
2
' ( 2) 1.( 2 ) 0
4 2 0 2
m
m m
= =
+ = =
Vy m = -2 thỡ th (P) v (D) tip xỳc nhau.
III/. Bi tp t gii :
1). Cho hai hm s :
- (D) : y = 4x + 3
- (P) : y = x
2

a). V th (D) v (P) lờn cựng mp to
b). Da vo th xỏc nh to giao im ca
(D) v (P), kim tra li bng phng phỏp i s.
2). Cho hm s (P) : y = ax
2
(
0a

)

Bài 90: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó lại ngựơc từ B
trở về A .Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút . Tính khoảng cách giữa hai
bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h
Bài 91: Một ngời chuyển động đều trên một quãng đờng gồm một đoạn đờng bằng và
một đoạn đờng dốc . Vận tốc trên đoạn đờng bằng và trên đoạn đờng dốc tơng ứng là 40
km/h và 20 km/h . Biết rằng đoạn đờng dốc ngắn hơn đoạn đờng bằng là 110km và thời
gian để ngời đó đi cả quãng đờng là 3 giờ 30 phút . Tính chiều dài quãng đờng ngời đó đã
đi.
Bài 92: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B . Xe tảI đi với vận tốc 30
km/h , xe con đi với vận tốc 45 km/h. Sau khi đi đợc
4
3
quãng đờng AB , xe con tăng vận
tốc thêm 5 km/h trên quãng đờng còn lại . Tính quãng đờng AB biết rằng xe con đến B
sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.

Bài 93: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với một vận tốc xác định . Khi
từ B về A ngời đó đi bằng con đờng khác dài hơn trớc 29 km nhng với vận tốc lớn hơn vận
tốc lúc đi 3 km/h . Tính vận tốc lúc đi , biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1
giờ 30 phút.

Bài 94:Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km đi ngợc chiều nhau .
Sau 1h40 thì gặp nhau . Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô , biết rằng vận tốc ca nô đi
xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngợc 9Km/h và vận tốc dòng nớc là 3 km/h.

Bài 95: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 km . Lúc 6h45phút một ngời đi xe đạp từ A với
vận tốc 10 km/h . Sau đó 2 giờ một ngời đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 km/h . Hỏi đến
mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km ?
Bài 96: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 km/h . Sau đó một thời gian, một
ngời đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ

Bài 105: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đờng dài 120
km trong một thời gian đã định . Đi đợc một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên để đến
nơi đúng giờ , xe phải tăng vận tốc thêm 2 km/h trên nửa quãng đờng còn lại . Tính thời
gian xe lăn bánh trên đờng .
Bài 106: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định
. Sau khi đi đợc 1 giờ ôtô bị chắn đờng bởi xe hoả 10 phút . Do đó , để đến B đúng hạn , xe
phải tăng vận tốc thêm 6 km/h . Tính vận tốc lúc đầu của ôtô.
Bài107: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định . Khi còn cách B 30
km , ngời đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi , nhng
nếu tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ .Tính vận tốc của xe đạp
tren quãng đờng đã đi lúc đầu.
Dạng Toán Năng suất
Bài 108: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ . Nếu mỗi
đội làm một mình để làm xong công việc ấy , thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với
đội thứ hai là 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu?
Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày . Nh-
ng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vợt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn
thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vợt mức 104 000 đôi giầy . Tính số đôi giầy
phải làm theo kế hoạch.
Bài 110: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt đợc 20 tấn cá , nhng
đã vợt mức đợc 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà
còn vợt mức kế hoạch 10 tấn . Tính mức kế hoạch đã định
Bài 111: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng . Trứoc khi làm việc đội xe đó đợc bổ
xung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định . Hỏi đội xe lúc đầu có bao
nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lợng bằng nhau.
Bài 112: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán . Nếu làm chung trong 4
giờ thì hoàn thành đợc
3
2
mức khoán . Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong

5
1
bĨ . Hái mçi vßi ch¶y riªng th× sau bao l©u sÏ ®Çy bĨ ?

Bµi 119: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bĨ chøa kh«ng cã níc th× sau 2 giê 55 phót
sÏ ®Çy bĨ . NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bĨ nhanh h¬n vßi thø hai 2 giê . Hái
nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y ®Çy bĨ trong bao l©u ? PHẦN HÌNH HỌC 9
A/. KIẾN THỨC :
I). HỆ THỨC LƯƠNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG :
1. Hoàn thành các hệ thức lượng trong tam
giác vuông sau :
1). AB
2
= BH.BC ; AC
2
= HC.BC
2). AH
2
= BH.HC
3). AB. AC = BC.AH
4).
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
2. Hoàn thành các đònh nghóa tỉ số lương giác
của góc nhọn sau :

β
là hai góc phụ nhau :
1.
sin
α
=
cos
β
2.
cos
α
=
sin
β
3.
tg
α
=
cotg
β
4.
cot g
α
=
tg
β

4. Các hệ thức về cạnh và góc
*
.sin .cosb a B a C= =

¶
¶
µ
¶
1 2
1 2
MA MB
M M
O O
=


=


=

Cạnh kề
Cạnh đối
α
Huyền
(OH = d)
6.Vò trí tương đối của hai đường tròn Số điểm chung
Hệ thức giữa OO’ với R & r
1). Hai đường tròn cắt nhau :

2 R – r < OO’ < R + r
2). Hai đường tròn tiếp xúc nhau :

1

»
1
2
BAx sd AB=
·
»
»
1
( )
2
BMD sd BD sd AC= −
ABCD nội tiếp <=>
µ
µ
µ
µ
0
0
180
180
A C
B D
+ =
+ =

7. Tứ giác nội tiếp :
* ĐN :
* Tính chất :
B/. BÀI TẬP :
Bài 1 : Cho đường tròn (O) , kẻ hai đường kính
AOB, COD vuông góc nhau . Trên cung nhỏ BD
lấy điểm M (M khác B và D ), dây CM cắt AB tại
Bài 3 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính
BC , điểm A thuộc nửa đường tròn, H là hình
chiếu của A trên BC. Vẽ về cùng phía với A đối
ABCD là tứ giác nội tiếp
; ; ; ( )A B C D O⇔ ∈
hoặc
µ
µ
0
180A C+ =
=> ABCD nội tiếp
·
·
0 0
90 ; 90ADB ACB= =
=> A;B;C;D thuộc đ.tròn đ.kính AB
=> ABCD nội tiếp đ.tròn đ.kính AB
·
µ
·
·
·
µ
0
0
; 180

. .
180
AB
R n
l
π
=
2 .C R d R= Π =
2
.S R
π
=
S
quạt
=
2 0
0
. . .
360 2
R n l R
π
=
N, tip tuyn ca ng trũn ti M ct AB ti K,
ct CD ti F.
a). CMR : T giỏc ONMD ni tip.
b). CM : MK
2
= KA.KB
c). So sỏnh :
ã

b) Chứng minh CAQ đồng dạng với CBD (2điểm)
c) Tứ giác ACQE là hình gì? Vì sao? (1,5 điểm)
d) Xác định vị trí của N để góc ADN vuông. (0,5điểm)
H
E
Q
D
P
C
B
O
A
N
a)Chứng minh tứ giác PENQ là tứ giác nội tiếp. (3điểm)
Xét (O):
ã
o
APB 90
=
(góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)
ã
o
QPE 90 =
(kề bù với
ã
o
APB 90
=
)
CMTT:

1
NBP sd NP
2
=
(gnt chắn
ằ
NP
)
Mà
ằ
AP
=
ằ
NP
(P là điểm chính giữa
ằ
AN
)

ã
CAQ
=
ã
NBP
Xét CAQ và CBD:
à
C
chung
ã
CAQ

o
AND 90
=
DN//AB
Kẻ NHAB Tứ giác ADNH là HCN DN = AH (1)
CM đợc DNB cân tại NDN= NB (2)
Từ (1) và (2): NB=AH.Đặt NB = x
Xét ANB:
à
o
N 90=
; NHABNB
2
= BH.BA (Hệ thức lợng tgiác vuông)
( )
( )
2
2 2
x 2R x 2R
x 2Rx 4R 0
x R R 5
x R R 5 loai
=
+ =

= +


=


Cho đường thẳng y = (m-1)x+2
Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớn nhất.
Gợi ý một phương án bài giải
Bài 1:
P=
1. Kết quả rút gọn với điều kiện xác định của biểu thức P là
2. Yêu cầu . Đối chiếu với điều kiện xác định
của P có kết quả cần tìm là
Bài 2:
Gọi vận tốc khi đi là x (đơn vị tính km/h, điều kiện là x>0) ta có phương trình . Giải ra ta có
nghiệm x=12(km/h)
Bài 3:
1. Khi b=-3, c= 2 phương trình x
2
-3x+2=0 có nghiệm là x=1, x=2
2. Điều kiện cần tìm là
Bài 4:
1. vì cùng chắn cung AE. Do đó tam giác ABH và EHA đồng dạng.
2. nên hay .
Vậy tứ giác AHEK là nội tiếp đường tròn đường kính AE.
3. M là trung điểm EB thì OM vuông góc BE, OM=AH. Ta có
đều
cạnh R. Vậy AH= OM=
Bài 5:
Đường thẳng y = (m-1)x+2 mx= y+x-2đi qua điểm cố định A(0;2). Do đố OA=2. Khoảng cách lớn nhất từ gốc
tọa độ đến đường thẳng d là OA=2, xảy ra khi d vuông góc với OA hay hệ số góc đường thẳng d là 0 tức là m-1.
Đề 2
Câu 1: (1, 5 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) x

1
x
2
- x
1
- x
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết
BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.
a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC.
b) Chứng minh AE.AB = AF.AC.
c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC.
Tính tỉ số khi tứ giác BHOC nội tiếp.
d) Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE. Tính HC.
Gợi ý một phương án bài giải
Câu 1:
a) Ta có Δ’ = 1 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là x
1
= 5 – 1 và x
2
= 5 + 1.
b) Đặt t = x
2
≥ 0, ta được phương trình trở thành t
2
– 29t + 100 = 0 t = 25 hay t =2.
* t = 25 x
2

b) (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
Δ’ = m – 1 > 0 m > 1.
Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
m > 1.
c) Khi m > 1 ta có:
S = x
1
+ x
2
= 2m và P = x
1
x
2
= m
2
– m + 1
Do đó: A = P – S = m
2
– m + 1 – 2m = m
2
– 3m + 1 = − ≥ – .
Dấu “=” xảy ra m= (thỏa điều kiện m > 1)
Vậy khi m = thì A đạt giá trị nhỏ nhất và GTNN của A là – .
Câu 5: