Chương 4:
DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Th.S NGUYỄN PHƯƠNG
Khoa Giáo dục cơ bản
Trường Đại học Ngân hàng TPHCM
Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com
Email: [email protected]
Yahoo: nguyenphuong1504
Ngày 28 tháng 10 năm 2013
1

1
Giá trị riêng - vectơ riêng
Các định nghĩa
Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng
2
Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao
Định nghĩa chéo hóa

Ví dụ 1:Với A =

4 −2
1 1

, x = (2; 1), ta được
A[x] =

4 −2
1 1

2
1

=

6
3

= 3

2
1

= 3[x]
Vậy x = (2; 1) là vector riêng của A ứng với trị riêng λ = 3.
Tính chất
Nếu A có vectơ riêng x ứng với trị riêng λ thì kx, k  0 cũng là vectơ
riêng ứng với trị riêng λ.
Nếu A có trị riêng λ thì λ









a
11
− λ a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
− λ . . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


, ta có đa thức đặc trưng
det(A −λI) =





1 −λ 2
3 4 − λ





= λ
2
− 5λ −2
4

Giá trị riêng - vectơ riêng Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng
Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng
- Bước 1: Giải phương trình đặc trưng:det(A −λI) = 0.
Các nghiệm tìm được là các giá trị riêng cần tìm.

Suy ra λ
1
= 2 và λ
2
= 3 là hai trị riêng của A.
+ Ứng với λ
1
= 2:
+ Ứng với λ
2
= 3:
5

Giá trị riêng - vectơ riêng Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng
Ví dụ 4: Cho A =








0 0 1


= 0 ⇔ (1 −λ)(λ
2
− 1) = 0
⇒ λ
1
= −1, λ
2
= 1 là hai trị riêng của A.
+ Với λ
1
= −1, ta có:
A −λ
1
I =








1 0 1
0 2 0
1 0 1





= 0
x
2
= 0
⇒ x = α(1; 0; −1) (α  0) là vetor riêng của A.
6

Giá trị riêng - vectơ riêng Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng
+ Với λ
2
= 1, ta có:
A −λ
2
I =








−1 0 1
0 0 0

1
− x
3
= 0
⇒ x = (α; β; α) là vetor riêng của A.
Không gian riêng
Giả sử λ là giá trị riêng của ma trận A. Gọi tập hợp các vector riêng ứng với
λ và vector không là E(λ). E(λ) được gọi là không gian riêng ứng với λ.
Ví dụ 4: E(−1) =

(1; 0; −1)

; dimE(−1) = 1
E(1) =

(1; 0; 1), (0; 1; 0)

; dimE(1) = 2
7

Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Định nghĩa chéo hóa
Định nghĩa
- Hai ma trận vuông cùng cấp A và B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma
trận khả nghịch P thỏa B = P






0 0 0
0 1 0
1 0 1








chéo hóa được, vì có ma trận
P =








1 0 0
0 1 0
−1 0 1



Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Các bước chéo hóa ma trận vuông
Các bước chéo hóa ma trận vuông
- Bước 1: Giải phương trình đặc trưng:det(A −λI) = 0 để tìm trị riêng thực
của A.
+ Trường hợp A có trị riêng phức thì ta kết luận A không chéo hóa được.
+ Trường hợp A có n trị riêng thực thì A chéo hóa được, ta làm tiếp bước 2.
+ Trường hợp A có k trị riêng thực λ
i
(i = 1, . . . , k) với λ
i
là nghiệm bội n
i
của
phương trình đặc trưng.
i) dim E(λ
i
) = n
i
, ∀i, ta kết luận A chéo hóa được, ta làm tiếp bước 2.
ii) tồn tại dim E(λ
i
) < n
i






1 −1 0
2 −1 0
1 2 3








Giải. det(A −λI) =








1 −λ −1 0
2 −1 − λ 0
1 2 3 −λ



=

0
0

⇔

−2x
1
+ 2x
2
= 0
−2x
1
+ 2x
2
= 0
⇔ x
1
= x
2
⇒ dim E(−1) = 1 < 2 ⇒ A không chéo hóa được.
10