Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
1
TỔNG HỢP CÁC BÀI
BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN
VMF
Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
2
A/ MỞ ĐẦU
Khi thấy cuộc thi viết bài kỉ niệm 10 năm thành lập VMF tôi cố gắng tổng hợp
các bài tập này với mong muốn đóng góp chút ít cho diễn đàn. Do thời gian tổng hợp
chỉ khoảng 20 ngày nên số lượng còn ít và chưa có trình bày được nhiều cách, cũng
như bình luận cho các lời giải. Hy vọng điều này sẽ được khắc phục sau đó!
Tài liệu này được tôi tổng hợp trực tiếp trên Diễn đàn toán học trong box Bất
Đẳng Thức và Cực Trị, và riêng nơi đây có nhiều bài tập được lấy từ topic Tổng hợp
các bài toán BĐT của CD13. Nhiều bài mà do vô tình CD13 đã không ghi lại tên của
người đăng và người giải nên khi tổng hợp lại tôi cũng đành bỏ khuyết vì thế mong
các bạn thông cảm! Tinh thần của tài liệu nhỏ này là phục vụ cho đối tượng thi Đại
học (cũng như là chỉ dạy cho học sinh mình) nên bài tập tôi chọn lọc nghiêng nhiều về
AM – GM, Bunhiacopxki, thỉnh thoảng có các bài dùng đạo hàm hay Holder… nhưng
chiếm số lượng không nhiều, hấu hết các bài toán tôi chọn ra chỉ dừng lại ở hai hoặc
ba biến.
Hãy cho tôi bắt đầu từ đây!
, bất đẳng thức này được áp dụng nhiếu lắm các
bạn nên chú ý. Rồi,
2
4 4 1 1
4
a b
a b
ab
a b ab a b a b
, chỗ khẳng định cuối
cùng cũng nên được quan tâm.
Đối với AM – GM ba biến
3
3
a b c abc
thì ta cũng có những điều tương tự:
3
3
a b c
abc
a b c a b c ab bc ca
thì khi
thay
2
vào ta nhận được
2
3
a b c ab bc ca
. Điều khẳng định này hay một
kiểu khẳng định tương đương
2
3
a b c
ab bc ca
là một trong những BĐT quan
trọng trong số các BĐT ba biến. Cũng với hằng đẳng thức trên và
2
, bằng cách thay
ngược lại thì ta thấy
2
kì thi tuyển sinh Đại học. Thật vậy,
2 2 2
2
3
a b c
x y z a b c
x y z
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
y z x z x y
a a a b b b c c c a b c ab bc ca
x x y y z z
y x z x z y
a b a c b c ab bc ca
x y x z y z
3 3 4 4 2 2 5 5 3 3
, , ,
a b ab a b a b ab a b a b ab a b
rất hữu
ích. Dĩ nhiên dấu đẳng thức xảy ra khi
.a b Kí hiệu
mà tôi sử dụng trong tài liệu này là tổng hoán vị vòng quanh của ba
biến
, ,a b c
hay
, ,x y z
. Một điều rất tiện lợi trong trình bày nhưng lại khó hình dung
đối với những người mới bước đầu làm quen BĐT. Nói thật, lúc đầu tôi cũng ngại
ngùng đọc các loại sách mà có dùng kí hiệu này (có thể dẫn ra: BĐT và những lời giải
hay, Sáng tạo BĐT, Những viên kim cương,…) nhưng lâu dần thành quen và việc
dùng chúng trong trình bày lại trở thành mặc nhiên. Thật là tiện lợi khi ghi
2
2a b
b c
hơn là biểu thức
2 2 2
2 2 2a b b c c a
2 0
a a a x a b a b a b x b b b x
tức là
/
0
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
a b a b a b a a a b b b
. Đây chính là BĐT Bunhiacopxki ba
biến, dấu đẳng thức xảy ra khi
i i
b ka
.
Bây giờ, giả sử có các số thực thỏa
a b c
và
m n p
thì ta thấy rõ ràng
0
2
3
am bn cp a b c m n p
. Cả hai trường hợp dấu đẳng
thức xảy ra khi
a b c
hoặc
.m n p Ta sẽ chứng minh BĐT Holder theo AM – GM: Cho
, , , , , , , ,a b c x y z m n p
là các
số thực dương thì
3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
a b c x y z m n p axm byn czp
. Thật vậy,
3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
3
3a x m axm
a b c x y z m n p
a b c x y z m n p
Tôi không có muốn liệt kê hết các BĐT khác (như Abel, Bernouli,…) vào trong
tài liệu này vì đơn giản là chúng không có được sử dụng. Thôi thì để kết thúc phần mở
đầu này tôi xin nêu ra vài đẳng thức và bất đẳng thức thường gặp để các bạn tiện sử
dụng.
2
2 2 2
3 3 3 2 2 2
3
3 3 3
2
2 3
3 3 3 2 2 2
1 1 1 1
2
3
3
3
a b c a b c ab bc ca abc
a b c a b c ab bc ca
a b c a b c a b c ab bc ca abc
a b c a b c a b b c c a
8
7
9
Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
5
B/ ĐỀ BÀI
Bài 1: Cho abc = 1 và
3
36.
a
Chứng minh rằng:
2
2 2
3
a
b c ab bc ca
Bài 2: (trauvang97) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn:
2 2 2
1 1 1 3
.
1 1 1 2a b c
Bài 3: (duaconcuachua) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn
2 2
1 1
a 1 .
1 2 1
a b
a b ab
b
ab ab
Bài 6: Cho a, b, c không đồng thời bẳng
0.
Chứng minh rằng:
4 4 4
2
2 2 2
2 2 2
3
2.
a b c
ab bc ca
a b c
Bài 9: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện
2 2 2
9
a b c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
5 5 5
2 2 2
.
a b c
P
b c a
Bài 10: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2
P abc a b c
.
Bài 11: Cho a, b > 0 thỏa mãn
3 1
ab bc ac
Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
6
Bài 14: Cho a, b, c là các số thực không âm và có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
3 3 3
1.
2 2 2
a b c
a b b c c a
Bài 15: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
3
2.
a b c
Chứng minh:
2 2 2
3
3 3
1 7 2 2
x y
P x y
x y x
Bài 17: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
3
a b c
. Chứng minh rằng ;
2 2 2 2 2 2
1 1 1 3
.
2 2 2 4a b b c c a
Bài 18: Cho a, b, c dương thỏa mãn
ab bc ca abc
. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
3 2
a b b c c a
a b b c c a
. Chứng minh:
2 2 2
5 2 2 5 2 2 5 2 2
1 1 1 81
.
4
a b c b c a c a b
Bài 21: (b2stts) Cho a, b, c dương thỏa mãn
1
2
a b c
. Tìm GTLN của:
2
a b b c
P
b ab ac bc a c
Bài 22: Cho a, b, c dương thỏa mãn
2 2 2 2 2 2
a b c
b b b c c c a a a
Bài 24: Cho a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
4 4 4
b c a c a b a b c
ab bc ca
a a b c b b c a c c a b
Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
7
Bài 25: Cho a, b, c không âm. Chứng minh:
1 1 1
.
1 1 1 1 1 1
1 1 1 2
2 2 2a b b c c a
a b b c c a
Bài 28: (Zack) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh:
3 3 3 2 2 2
2
.
3
abc ab bc ca
a b c a b c
Bài 29: (leduylinh) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
2 2 2
1.
a b c
Tìm
GTLN của
3 3 3
3
P a b c abc
1
a b c
. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
3 3
.
2
a b c
b c a c a b
Bài 33: (baonhikt96) Cho a, b, c dương thỏa
1abc
. Chứng minh rằng:
1 1 1
1 1 1 1
a b c
b c a
.
Bài 34: (SatNhan98) Cho a, b, c dương thỏa
2 2 2
3.
a b
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 .P a b
Bài 37: Cho a, b, c không âm và không đồng thời bẳng 0. Chứng minh rằng:
Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
82 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
a bc b ca c ab
b bc c c ca a a ab b
.
Bài 38: (Chrome98) Cho a, b, c không âm thỏa mãn
1.
a b c
Chứng minh rằng:
2
ab bc ca abc
. Tìm
GTNN của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
.
a b b c a c abc
M
a b c
Bài 41: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn
1.
abc
Chứng minh:
2 2 2
2 12 3 .a b c a b c ab bc ca
Bài 42: Cho các số thực dương
, , , , ,a b c x y z
thỏa mãn
1ab bc ca xy yz z
.
Bài 45: Cho a, b, c dương thỏa mãn
3.
a b c
Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
4
ab bc ca
a b c
a b b c c a
Bài 46: Chứng minh với mọi a, b, c không âm và không đồng thời bẳng 0. Chứng
minh:
2 2 2
1 1 1 3
a bc b ca c ab ab bc ca
Bài 47: Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Gọi
, ,x y z
Bài 49: (hoangtubatu955) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn:
3.
a b c
Tìm GTNN
của biểu thức:
3 3 3
1 1 1
P a b c
.
Bài 50: (leduylinh1998) Cho a, b, c dương thỏa mãn:
3.
a b c
Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 4 4 4
3
.
a b c
a ab b b bc c c ca a a b c
Bài 51: (khonggiadinh) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn
3abc a b ab
2 2 2
2 2 2
1
.
3
5 5 5
a b c
a b c b c a c a c
Bài 54: (zack) Cho a, b, c dương thỏa mãn
2 2 2
1.
a b c
Tìm GTNN của biểu thức:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c
P
b c a c a b
.
Bài 55: (NTPS2CBC) Cho a, b, c dương thỏa mãn
6.
a b c
Trang
10
C/ LỜI GIẢI
Bài 1: Cho abc = 1 và
3
36.
a
Chứng minh rằng:
2
2 2
3
a
b c ab bc ca
Lời giải:
2 2
2 2
2
2
2 3
4 12
36
0
2 12
a a
VT VP b c ab bc bc bc
a a bc
b c
Vì
3
36
a
nên
2 2
1 1
0.
4 2
b c b c b c
VT
a a a
Bài 2: (trauvang97) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn:
2 2 2
1 1 1 3
.
1 1 1 2a b c
Khi đó:
4
2 2
2 1 1 1
3 1 0
1 1
a a a
a a
a a
2
2
2 1 1
3 1 0 2 3.
1
a a
a a a
a
a b
Do đó
4 4 4 4 4 4
3 3 3 3 3 3
1
2 2 2
a b b c c a a b b c c a ab bc ca
ab bc ca abc
ab a b bc b c ca c a
.
Bài 4: Cho
, , 0;1 .
x y z
Tìm GTLN của biểu thức:
1 1 1
x y z
P
yz zx xy
và cùng các hoán vị.
Bài 5: Cho
, 0;1
a b
. Chứng minh
2 2
1 1
a 1 .
1 2 1
a b
a b ab
b
ab ab
Hướng dẫn:
BĐT
2 1 2
1 2 1
Lời giải:
Quy đồng mẫu số và khai triển BĐT cần chứng minh ta nhận được:
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4
a b c ab a b bc b c ca c a a b b c c a abc a b c
Do
2 2 2 2 2 2
a b b c c a abc a b c
.
Kết hợp với
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
; 2 .a b c a b b c c a ab a b a b
Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi
.a b c Bài 7: (vuvo98) Cho hai số dương a, b thỏa mãn:
3.
ab a b
2 2
3 3 3 3
.
4 4
a b a b a b
Như vậy ta chỉ cần chứng minh:
2 2
2 2
3 3 4
3
4 2
a b a b
a b
2 2
6 4
a b a b
Theo
2
2 2
2
Như vậy ta chỉ chứng
minh
2 2
3 4 0 1 2 2 1 0
a b a b a b a b ab
. Điều này hiển nhiên.
Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
12
Bài 8: (coban) Cho a, b, c dương. Chứng minh rằng
2 2 2
3
.
4
a b c
a b b c c a
Lời giải: (Toc Ngan)
Ta đặt
Như vậy
2 2
2 2 2 2
1 1 1
1 1 1 1
z z z z
x z z z
.
Và ta dễ dàng chứng minh
2
2
2
1 3
1 0
4
1
z z
z
z
a a
b b a
b b
Xây dựng các BĐT tương tự
ta nhận được
2 2 2 2 2 2
2 2 3 9 3 5 3
P a b c a b c
9 3.
P
Dấu “=” xảy ra khi
3
a b c
.
Cách khác:
Theo Cauchy – Schwarz ta có:
2
3 3 3
5 5 5
2 2 2 2 2 2
.
a b c
a b c
b c a ab bc ca
3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
a b c x y z m n p axm byn czp
. Bài 10: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2
P abc a b c
.
Lời giải:
Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
13
Ta có:
2
2 2 2 2 2 2
1
3
P abc a b c a b c ab bc ca a b c
3 1
a b
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1
S
a
ab
.
Lời giải:
Ta có:
2
2 2
1 1 1 2
8.
1 2 1 2
1 3
S
a a a a a
a a
Nên giá trị nhỏ nhất của S bằng 8 khi
2 2 2 2
P
a b c
a b c a b c
Dấu bằng xảy ra khi
16
4 16 .
21
a b c Bài 13: (nguyencuong123) Cho a, b, c không âm thỏa mãn
3.
a b c
Chứng minh
rằng:
1 1 1
3.
1 1 1
a b c
ab bc ac
abc
Bài 14: Cho a, b, c là các số thực không âm và có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
3 3 3
1.
2 2 2
a b c
a b b c c a
Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
14
Lời giải:
Ta có
3
2 2
1.1 2
3
a b
b a
a b c
Bài 15: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
3
2.
a b c
Chứng minh:
2 2 2
3
3 3
1 7 2 2
.
4 1 4 1 4 1 32
16 4 4 2
a b c
a b c ab bc ca
Lời giải:
Ta đặt
3
2.
x a b c
2
2
2
2 2
2 2
2
2
2 2
7 2
1
16 4 4
32
4 4
1 2 1
32
4 4 4 4
1
1
4 8 4
x x x
x x
ab
a x
x x x
ab
a x x x
x
x
a x ab x x
. Dấu đẳng thức xảy ra khi
3
2
.
3 3
x
a b c Bài 16: Cho
1 1
3 2
1
x
y
. Tìm GTNN của
2 2
2 2
2
.
4 1
4 2 4 4
4 4 4
P
a b a b a b
a b
a a a
a a a
Vậy GTNN của P bằng
9
,
4
khi
1
, 1.
2
x y
Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
15
3
2 2 2 2
3
2
2 2 2 2
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a
a b a b
a b a b
Áp dụng Cauchy – Schwarz, ta có:
2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 6
a b c a c
VT
a b c
. Bây giờ chỉ cần chứng minh:
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 3 9 3
a b c a c a b c a b c a b c
Bằng cách khai triển, BĐT này tương đương với
2 0
a b b c
x y x y
, nên ta có:
2 2 2 2
2 2
2
1 1
a b ab a b
VP
a b a b a b
a b
Do đó ta chỉ cần chứng minh
2
3
1 1
a b
. Thật vậy, đặt
Trang
16
Bài 19: Cho a, b, c dương. Chứng minh:
2 2 2
2 2
2
2 2
6
.
a b c
a b
a ab b
a b c
Lời giải:
Ta có:
2
2 2
2 2 2 2
6
Áp dụng Cauchy – Schwarz, ta có:
2 2
2 2
2 2 2
4
2
a b a b c
a ab b
a b c ab bc ca
, nên
ta cần chứng minh:
2
2 2 2
2
2 2 2
6
4
Bài toán được chứng minh hoàn toàn, dấu đẳng thức xảy ra khi
a b c
.
Bài 20: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
3 3 3
1
a b c
. Chứng minh:
2 2 2
5 2 2 5 2 2 5 2 2
1 1 1 81
.
4
a b c b c a c a b
Lời giải:
Ta có:
2 2 2 2
3
2
5 2 2
81 81
1 27 9
3
8 8 4
b c a b c a
b
b c a
c a b c a b
c
c a b
Với lưu ý:
2
3
3 3 3
3
3 3
27 9 81 1 81 1 27 243
1 1 2
4a 4 4 4
4 8
3. .
3
x y x y xy
.
Vậy
243 81.2 81
.
4 4 4
VT
Dấu đẳng thức xảy ra khi
3
1
.
3
a b c Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
17
Bài 21: (b2stts) Cho a, b, c dương thỏa mãn
1
2
a b c
. Tìm GTLN của:
2
a b b c
khi
1
.
6
a b c
Bài 22: Cho a, b, c dương thỏa mãn
1 1 1
.
a b c
a b c
Chứng minh rằng:
3 2
.
a b c
a b c abc
Lời giải: (NLT)
Ta có
1 1 1 9
3.
a b c a b c
a b c a b c
a b c
Bài 23: Cho a, b, c dương thỏa mãn
6.
a b c
Chứng minh rằng:
2 2 2
3
.
2
2 2 2 2 2 2
a b c
b b b c c c a a a
Lời giải:
Ta có:
4 4
a b c
a ab a ab a b c
VT
b
Dấu đẳng thức xảy ra khi
2.
a b c
Bài 24: Cho a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
x
y z x
Ta có:
2
2 2 2
4
2 2 2
2 2 2
2
2
x y z
x
VT x y z
y z z x y z xy yz zx
, nên ta chứng minh:
2 2
1
Đặt
; ;
x a b c y ab bc ca z abc
, thay vào BĐT trên ta được:
2
2 6 9y xy xz z
.
Tức là ta cần chứng minh:
2
2 6 9
ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c abc
.
Điều này hiển nhiên đúng vì dựa vào hai BĐT cơ bản quen thuộc:
2
3 ; 9
ab bc ca abc a b c a b c ab bc ca abc
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi
.a b c
2 2
4
1 4 4 4 4 4 .2 2 .4
5 5 40.
2
2 2 4 4 2
8.
a b
a b ab
a a b b
a b
a b ab a b
Như vậy GTNN của P bằng 48 khi
1
.
4
a b
Bài 27: Cho a, b, c dương. Chứng minh rằng:
Trang
19
Ta có:
2
2 3
a b c
c
a b ab bc ca
2
2 2 2
1
2 2 2 2
a b c
b
a b a b c ab bc ca
, do đó bài toán sẽ được giải quyết nếu
ta chứng minh được:
2
3
3
2
3
3
a b c a b c
ab bc ca
a b b c c a
2 2 2
8
9
0.
a b b c c a ab bc ca a b c
c a b a b c b c a
2 2 2 3 3 3
2 2 2
3 3 3
2 2 2
3 3 3
3 3 3 2 2 2
3 3 3 2 2 2
3
3
1
3
3
2
a b c ab bc ca a b c abc
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c a b c a b c
a b c a b c b c a c a b
3 3 3
3
P a b c abc
.
Lời giải: (dinhthanhhung)
Do
3 3 3 2 2 2
a b c a b c a b c ab bc ca abc
, nên ta có:
2 2
2
2
1
1 2a 2 2 1 1
P a b c ab bc ca
b bc ca ab bc ca
Vậy GTLN của P bẳng 1 khi
0; 1a b c
và các hoán vị.
2
3 3 3 2 4 2 2 4
6 6 6 3 3 2 4 2 2 4
3
2 3
a b c a b b c c
a b c a b a b b c c
Điều này đúng do:
6 3 3 2 2 2 6 3 3 2 4 6 3 3 2 4
2 3 ; 2 3 ; 2 3
a b c a b c b a b a b c a c a c
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi
1.
a b c
Bài 31: (thang96) Cho a, b, c dương thỏa mãn
3.
a b c
Bài 32: (Tu Kil) Cho a, b, c dương thỏa mãn:
2 2 2
1
a b c
. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
3 3
.
2
a b c
b c a c a b
Lời giải: (DucHuyen1604)
Ta có:
3
2 2 2
2
2 2 2 2
2 1 1
1 1 4
.2 1 1 .
1 1 1
1 1 1 1
a b c
b c a
Lời giải: (NTPS2CBC)
Ta biến đổi BĐT thành
1 1 1 1
ab b bc c ca a
2 2
2
1
1 1 1
abc bc c bc c abc abc bc bc
c bc bc c bc c bc
Nguyễn Công Định (CD13)
Nhân các vế BĐT cùng chiều trên ta có đpcm, dấu đẳng thức xảy ra khi
1.
a b c
Cách khác: (Toc Ngan)
Khai triển BĐT trên ta nhận được
2 2 2
3
a b c ab bc ca a b b c c a
.
Đặt
, , , ,
x y z
a b c
y z x
ta nhận được
3 3 3
3
xy x y yz y z zx z x x y z xyz
và đây chính là Shur bậc 3.
a c b c a c b c
2 2
2 2 2 2
1 3
.
4 4
a b
a c b c
Dấu đẳng thức xảy ra khi
1.
a b c
Bài 35:
Với a, b, c > 0 và số tự nhiên dương n. Chứng minh rằng:
n
n n
a
a
a a
b c a b a b c a
Bài 36: Cho a, b là hai số không âm thỏa
3 3
1
a b
. Tìm giá trị lớn nhát của
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
a bc b ca c ab
b bc c c ca a a ab b
.
Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
22
Lời giải:
Không mất tổng quát, ta có thể giả sử b là số nằm giữa a và c.
BĐT đã cho tương đương với
2
2
2 2
2
6.
a b c
b bc c
Áp dụng Cauchy – Schwarz, ta có:
Ta cần chứng minh
2
2
2 2 2 2 2 2
2 6 3 1
a b c b a c a b abc a
.
Ta có:
2
2
2 2 2 2 2
4 2 2
2 2 6 3
2 .
a a b abc a a b abc a
a abc a a b
BĐT này hiển nhiên đúng theo BĐT Schur:
4 2 2
a abc a ab a b
Và BĐT AM – GM:
2 2 2 2
2 .ab a b a b
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc a = c, c = 0 và các hoán vị.
Theo Cauchy – Schwarz:
2
.
3 1
3 1
a a a
VP a VT
a
a
Bài 39: (Toc Ngan) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn
, thay vào BĐT ban đầu nhận được:
Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
23
2 2 2
2 2 2
8 69 8 69 8
10 42 10 42 10 42 48
2 2
16 5 2 1 16 5 2 1 4 5 1 2
b b c c a a
b c a
b b c c a a
b c a
Áp dụng BCS, ta có:
2 2
2 1 2 1 4 2
5a 1 16 5a
. Điều này đúng nên ta suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi
1
, 2
2
a b c
cùng các hoán vị.
Bài 40: (supermath98) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn
3
ab bc ca abc
. Tìm
GTNN của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
.
a b b c a c abc
M
a b c
Lời giải: (thanhdok14)
Vì a, b, c > 0 nên điều kiện ban đầu ta suy ra:
4 9
9 3
x y z xy yz zx x y z
xy yz zx
xyz
(theo Schur)
4 8
4 15 15 7
3 3
M xy yz zx xy yz zx xy yz zx
.
Vậy GTNN của M bằng 7 khi
1.
a b c
Bài 41: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn
1.
abc
Chứng minh:
3
2 4 3 , 0
f t t t t
t
. Ta cần chứng minh
0.
f a f b f c
Trước hết ta sẽ chứng minh:
2
f b f c f bc
Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
24
2 2
2
2
2
*
2
1
2 0
f x f
x
, thật vậy:
4 2
2 2
6 4 3 2
2
4 3 2
3 4 6
* 2 4 3 2 8 6 0
2 3 6 12 6 1 0
1 2 4 3 4 1 0
x x x
x x x
x x x x x
x x x x x
2 2 2
2 12 3 7
a b c a b c ab bc ca
Đặt
3
; ; 9 4p a b c q ab bc ca r abc p r pq
(theo Schur)
Nên ta chỉ cần chứng minh
3
2 2
9
2 12 3 7 3 9 21 0
4
p
p p p p p
p
, điều
này luôn đúng vì
3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 x
a b c x y z
a b c ab bc ca x y z xy yz z
a b c x y z VP
Bài 43: Cho
, ,x y z
không âm thỏa mãn:
2 2 2
1
x y z
. Tìm GTLN của biểu thức:
6 27
P x y z xyz
2
P x x x x f x
, với
0;1
x
.
Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
25
Ta có:
/ 2
2
2 27
6 1 1 3
2
2 2
x
f x x
x
. Ta thấy
0;1
. Lập
bảng biến thiên ta được
1
10
3
f x f
.
Vậy GTLN của P bằng 10 khi
1 2
;
3 3
x y z
.
Bài 44: (b2stfs) Cho a, b, c dương thỏa mãn
3.
a b c
Tìm GTNN của:
2 2 2
b c a
P P
Vậy GTNN của P bẳng
3
2
khi
1.
a b c
Bài 45: Cho a, b, c dương thỏa mãn
3.
a b c
Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
4
ab bc ca
a b c
a b b c c a
2 2 2 2
1 1 0 *
a c b b c c
. Với
1b
thì (*) hiển nhiên luôn xảy ra, ngược
lại nếu
1b
thì
2 2
* 2 0
VT b c b c
. (Đúng vì
2
b c
).
Lại thêm cách đặt
2
3.
3
a b c
x ab bc ca
Lời giải:
Copyright: Tài liệu đại học ©