NỘI DUNG BÀI TẬP VÀ ĐÁP ÁN MÔN TOÁN -LỚP 10
CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO –THPT
Câu 1. Giải phương trình :
3x 4 2 3x+ = −
(*)
(*)
3x 4 2 3x (1)
Pt
3x 4 3x 2(2)
+ = −

⇔

+ = −

1
x
3
Vn

=

⇔


.
Câu 2. Cho hệ phương trình :
mx 2y 1
(I)
x (m 1)y m
+ =

=
−
và
m 1
y
m 2
−
=
−
.
* Nghiệm duy nhất nguyên khi và chỉ khi
m 2 1− = ±

m 1
m 3
=

⇔

=

Câu 3. Cho phương trình :
2
mx 2(m - 2)x m 3 0 (1).+ + − =
a/ Giải và biện luận phương trình (1) theo m.
b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm
1 2
x ,x
sao cho :
1 2

− ± −
=
.
Kết luận :
+ m = 0 :
3
S
4
−
=
.
+ m > 4 :
S = ∅
.
+
m 4≤
và
m 0≠
: Phương trình (1) có hai nghiệm :
1 2
2 m 4 m
x
m
,
− ± −
=
.
b/
* Khi
m 4≤

. Tìm toạ độ trọng tâm
G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của ∆ABC.
Hướng dẫn:
VÕ HOÀNG CHƯƠNG - Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 1 -
Toạ độ trọng tâm G :
9
G 1
2
;
 
−
 ÷
 
.
Toạ độ trực tâm H :
*
AH BC 0 2 x 1 4 y 2 0
2 x 5 4 y 2 0
BH AC 0
. ( ) ( )
( ) ( )
.
uuuur uuur
uuuur uuur

= − − + + =


⇔
 

 
 ÷
 
.
Câu 5.
1. Cho hai tập hợp: A=[1; 4);
{ }
/ 3B x R x= ∈ ≤
.Hãy xác định các tập hợp:
, \A B A B∩
?
2. Tìm hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx +6 biết đồ thị của nó có đỉnh I(2,-2) và trục đối xứng là x = 2.
Giải:
1. A = [1; 4);
{ }
/ 3B x R x= ∈ ≤
= [-3, 3]

1;3A B
 
∩ =
 

\ (3;4)A B =
2. Thay tọa độ đỉnh I(2;-2), ta có hệ phương trình:
4a 2 4
2
2a

.
Vậy hàm số cần tìm là y = x
2
– 4x +6 .
Câu 6.
1. Cho hệ phương trình:
x 2 1
( 1)
m y
x m y m

+ =

+ − =

. Hãy xác định các tham số thực m để hệ phương trình
có nghiệm duy nhất.
2. Cho phương trình:
2 2
2 x+m -m=0x m−
. Tìm tham số thực m để phương trình có hai nghiệm
phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn
1 2
2 1
3
x x

m 2
−
=
−
.
2. Phương trình:
− −
2 2
x 2mx + m m = 0
có hai ngiệm phân biệt khi
' 0∆ >

0m⇔ >
TheoYCBT thì:
+
+ = ⇔ =
2 2
1 2 1 2
2 1 1 2
3 3
.x
x x x x
x x x

⇔ + − =
2
1 2 1 2
( ) 5x x 0x x
VÕ HOÀNG CHƯƠNG - Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 2 -


∀ > ⇒ >
. Áp dụng BĐT Cô si cho ba số, ta được:
3
1 1 1 1 1 1
3 . .
x y z x y z
+ + ≥
(2)
Nhân BĐT (1) & (2) vế theo vế, ta được:
1 1 1
( )( ) 9x y z
x y z
+ + + + ≥
. đpcm
Câu 8.
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho các vectơ:
= − = − = +
uuur r r uuur r r uuur r r
OA i 2j, OB 5i j, OC 3i 2j.
Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.
2. Cho
4
sin (0 )
5 2
π
α α
= < <
. Tính giá trị biểu thức:
+ α
=



. ( ) ( )
( ) ( )
.
uuuur uuur
uuuur uuur
.
*
25 2
( ; )
7 7
H −
.
2. Ta có:
4
sin
5
α
=
. Tìm được
3 4
cos ; tan
5 3
α α
= =
Thay vào biểu thức:
α
α
+

( )
+ + = + + + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuuur
2
2 2 2
AB BC CA AB BC CA 2AB.BC 2AB.CA 2BC.CA
⇔ + + = + +
uuur uuur uuur uuur uuuruuuur
2 2 2
a b c 2AB.BC 2AB.CA 2BC.CA
⇔ + + = + +
2 2 2
a b c 2ac.cosB 2cbcosA 2ab.cosC
+ +
⇔ = + +
2 2 2
a b c cosA cosB cosC
2abc a b c
Câu 10.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x
2
- 2x – 3.
b) Tìm m để phương trình: x
2
-
2x
- m + 1 = 0 có bốn nghiệm phân biệt
Giải: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x
2
- 2x – 3

VÕ HOÀNG CHƯƠNG - Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 4 -
Bảng biến thiên:
x
- ∞ 1 - ∞
+ ∞ + ∞
- 4
y
*Đồ thị (C ) đi qua các điểm: (-1;0),(0;- 3), (2;-3),(3;0)
* Đồ thị (C ): y = x
2
- 2x - 3
b) Tìm m để phương trình: x
2
-
2x
- m + 1 = 0 có bốn nghiệm phân biệt
Ta có: x
2
-
2x
- m + 1 = 0 ⇔ x
2
-2
x
-3 = m – 4 (1)
* Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của đồ thị (C
1
) : y = x
2
-2

− + = − +


− = − −

có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
* D =
2
2
2 -m-1
2 1 ( 1)(2 1)
1 -m
m m m m= − + + = − − +
D
x
=
3 2 3 2
2 2
1 -m-1
3 2 2 (2 1)
2 -m
m
m m m m m m m
m m
− +
= − − − − = − +
− −
D
y
=

D m m
+
= = − −
− − −
* Để x
∈¢
,y
∈¢
thì : m- 1 = ± 1, m- 1= ± 2. Suy ra: x ∈ {2; 0; 3; - 1}
VÕ HOÀNG CHƯƠNG - Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 5 -
x
x
d: y = m - 4
m -1
O
1
-1
3
-4
I
-3
2
-3
-2
y
x
y =
x
2
-2x-3


* t = 1: x
2
- 4x +4 = 1 ⇔ x
2
– 4x + 3 = 0
5 13
2
x
±
⇔ =
* t = - 3: x
2
- 4x +4 = - 3 ⇔ x
2
– 4x + 7 = 0.Phương trình này vô nghiệm
Vậy nghiêm của pt (1):
5 13
2
x
±
=
Câu 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho :A(2;6),B(-3;4),C(5;0)
a) Chứng minh A,B,C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho
2AD BC= −
uuur uuur
Giải:
a) Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác.
*

⇒ -2
BC
uuur
= (-16;-8)
*
2AD BC= −
uuur uuur
⇔
2 16
6 8
x
y
− = −


− = −

⇔
14
2
x
y
= −


= −

Câu14. Cho ∆ABC có trọng tâm G.Đặt
a
r

a
r
và
b
r
.
CB GB GC a b= − = −
uuur uuur uuur r r
GA GB GC a b= − − = − −
uuur uuur uuur r r
2AC AG GC GA GC a b= + = − + = +
uuur uuur uuur uuur uuur r r
2BA BG GA GB GA a b= + = − + = − −
uuur uuur uuur uuur uuur r r
Câu 15. Giải phương trình:
a)
4 7 2 3x x+ = −
(1) b)
2 3 1x x+ = −
(2)
Giải: a) Điều kiện
7
4
x ≥ −
Pt (1)
2
4 7 4 12 9x x x⇒ + = − +
⇒
4x
2

−
n ên bị loại)
VÕ HOÀNG CHƯƠNG - Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 6 -
+) Với x<
3
2
−
phương trình trở thành -2x-3=x-1 Hay x=
2
3
−
(lo ại)
Vậy: Phương trình vô nghiệm.
Câu 16. Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
8
a b b c c a
b c c a a b
   
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
Giải: Áp dụng bất đ ẳng th ức Côsi cho hai số dương ,ta được
( )
( )
( )
2 0 1
2 0 2
2 0 3
a b a
b c c

x≤ ≤
. Ta có 2x-2>0 và -2x+3>0.
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dương là 2x-2>0 và -2x+3>0. ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1 1
(2x-2)+(-2x+3) 2 2 2 2 3 ( ) 2 2 2 3 2 2 2 3
2 2 8
x x x x x x≥ − − + ⇔ ≥ − − + ⇔ − − + ≤
Hay y
≤

1
8
.Vậy giá trị lớn nhất của y là
1
8
tại x =
5
2
Câu 18. Cho A(-4;2);B(2;6);C(0;-2)
a) Hãy tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC
c) Xác định toạ độ trực tâm H của tam giác ABC
Giải: a) Tứ giác ABCD là hình bình hành nên
AB DC=
uuur uuur
(1)
Mà
(6;4)AB =

G −
c) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( )
4; 2 ; 2; 6 ; 2; 8 ; 4; 4AH x y BH x y BC AC= + − = − − = − − = −
uuur uuur uuur uuur
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
12
x
2 x 4 8 y 2 0
AH BC AH.BC 0 x 4y 4 0
5
BH AC x y 4 0 8
4 x 2 4 y 6 0
BH.AC 0
y
5

= −


− + − − =
⊥ = − − + =
 
  
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
⊥ − + =
− − − =

Pt
3x 4 2x 1 x 3

3x 4 1 2x x 1
− = − =
 
⇔ ⇔
 
− = − =
 
So sánh điều kiện kết luận pt có nghiệm x = 3 và x =1
b) Đặt đk:
2
x 2x 6 0

2x 1 0

− + ≥

− ≥

Pt
2 2
x 1
x 2x 6 4x 4x 1
5
x
3
= −





+ ≥


aab
c
ac
b
bc
a 1
≥++⇔
+
cb
11
+
( đpcm)
VÕ HOÀNG CHƯƠNG - Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 8 -