Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Trang 150 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Thế vào điều kiện biên suy ra
g
a
(x) = u
a
(x, 0) = g
1
(x) - g
1
(0) -
l
x
(g
1
(l) - g
1
(0))
g
c
(x) = u
c
(x, d) = g
3
(x) - g
3
(0) -
l
x
(g

y
(g
4
(d) - g
4
(0)) (8.7.11)

Kết hợp các công thức (8.7.4) - (8.7.8) nhận đợc công thức
u(x, y) = u
0
(x, y) +

+
=








+

1k
kk
x
l
k
siny

shdx
d
k
shb
(8.7.12)

Định lý
Cho các hàm g
1
, g
3
C
1
([0, l], 3) và g
2
, g
4
C
1
([0, d], 3) thoả mn
g
4
(0) = g
1
(0), g
1
(l) = g
2
(0), g
2

Đ8. Bài toán Neumann

Bài toán NE1
Cho miền D = [0, R] ì [0, 2] và hàm h C([0, 2], 3)
Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace
u =
2
2
2
u
r
1
r
u
r
rr
1


+








-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.

-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 151
Thay vào phơng trình (8.8.1) nhận đợc hệ phơng trình vi phân
() + () = 0
r
2
V(r) + rV(r) - V(r) = 0, 3 (8.8.3)

Bài toán (8.8.3) có họ nghiệm riêng độc lập
u
0
= a
0
, u
k
(r, ) = r
k
(a
k

(8.8.4)
Thế vào điều kiện biên (8.8.2)
r
u


(R, ) =

+
=

+
1k
kk
1k
)ksinbkcosa(kR
= h()
Nếu hàm h có thể khai triển thành chuỗi Fourier thì
a
0
= u(0, )
a
k
=





2


Lập luận tơng tự nh các bài toán DE2 chung ta giải các bài toán sau đây

Bài toán NE2b
Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và hàm h
b
C([0, d], 3).
Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace
u =
2
2
2
2
y
u
x
u


+


= 0 với (x, y) D
0

và các điều kiện biên
u(x, d) = u(0, y) = u(x, 0) = 0,
x
u




d
0
b
ydy
d
k
sin)y(h
d
lk
chk
2
(8.8.6)

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i

a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.

+
=



1k
k
y
d
k
sin)xl(
d
k
shd

với d
k
=





d
0
d
ydy
d
k
sin)y(h

(l, y) = h
2
(y),
x
u


(0, y) = h
4
(y)

Tìm nghiệm của bài toán NE2 dới dạng
u(x, y) = u
0
(x, y) + u
a
(x, y) + u
b
(x, y) + u
c
(x, y) + u
d
(x, y) (8.8.8)
Trong đó các hàm u
a
(x, y) và u
c
(x, y) là nghiệm của bài toán DE2a và DE2c, các hàm
u
b

Thế vào điều kiện biên suy ra
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t

.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 153
g
a
(x) = g
1
(x) - g
1
(0) -
l
x
(g
1
(l) - g

)0(g)0(g)l(g)l(g
d
y
1313
+

h
d
(y) = h
4
(y) - (B + Dy)
= h
4
(y) -
l
)0(g)l(g
11

-
l
)0(g)0(g)l(g)l(g
d
y
1313
+
(8.8.11)

Kết hợp các công thức (8.7.4), (8.7.6), (8.8.6), (8.8.7) và (8.8.8) suy ra công thức
u(x, y) = u
0

=









+

1k
kk
y
d
k
sin)xl(
d
k
shdx
d
k
shb
(8.8.12)

Định lý
Cho các hàm g
1
, g


(l) = h
b
(d)
Chuỗi hàm (8.8.12) với hàm u
0
(x, y) xác định theo các công thức (8.8.9) - (8.8.10) và
các hệ số a
k
và c
k
xác định theo các công thức (8.7.5) và (8.7.7) còn các hệ số b
k
và d
k

xác định theo các công thức (8.8.6) và (8.8.7) với các hàm g
a
, g
c
, h
b
và h
d
xác định theo
công thức (8.8.11) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán NE2.


= a
2
2
2
x
u


+ 3xt
2
u

t=0
= sinx
3.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ xe
-t
u

h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m

a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Trang 154 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Giải các bài toán giả Cauchy
5.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ xsint u

t=0
= sinx, u(0, t) = 0
6.
t

+ te
-x
u

t=0
= cosx ,
x
u


(0, t) = sint
8.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ xe
-t
u

t=0
= sinx ,

2
2
2
x
u


+ tsinx u

t=0
= sinx, u(0, t) = u(l, t) = 0
11.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ tcosx u

t=0
= cosx , u(0, t) = 0, u(l, t) = t
12.
t

+ (1 - x)e
t
u

t=0
= 1, u(0, t) = e
t
, u(l, t) = 0
14.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ xe
t
u

t=0
= 2x, u(0, t) = 0, u(l, t) = e
t
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k

u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.