Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng
Trang 130 Giáo Trình Toán Chuyên Đề

2
2
t
v


= a
2
2
2
x
v



v(x, 0) = g(x) - p(0) -
l
x
(q(0) - p(0)) = g
1
(x)
t
v


(x, 0) = h(x) - p(0) -
l
x

2
2
x
w


+ f(x, t) - p(t) -
l
x
(q(t) - p(t)) = a
2
2
2
x
w


+ f
1
(x, t)
w(x, 0) = 0,
t
w


(x, 0) = 0
w(0, t) = w(l, t) = 0 (7.8.5)


Giải các bài toán (7.8.4) và (7.8.5) tìm các hàm v(x, t) và w(x, t) sau đó thế vào công

([0,T],
3
) thoả mn
g(0) = p(0), g(l) = q(0) và h(0) = p(0), h(l) = q(0)
Hàm u(x, t) xác định theo công thức (7.8.3) với các hàm v(x, t) và w(x, t) là nghiệm của
các bài toán (7.8.4) và (7.8.5) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán HH1.

Ví dụ Giải bài toán
2
2
t
u


= 4
2
2
x
u


+ xt với (x, t)

[0, 1]
ì
[0, T]
u(x, 0) = sin

x,
t

1
0
và b
k
= 0 với k
*

Suy ra
v(x, t) = cos2tsinx
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w

i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 131
Giải bài toán HH2a
f
k
(t) = 2t

k

= 0
Tìm đợc các hàm
T
k
(t) =










+
tk2sin
k2
1
t
)k(2
-1)(
3
1k
với k
*
Suy ra nghiệm của bài toán
u(x, t) = xt + cos2tsinx +

Nhận xét Bằng cách kéo dài liên tục các hàm liên tục từng khúc, các công thức trên vẫn
sử dụng đợc trong trờng hợp các hàm g và h có đạo hàm liên tục từng khúc.

Bài tập chơng 7

Đa về chính tắc các phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 sau đây.
1.
2
2
x
u


+ 2
yx
u
2


+ 5
2
2
y
u


- 16u = 0

+ 9u = 0
3. 2
2
2
x
u


+ 3
yx
u
2


+
2
2
y
u


+ 7
x
u


- 4
y
u



Lập bài toán phơng trình Vật lý - Toán từ các bài toán sau đây.
7. Dây rất mảnh có độ dài l đặt trên trục Ox, mút x = 0 cố định, mút x = l chuyển động
theo qui luật Asint, dao động trong môi trờng có lực cán tỷ lệ với vận tốc, hệ số tỷ lệ
là , độ lệch ban đầu là g(x), vận tốc ban đầu là h(x). Xác định dao động của dây?
8. Đĩa rất mỏng đồng chất bán kính R đặt trong mặt phẳng Oxy, mật độ nguồn nhiệt
trong tỷ lệ với khoảng cách đến tâm, nhiệt độ môi trờng giữ ở nhiệt độ u
0
, nhiệt độ ban
đầu là g(x, y). Xác định phân bố nhiệt trên đĩa?
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng
Trang 132 Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Giải bài toán Cauchy
9.

2
2
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ te
-x
u

t=0
= sinx,
t
u



t=0
= x + cosx
11.
2
2

= a
2
2
2
x
u


+ tcosx u

t=0
= sinx,
t
u



t=0
= 2x

Giải bài toán giả Cauchy
13.
2
2
t
u


= a
2

x
u


+ tsinx u

t=0
= xcosx,
t
u



t=0
= sinx, u(0, t) = e
-t
15.
2
2
t
u


= a
2
2
2
x
u


x
u


+ xcosx u

t=0
= sinx,
t
u



t=0
= cosx,
x
u


(0, t) = 0

Giải các bài toán hỗn hợp sau đây với H = [0, l] ì 3
+
17.
2
2
t
u



x
u


u

t=0
= 0,
t
u



t=0
= xsinx và u(0, t) = u(l, t) = 0
19.
2
2
t
u


= a
2
2
2
x
u



t
u



t=0
= 0 và u(0, t) = u(l, t) = 0
21.
2
2
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ tcosx u

t=0
= sinx,
t
u



2
2
t
u


+ 2
t
u


= a
2
2
2
x
u


u

t=0
= g(x),
t
u



t=0
= h(x) và u(0, t) = u(l, t) = 0

r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w

t
u


= a
2
2
2
x
u


với (x, t) H
0
(8.1.1)
và điều kiện ban đầu
u(x, 0) = g(x) (8.1.2)

Tìm nghiệm riêng bị chặn của bài toán CP1a dạng tách biến
u(x, t) = X(x)T(t)
Thế vào phơng trình (8.1.1) đa về hệ phơng trình vi phân
T(t) + a
2
T(t) = 0
X(x) + X(x) = 0
Hệ phơng trình vi phân trên có họ nghiệm riêng bị chặn
T(t) =
t)a(
2
e

Thế vào điều kiện ban đầu (8.1.2)
u(x, 0) =

+
+
0
d]xsin)(Bxcos)(A[ = g(x)
Nếu hàm g có thể khai triển thành tích phân Fourier thì
A() =

+



d)cos()(g
1
và B() =

+



d)sin()(g
1

Thay vào công thức (8.1.3) và biến đổi
u(x, t) =

+


g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D

.
c
o
m
.
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Trang 134 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
u(x, t) =

+

+












d)(gd)x(cose
1
0
t)a(
2
(8.1.4)

2
=

+


0
ds2cose
ta
1
2
=
ta
1
I(s)
Đạo hàm I(s), sau đó tích phân từng phần, nhận đợc phơng trình vi phân
I(s) =

+


0
2
des2sin = -2sI(s) và I(0) =
2

I(s) =
2

2

2
(8.1.5)

Định lý Cho hàm g C(D, 3) B(D, 3). Bài toán CP1a có nghiệm duy nhất và ổn định
xác định theo công thức (8.1.5)
Chứng minh
Theo giả thiết hàm g liên tục và bị chặn
(x, t) H, s 3, g(x + 2a
t
s)
2
s
e

M
2
s
e


Suy ra tích phân (8.1.5) bị chặn đều. Do đó có thể lấy giới hạn và đạo hàm qua dấu tích
phân theo x hai lần, theo t một lần. Kiểm tra trực tiếp hàm u(x, t) là nghiệm của phơng
trình (8.1.1) thoả mn điều kiện ban đầu (8.1.2)

x
u


=












+


de
ta8
)x(
ta4
1
)(g
ta4
)x(
2/55
2
2/33
2
2t
u

2/53
2
2/3
2
2
= a
2
2
2
x
u



+0t
lim u(x, t) =
+0t
lim

+


+

dse)s ta2x(g
1
2
s
= g(x)


x
u


, u(x, 0) = g
1
- g
2
= g
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w

i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.