Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 145
Tìm nghiệm của bài toán DE1a dạng tách biến
u(r, ) = V(r)()
Thế vào phơng trình (8.6.1) nhận đợc hệ phơng trình vi phân
() + () = 0 (8.6.3)
r
2
V(r) + rV(r) - V(r) = 0, với 3 (8.6.4)
Phơng trình (8.6.3) có họ nghiệm riêng trực giao, tuần hoàn chu kỳ T = 2

k
(x) = A
k
cosk + B
k
sink,
k
= k
2
với A
k
, B
k
3, k

Thay vào phơng trình (8.6.4) tìm họ nghiệm riêng độc lập và bị chặn
V
k
(r) = C
k

, k
* Tìm nghiệm tổng quát của bài toán DE1a dạng chuỗi hàm
u(r, ) = a
0
+

+
=
+
1k
kk
k
)ksinbkcosa(r
(8.6.5)
Thế vào điều kiện biên (8.6.2)
u(R, ) = a
0
+

+
=
+
1k
kk
k
)ksinbkcosa(R
= g()




2
0
k
dksin)(g
R
1
(8.6.6)

Định lý Cho g C
1
([0, 2], 3) thoả mn g(0) = g(2). Chuỗi hàm (8.6.5) với các hệ số
a
k
và b
k
tính theo công thức (8.6.6) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE1a.
Chứng minh
Lập luận tơng tự nh bài toán CP1

Ví dụ Giải bài toán DE1 u = 0 với u(R, ) = 2Rsin
Hàm g() = 2Rsin thoả mn các điều kiện của định lý. Theo công thức (8.6.6)
a
k
= 0 và b
k
= 2R



=




+

R||
d
)(g
z
z
i2
1
= Re

=


R||
d)(F
i2
1
= ReI(z) (8.6.7)
Click to buy NOW!
P
D
F
-

o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-



Chuyển qua toạ vị phức
g(

) = 2R
i
2
1
(e
i

- e
-i

) =
2
22
R
i
1


và F(

) =
2
22
R
z


C([0, 2

],
3
)
Tìm hàm u

C(D,
3
) thoả mn phơng trình Laplace


u(r,

) = 0 với (r,

)

D
0
(8.6.9)
và điều kiện biên
u(

,

) = g(

), u(R,

+ b
k
r
-k
)cosk

+ (c
k
r
k
+ d
k
r
-k
)sink

với a
k
, b
k
, c
k
, d
k



3
, k


(8.6.11)
Thế vào điều kiện biên (8.6.10)
u(

,

) = a
0
+ b
0
ln

+

+
=

+++
1k
k
k
k
k
k
k
k
k
]k

sin)

k
k
k
k
]k

sin)RdR(ck

cos)RbR[(a
= h(

)

Nếu hàm g có thể khai triển thành chuỗi Fourier thì
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e

n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt

a
k

k
+ b
k

-k
=




2
0
dkcos)(g
1
a
k
R
k
+ b
k
R
-k
=





=




2
0
dksin)(h
1
(8.6.12)

Định lý Cho các hàm g, h C
1
([0, 2], 3) thoả mn g(0) = g(2), h(0) = h(2). Chuỗi
hàm (8.6.11) với các hệ số a
k
, b
k
, c
k
và d
k
xác định từ hệ phơng trình (8.6.12) là
nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE1b.

Đ7. Bài toán Dirichlet trong hình chữ nhật


X(x) + X(x) = 0
Y(y) - Y(y) = 0
X(0) = X(l) = Y(d) = 0 với 3 (8.7.3)
Bài toán (8.7.3) có họ nghiệm riêng độc lập
X
k
(x) = A
k
sin
x
l
k

, Y
k
(y) = B
k
sh )yd(
l
k


,
k
=
2
l
k




Tìm nghiệm tổng quát của bài toán DE2a dạng chuỗi hàm
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-

w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Trang 148 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
u(x, y) =

+
=1k
k
)y,x(u
=

+
=


Nếu hàm g
a
có thể khai triển thành chuỗi Fourier trên đoạn [0, l] thì
a
k
=



l
0
a
xdx
l
k
sin)x(g
l
dk
lsh
2
(8.7.5)

Định lý
Cho hàm g
a


C
1
([0, l],


u = 0 với (x, y)

D
0

và điều kiện biên
u(l, y) = g
b
(y), u(x, d) = u(0, y) = u(x, 0) = 0

Định lý
Cho hàm g
b


C
1
([0, d],
3
) thoả mn g
b
(0) = g
b
(d) = 0. Bài toán DE2b có
nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức
u(x, y) =

+
=

ì
[0, d] và hàm g
c


C([0, l],
3
).
Tìm hàm u

C(D,
3
) thoả mn phơng trình Laplace


u = 0 với (x, y)

D
0

và điều kiện biên
u(x, d) = g
c
(x), u(0, x) = u(x, 0) = u(l, y) = 0

Định lý
Cho hàm g
c



l
0
c
xdx
l
k
sin)x(g
l
dk
lsh
2
(8.7.7)
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e

e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 149


1k
k
y
d
k
sin)xl(
d
k
shd

với d
k
=



d
0
d
ydy
d
k
sin)y(g
d
lk
dsh
2
(8.7.8)

Bài toán DE2

b
(x, y) + u
c
(x, y) + u
d
(x, y)
Trong đó u

(x, y) là nghiệm của bài toán DE2.
Hàm
u
0
(x, y) = A + Bx + Cy + Dxy (8.7.9)
là nghiệm của bài toán DE sao cho u

(x, y) triệt tiêu tại các đỉnh của hình chữ nhật.
Do tính liên tục của hàm u(x, y) trên biên D
u(0, 0) = g
4
(0) = g
1
(0) = A
u(l, 0) = g
1
(l) = g
2
(0) = A + Bl
u(l, d) = g
2
(d) = g

)0(g)d(g)0(g)d(g
4422
+
(8.7.10)

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o

r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.