Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng
Trang 120 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Bài toán Diriclet (DE) Bài toán Neumann (NE)
Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn
phơng trình Laplace phơng trình Laplace
2
2
x
u


+
2
2
y
u


= f(x, y)
2
2
x
u


+
2
2
y
u



2
2
t
u


= a
2
2
2
x
u


với (x, t) H
0
(7.4.1)
và điều kiện ban đầu
u(x, 0) = 0,
t
u


(x, 0) = h(x) (7.4.2)

Đổi biến = x + at, = x - at
Tính các đạo hàm riêng bằng công thức đạo hàm hàm hợp



2
22
2
2
2
2
uu
2
u
x
u


+


+


=


,








2
=



Tích phân hai lần
u(, ) = () + ()
Trở về biến cũ
u(x, t) = (x + at) + (x - at)
Thế vào điều kiện ban đầu (7.4.2)
u(x, 0) = (x) + (x) = g(x) và
t
u

(x, 0) = a[(x) - (x)] = h(x)
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i

a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.

Do hàm h C
1
(D, 3) nên hàm u C
2
(H, 3). Kiểm tra trực tiếp
(x, t) H,
t
u


=
2
1
a[h(x + at) + h(x - at)]
2
2
t
u


=
2
1
a[h(x + at) + h(x - at)] = a
2
2
2
x
u


(x, 0) = h
i

thì u = u
1
- u
2
là nghiệm của bài toán
2
2
t
u


= a
2
2
2
x
u


, u(x, 0) = 0,
t
u


(x, 0) = h
1
- h

1
- u
2
|| < = T
Vậy bài toán có nghiệm duy nhất và ổn định trên H
T
với mỗi T cố định. Do tính liên tục
của nghiệm suy ra bài toán có nghiệm duy nhất và ổn định trên H.
Bài toán CH1b
Cho các miền D = 3, H = D ì 3
+
và hàm g C(D, 3).
Tìm hàm u C(H, 3) thoả mn phơng trình truyền sóng

2
2
t
u


= a
2
2
2
x
u


w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e


(D, 3) và v(x, t) là nghiệm của bài toán CH1a với
t
v


(x, 0) = g(x)
Bài toán CH1b có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức sau đây
u(x, t) =
t
v


(x, t) =

+




atx
atx
d)(g
ta2
1
(7.4.4)
Chứng minh
Do hàm g C
2
(D, 3) nên hàm v C
3




= a
2
t
v
x
2
2





x D, u(x, 0) =
t
v


(x, 0) = g(x),
t
u


(x, 0) = a
2
2
2
x

u


+ f(x, t) với (x, t) H
0
và điều kiện ban đầu
u(x, 0) = 0,
t
u


(x, 0) = 0

Đinh lý
Cho hàm f C(H, 3) và v(x, , t) là nghiệm của bài toán CH1a trên H ì 3
+
với
v(x, , 0) = 0 và
t
v


(x, , 0) = f(x, )
Bài toán CH1c có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức sau đây.
u(x, t) =


t
0
d)t,,x(v (7.5.1)

w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e




= v(x, t, 0) +




t
0
d)t,,x(
t
v
=




t
0
d)t,,x(
t
v

2
2
t
u


=

x D, u(x, 0) = 0,
t
u


(x, 0) = 0
Tính duy nhất và ổn định của nghiệm suy ra từ bài toán CH1a.
Bài toán CH1
Cho các miền D = 3, H = D ì 3
+
, các hàm f C(H, 3) và g, h C(D, 3).
Tìm hàm u C(H, 3) thoả mn phơng trình truyền sóng

2
2
t
u


= a
2
2
2
x
u




++



+

+

+

t
0
ax
ax
atx
atx
atx
atx
d)t,(fdd)(hd)(g
ta2
1
(7.5.2)

Định lý
Cho các hàm f C(H, 3), g C
2
(D, 3) và h C
1
(D, 3). Bài toán CH1 có









++



+


+

+

t
0
ax
ax
t
atx
atx
atx
atx
dde2d2dcos
ta2

.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i

, H = D ì 3
+
, các hàm f C(H, 3) và g, h C(D, 3).
Tìm hàm u C(H, 3) thoả mn phơng trình truyền sóng

2
2
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ f(x, t) với (x, t) H
0
điều kiện ban đầu
u(x, 0) = g(x),
t
u


(x, 0) = h(x)
và điều kiện biên
u(0, t) = 0



(x, 0) = h
1
(x) với (x, t) 3 ì 3
+Theo công thức (7.5.2) chúng ta có
v(x, t) =
2
1
[g
1
(x + at) + g
1
(x - at)] +

+


atx
atx
1
d)(h
a2
1
+

+





t
0
a
a
1
d)t,(fd
a2
1
= 0
Suy ra các hàm f
1
, g
1
và h
1
phải là các hàm lẻ.
Tức là
f
1
(x, t) =



<

0 x t) f(-x,-

u(x, t) =








++



+

+

+

t
0
ax
ax
1
atx
atx
1
atx
atx
1

e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n