Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 135
Từ công thức (8.1.5) chúng ta có ớc lợng sau đây
(x, t) H, | u(x, t) |

+


+

dse|)tas2x(g|
1
2
s
sup
D
g()
Từ đó suy ra
g = g
1
- g
2
= 0 u = u
1
- u
2
= 0
|| g || = || g
1
- g
2

++

dsee)]t2s(t4)t8x[(
1
xt4)t2s(
2

=








+


+


+


det4de)t8x(e
1
22
xt4
với = s + 2 t


Định lý
Cho hàm f C(H, 3) B(D, 3) và hàm v(x, , t) là nghiệm của bài toán CP1a
thoả mn v(x, , 0) = f(x, ).
Bài toán CP1b có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức sau đây
u(x, t) =


t
0
d)t,,x(v =

+









t
0
)t(a4
)x(
de
t
),(f
d

e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n

t
u


=




t
0
d)t,,x(
t
v
+ v(x, t, 0) = a
2




t
0
2
2
d)t,,x(
x
v
+ f(x, t)
= a
2


C(H,
3
) thoả mn phơng trình truyền nhiệt
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ f(x, t) với (x, t)

H
0
và điều kiện ban đầu
u(x, 0) = g(x)


Tìm nghiệm của bài toán CP1 dới dạng
u(x, t) = u
a
(x, t) + u
b
(x, t)


=











+



+




+



t
0
a4
)x(



+ 3t
2
và u(x, 0) = sinx
Hàm f(x, t) = t
2
, g(x) = sinx thoả mn điều kiện của định lý. Theo công thức (8.2.2)
u(x, t) =

+


+

dse)sta2xsin(
1
2
s
+











X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c

t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 137
I(t) =

+

+


)e(de
t2
ia
2
s)sta2x(i
=
+

+



=
ta
2
e

(cosx + i sinx) (8.2.3)
Tách phần thực, phần ảo suy ra các tích phân cần tìm. Cần ghi nhận kết quả và phơng
pháp tính tích phân trên để sử dụng sau này.

Tính trực tiếp tích phân
J(t) =












+


t
0
s2
ddse)t(3

t
u


= a
2
2
2
x
u


+ f(x, t) với (x, t) H
0
và các điều kiện
u(x, 0) = g(x), u(0, t) = 0

T tởng chung để giải bài toán SP là tìm cách chuyển về bài toán CP tơng đơng.
Giả sử f
1
và g
1
tơng ứng là kéo dài của các hàm f và g lên toàn 3, còn hàm v(x, t) là
nghiệm của bài toán Cauchy sau đây.

t
v


= a


+




+



t
0
a4
)x(
1
ta4
)x(
1
de
)t,(f
dde
t
)(g
a2
1
2
2
2
2


r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w

+



+




+



t
0
a4
1
ta4
1
de
)t,(f
dde
t
)(g
a2
1
2
2
2
2

f(0, t) = 0 và g(0) = 0
Bài toán SP1a có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức
u(x, t) =

















+
+



0
ta4
)x(
ta4
)x(


+




t
0 0
a4
)x(
a4
)x(
dee
)t,(f
d
2
2
2
2
(8.3.1)

Ví dụ Giải bài toán
t
u


= a
2
2
2


+


t
0
s
ddse)sa2x)(t(2
1
2

= ImI(t) +











+


+


t

2
2
2
x
u


với (x, t) H
0
và các điều kiện
u(x, 0) = 0, u(0, t) = h(t)

Định lý
Cho hàm h C(3
+
, 3) B(3
+
, 3). Bài toán SP1b có nghiệm duy nhất và ổn định
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c

C(
3
+
,
3
)

B(
3
+
,
3
) nên tích phân (8.3.2) hội tụ đều H. Do đó có thể đạo
hàm theo x hai lần, theo t một lần. Kiểm tra trực tiếp
x
u


=







t
0
a4
x

2
x
u


=








t
0
a4
x
2/5
3
de
)t(h
a4
x
2
2
+




)0(h
a2
x


-






t
0
a4
x
2/3
)t(dhe
1
a2
x
2
2

=






= a
2
xx
u



Theo công thức (8.3.2) ta có u(x, 0) = 0
Đổi biến tích phân (8.3.2)
s =
a2
x
, u(x, t) =

+



ta2
x
s
22
2
dse)
sa4
x
t(h
2
2


u(x, 0) = g(x), u(0, t) = h(t)

Tìm nghiệm của bài toán SP1 dới dạng
u(x, t) = u
a
(x, t) + u
b
(x, t)
trong đó u

(x, t) là nghiệm của bài toán SP1
Kết hợp các công thức (8.3.1) và (8.3.2), suy ra công thức sau đây.

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w

g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.