Chơng 6. Lý Thuyết Trờng
Trang 110 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Đ8. Trờng ống

Trờng vectơ (D, F ) với F = {X, Y, Z} gọi là trờng ống nếu có trờng vectơ (D, G )
với G = {X
1
, Y
1
, Z
1
} sao cho F = rot G. Tức là
X =
z
Y
y
Z
11





Y =
x
Z
z
X
11



dS,nF
=


dVdivF
(6.8.3)
3. Thông lợng đi qua các mặt cắt của một luồng là nh nhau.
Giả sử S là mặt trụ kín nh hình bên
S = S
0
+ S
1
+ S
2
Trong đó S định hớng theo pháp vecto ngoài n
S
0
định hớng theo pháp vecto n
0
ngợc hớng
với trờng vectơ F, S
1
định hớng theo pháp
vecto n
1
cùng hớng với trờng vectơ F. S
2

định hớng theo pháp vecto n
2

2
nF

Từ đó suy ra


><
1
S
dS,
1
nF
= -

><
0
S
dS,
0
nF
=

><
0
S
dS,
1
nF

Hay nói cách khác thông lợng của trờng ống đi qua các mặt cắt là một hằng số.

2

S
1

n
1

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w

e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 6. Lý Thuyết Trờng
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 111
u = div (grad u) = div (rot G) = 0 (6.8.5)
Tức là hàm thế vị của trờng điều hoà là hàm điều hoà.

Từ các kết quả ở trên suy ra ý nghĩa cơ học của trờng ống nh sau.
1. Trong trờng điều hoà không có điểm xoáy, điểm nguồn

2

a. Tìm độ lớn và hớng của vectơ grad u tại điểm A(1, - 2, 1)
b. Tìm góc giữa grad u(1, 1, 1) và grad u(1, -1, 0)
c. Tìm điểm M sao cho grad u(M) đồng phơng với trục Oy

3. Cho trờng bán kính r =
222
zyx ++

a. Tìm
e

r
với e{-1, 0, 1} b. Tìm grad
r
1
và grad r
2
c. Tìm grad f(r) với hàm f là hàm có đạo hàm liên tục.

4. Tìm Divergence của các trờng vectơ F tại điểm A sau đây.
a. F = {xy, yz, zx} và A(1, 1, 2) b. F = {xy
2
, yz
2
, zx
2
} và A(-2, 0, 1)
c. F = {xyz, x + y + z, xy + yz + zx} và A(0, 1, 2)

h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m

a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 6. Lý Thuyết Trờng
Trang 112 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
6. Chứng minh các đẳng thức sau đây.
a. div (F ì G) = F rot G - G rot F b. rot (rot F) = grad (div F) - F

7. Cho (D, u) và (D, v) là các trờng vô hớng, r =
222
zyx ++
là trờng bán kính,
còn hàm f là hàm có đạo hàm liên tục. Hy tính
a. div (grad f(r)) b. div (u grad v) c. rot (grad rf(r))

8. Tính thông lợng của trờng vectơ F qua mặt cong S.
a. F = {x, y, z} qua phần mặt phẳng x + y + z = 1 trong góc phần tám thứ nhất
b. F = {xy, yz, zx} qua phần mặt cầu x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 trong góc phần tám thứ nhất
c. F = {xy, yz, zx} qua phần mặt parabole z = x

và 0 z 4

9. Tính hoàn lu của trờng vectơ F dọc theo đờng cong .
a. F = {x, y, z} theo đờng xoắn ốc x = a cost, y = a sint, z = bt với t [0, /2]
b. F = {xy, yz, zx} theo đoạn thẳng nối hai điểm A(a, 1, 1) và B(2, 4, 8)
c. F = {-y, x, 0} theo đờng cong kín (x - 2)
2
+ y
2
= 1 và z = 0
d. F = {x
3
, y
3
, z
3
} theo đờng cong kín x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 và x + y + z = 1
e. F = {xy
2
, x
2
y, z} theo đờng cong kín z = x
2
+ y

u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r

và các hàm a, b, c : D 3. Phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính
cấp 2 với hai biến độc lập có dạng nh sau
a(x, y)
2
2
x
u


+ 2b(x, y)
yx
u
2


+ c(x, y)
2
2
y
u


= F(x, y, u,
x
u


,
y
u


x
u


=
x
u
x
u




+




,
y
u


=
y
u
y
u


u
x
u
xx
u
2
x
u




+




+










+


u
yx
u
22
2
22
2
2




+




+






+






2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
y
u
y
u
y
u
yy
u
2
y
u




+









Thay vào phơng trình (7.1.1) nhận đợc
a
1
(, )
2
2
u


+ 2b
1
(, )

u
2
+ c
1
(, )
2
2
u


= F
1
(, , u,












Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r


V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng
Trang 114 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
b
1

c
1
(, ) = a(x, y)
2
x








+ 2b(x, y)
yx



+ c(x, y)
2
y













+ 2b(x, y)
yx



+ c(x, y)
2
y










= 0 (7.1.3)
thì a
1
(x, y) = b
1
(x, y) = c
1
(x, y) = 0. Khi đó phơng trình (7.1.1) có dạng chính tắc


2
- 2b(x, y)y + c(x, y) = 0 với a(x, y) 0 (7.1.4)
gọi là
phơng trình đặc trng
của phơng trình (7.1.1)

1. Nếu (x, y) = b
2
(x, y) - a(x, y)c(x, y) > 0 thì phơng trình (7.1.4) có nghiệm thực
y =


dx
)y,x(a
)y,x()y,x(b
+ C
Đổi biến
+ = y -


dx
)y,x(a
)y,x()y,x(b
và - = y -

+
dx
)y,x(a
)y,x()y,x(b


F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k

u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.