Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 125
Bài toán SH1b
Cho các miền D = 3
+
, H = D ì 3
+
và hàm p C(3
+
, 3)
Tìm hàm u C(H, 3) thoả mn phơng trình truyền sóng

2
2
t
u


= a
2
2
2
x
u


với (x, t) H
0
điều kiện ban đầu
u(x, 0) = 0,
t

u


= a
2
2
2
x
u


+ f(x, t) với (x, t) H
0
điều kiện ban đầu
u(x, 0) = g(x),
t
u


(x, 0) = h(x)
và điều kiện biên
u(0, t) = p(t)

Tìm nghiệm của bài toán SH1 dới dạng u(x, t) = u
a
(x, t) + u
b
(x, t)
trong đó u


atx
1
d)t,(fdd)(hd)(g
ta2
1

+ (t -
a
x
)p(t -
a
x
) (7.6.3)

Định lý
Cho các hàm f C(H, 3), g C
2
(D, 3), h C
1
(D, 3) và p C
2
(3
+
, 3) thoả
g(0) = 0, h(0) = 0 và f(0, t) = 0
Bài toán SH1 có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức (7.6.3) với f
1
, g
1
và

-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w

2
x
u


+ 2xt với (x, t)


3
+
ì3
+

u(x, 0) = sinx,
t
u


(x, 0) = 2x
u(0, t) = sint
Do các hàm f, g và h là hàm lẻ nên các hàm kéo dài lẻ f
1
= f, g
1
= g và h
1
= h. Thay vào
công thức (7.6.3) chúng ta có
u(x, t) =


x
)sin(t -
2
x
)
= sinxcos2t + 2xt +
6
1
xt
3
+

(t -
2
x
)sin(t -
2
x
) với (x, t)


3
+
ì

3
+Nhận xét Phơng pháp trên có thể sử dụng để giải các bài toán giả Cauchy khác.

x
u


với (x, t)

H
0
(7.7.1)
điều kiện ban đầu
u(x, 0) = g(x),
t
u


(x, 0) = h(x) (7.7.2)
và điều kiện biên
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 (7.7.3)

Bài toán HH1a đợc giải bằng phơng pháp tách biến mà nội dung của nó nh sau
Tìm nghiệm của bài toán HH1a dạng tách biến
u(x, t) = X(x)T(t)
Đạo hàm u(x, t) hai lần theo x, theo t sau đó thế vào phơng trình (7.7.1)
X(x)T(t) = a
2
X(x)T(t) suy ra
)x(X
)x(X



w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V

T(t) = 0 (7.7.5)
X(0) = X(l) = 0 với 3 (7.7.6)

Phơng trình vi phân (7.7.4) có phơng trình đặc trng
k
2
+ = 0
Nếu = -
2
thì phơng trình (7.7.4) có nghiệm tổng quát X(x) = C
1
e
-

x
+ C
2
e

x

Thế vào điều kiện (7.7.6) giải ra đợc C
1
= C
2
= 0. Hệ chỉ có nghiệm tầm thờng.
Nếu = 0 thì phơng trình (7.7.4) có nghiệm tổng quát X(x) = C
1
+ C
2

k
=
2
l
k







, k
*

Thế các
k
vào phơng trình (7.7.5) giải ra đợc
T
k
(t) = B
k
cos t
l
ak

+ C
k
sin t
l

với a
k
= A
k
B
k
, b
k
= A
k
C
k
, k
* Tìm nghiệm tổng quát của bài toán HH1a dạng chuỗi hàm
u(x, t) =

+
=1k
k
)t,x(u
=

+
=




k
sina
= g(x) và
t
u


(x, 0) =

+
=

1k
k
x
l
k
sinb
l
ak
= h(x)
Nếu các hàm g và h có thể khai triển thành chuỗi Fourier trên đoạn [0, l] thì
a
k
=


l
0
xdx

và b
k
tính theo công thức (7.7.8) là nghiệm duy nhất và
ổn định của bài toán HH1a.

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o

r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng
Trang 128 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Chứng minh
Các hàm g và h theo giả thiết thoả mn điều kiện Dirichlet do đó khai triển đợc thành
chuỗi Fourier hội tụ đều và có các chuỗi đạo hàm hội tụ đều trên đoạn [0, l].
Suy ra chuỗi hàm (7.7.7) với các hệ số a
k
và b
k
tính theo công thức (7.7.8) là hội tụ đều


+=
+
=
12n k
)1n2(
8l
2n k 0
22
2
và b
k
= 0 với k
*
Suy ra nghiệm của bài toán
u(x, t) =

+
=
++
+
0n
33
2
x
l
)1n2(
sint
l
a)1n2(

u(x, 0) = 0,
t
u


(x, 0) = 0
và điều kiện biên
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0
Tìm nghiệm bài toán HH1b dới dạng chuỗi hàm
u(x, t) =

+
=

1k
k
x
l
k
sin)t(T
(7.8.1)
Khai triển Fourier hàm f(x, t) trên đoạn [0, l]
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h

P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a

sin)t,x(f
l
2

Sau đó thế vào bài toán HH1b

+
=
















+

1k
k
2
k

+
=


1k
k
x
l
k
sin)0(T
= 0
Chúng ta nhận đợc họ phơng trình vi phân hệ số hằng
)t(T
k


+
2
l
ak







T
k
(t) = f

p, q C([0, T], 3). Tìm hàm u C(H, 3) thoả mn phơng trình truyền sóng
2
2
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ f(x, t) với (x, t) H
0
điều kiện ban đầu
u(x, 0) = g(x),
t
u


(x, 0) = h(x)
và điều kiện biên
u(0, t) = p(t), u(l, t) = q(t)

Tìm nghiệm bài toán HH1 dới dạng
u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) + p(t) +
l

-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w