Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Trang 140 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
u(x, t) =

















+
+



0
ta4
)x(
ta4
)x(
dee
















+

+




t
0 0
a4
)x(
a4
)x(
dee
)t,(f


= a
2
2
2
x
u


với (x, t) H
0
(8.4.1)
điều kiên ban đầu
u(x, 0) = g(x) (8.4.2)
và điều kiện biên
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 (8.4.3)

Tìm nghiệm của bài toán HP1a dạng tách biến
u(x, t) = X(x)T(t)
Thế vào phơng trình (8.4.1) và điều kiện biên (8.4.3) đa về hệ phơng trình vi phân
X(x) + X(x) = 0 (8.4.4)
T(t) + a
2
T(t) = 0 (8.4.5)
X(0) = X(l) = 0 với 3 (8.4.6)
Lập luận tơng tự nh bài toán HH1a, tìm nghiệm riêng không tầm thờng của hệ
phơng trình (8.4.4) và (8.4.6), nhận đợc họ nghiệm riêng trực giao trên đoạn [0, l]
X
k
(x) = A

h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m

a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 141
T
k
(t) = B
k
t
l
ak
2
e








với B
k



sin
x
l
k

với a
k
= A
k
B
k
, k
* Tìm nghiệm tổng quát của bài toán HP1 dạng chuỗi hàm
u(x, t) =

+
=1k
k
)t,x(u
=

+
=




Nếu hàm g có thể khai triển thành chuỗi Fourier thì
a
k
=


l
0
xdx
l
k
sin)x(g
l
2
(8.4.8)

Định lý Cho hàm g C
1
(D, 3) thoả mn g(0) = g(l) = 0. Chuỗi hàm (8.4.7) với các hệ
số a
k
tính theo công thức (8.4.8) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán HP1a.
Chứng minh
Hàm g theo giả thiết thoả mn điều kiện Diriclet và do đó khai triển đợc thành chuỗi
Fourier hội tụ đều trên đoạn [0, l].
Do đó chuỗi hàm (8.4.7) với các hệ số a
k
tính theo công thức (8.4.8) là hội tụ đều và có
thể đạo hàm từng từ theo x hai lần, theo t một lần trên miền H. Kiểm tra trực tiếp thấy
rằng chuỗi hàm (8.4.7) và các chuỗi đạo hàm riêng của nó thoả mn phơng trình (8.4.1)



=





+=
+
=
12n k
1)(2n
8
2n k 0
33

Thế vào công thức (8.4.7) suy ra nghiệm của bài toán
u(x, t) =

+
=
+
+
+
0n
t)1n2(
33
x)1n2sin(e
)1n2(

u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r


= a
2
2
2
x
u


+ f(x, t) với (x, t) H
0
điều kiện ban đầu
u(x, 0) = 0
và các điều kiện biên
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0

Tìm nghiệm bài toán HP1b dạng chuỗi hàm
u(x, t) =

+
=

1k
k
x
l
k
sin)t(T
(8.5.1)
Khai triển Fourier hàm f(x, t) đoạn [0, l], thế vào bài toán HP1b

ak
)t(T =

+
=

1k
k
x
l
k
sin)t(f

với f
k
(t) =


l
0
dx
l
xk
sin)t,x(f
l
2
và

+
=

Giải họ phơng trình vi phân tuyến tính hệ số hằng (8.5.2) tìm các hàm T
k
(t) thế vào
công thức (8.5.1) suy ra nghiệm của bài toán.

Định lý Cho hàm f C(H, 3) C
1
(D, 3). Chuỗi hàm (8.5.1) với các hàm T
k
(t) xác định
bởi hệ phơng trình (8.5.2) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán HP1b.

Bài toán HP1
Cho các miền D = [0, l], H = D ì [0, T], các hàm f C(H, 3), g C(D, 3) và các hàm
p, q C([0, T], 3). Tìm hàm u C(H, 3) thoả mn phơng trình truyền nhiệt
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ f(x, t) với (x, t) H
0
điều kiện ban đầu

-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w


= a
2
2
2
x
v



v(x, 0) = g(x) - p(0) -
l
x
(q(0) - p(0)) = g
1
(x)
v(0, t) = v(l, t) = 0 (8.5.4)
với điều kiện biên
g
1
(0) = g
1
(l) = 0 g(0) = p(0), g(l) = q(0)

Hàm w(x, t) là nghiệm của bài toán HP1b

t
w



1
(D, 3), g C
2
(D, 3) và p, q C
1
([0, T], 3) thoả
mn g(0) = p(0), g(l) = q(0)
Hàm u(x, t) xác định theo công thức (8.5.3) với hàm v(x, t) và hàm w(x, t) là nghiệm của
các bài toán (8.5.4) và (8.5.5) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán HP1.

Ví dụ Giải bài toán
t
u


= 4
2
2
x
u


với (x, t) [0, 1] ì [0, T]
u(x, 0) = x và u(0, t) = 0, u(1, t) = e
-t

Tìm nghiệm của bài toán dới dạng u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) + xe
-t
với hàm v(x, t) là
nghiệm của bài toán HP1a với g

)t(T
k

+ (2k)
2
T
k
(t) =
t
1k
e
k
-1)(2

+

, T
k
(0) = 0
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g

-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.

)

+
=



1k
tt)k2(
22
k
xksinee
)1k4(k
-1)(2

2Nhận xét Bằng cách kéo dài liên tục, các công thức trên vẫn sử dụng đợc trong trờng
hợp các hàm f và g có đạo hàm liên tục từng khúc.

Đ6. Bài toán Dirichlet trong hình tròn

Xét toán tử vi phân Laplace trong mặt phẳng
u(x, y) =
2
2





=






u
sin
r
1
r
u
cos
y
u


=
y
u
y
r
r
u


2
2
2
2
2
2
2
2
2
u
sin
r
1
r
u
sin
r
1u
sincos
r
2
r
u
sincos
r
2
r
u
cos


2
2
u
cos
r
1
r
u
cos
r
1u
sincos
r
2
r
u
sincos
r
2
r
u
sin


+


+




=
2
2
2
u
r
1
r
u
r
rr
1


+









Bài toán DE1a
Cho miền D = [0, R] ì [0, 2] và hàm g C([0, 2], 3).

o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w