Chơng 6. Lý Thuyết Trờng
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 105
Nếu F là trờng chất lỏng thì thông lợng chính là lợng
chất lỏng đi qua mặt cong S theo hớng pháp vectơ n
trong một đơn vị thời gian.

Cho trờng vectơ (D, F ) với F = {X, Y, Z}. Trờng vô hớng
div F =
z
Z
y
Y
x
X


+


+


(6.4.2)
gọi là
divergence
(nguồn) của trờng vectơ
F
.

Ví dụ Cho trờng vectơ
F

u,
F
>
Chứng minh
Suy ra từ định nghĩa (6.4.2) và các tính chất của đạo hàm riêng.
Giả sử là miền đóng nằm gọn trong miền D và có biên là mặt cong kín S trơn từng
mảnh, định hớng theo pháp vectơ ngoài
n
. Khi đó công thức Ostrogradski đợc viết lại
ở dạng vectơ nh sau.


><
S
dS, nF
=


dVdivF
(6.4.3)
Chọn là hình cầu đóng tâm A, bán kính . Từ công thức (6.4.3) và định lý về trị trung
bình của tích phân bội ba suy ra.
div F(A) =

><

S

n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P

k
.
c
o
m
Giỏo trỡnh phõn tớch cu to lý thuyt
trng v phng thc s dng
toỏn t divergence
.
Chơng 6. Lý Thuyết Trờng
Trang 106 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Đ5. Hoàn lu

Cho trờng vectơ (D, F ) và đờng cong kín, trơn từng khúc, nằm gọn trong miền D,
định hớng theo vectơ tiếp xúc T. Tích phân đờng loại hai
K =


>< ds, TF
=


++ ZdzYdyXdx
(3.5.1)
gọi là
hoàn lu
của trờng vectơ F dọc theo đờng cong kín .
Nếu F là trờng chất lỏng thì hoàn lu là công
dịch chuyển một đơn vị khối lợng chất lỏng dọc
theo đờng cong theo hớng vectơ T.



x
Z
z
X
j
+













y
X
x
Y
k
(6.5.2)
gọi là
rotation
(xoáy) của trờng vectơ

) =
rot

F
+
rot

G

2.
rot
(u
F
) = u
rot

F
+ [
grad
u,
F
]
Chứng minh
Suy ra từ định nghĩa (6.5.2) và các tính chất của đạo hàm riêng.
Giả sử S là mặt cong trơn từng mảnh, nằm gọn trong miền D, định hớng theo pháp
vectơ
n

>< ds,
S
1
lim
0
TF
(6.5.4)
Theo công thức trên, cờng độ của trờng vectơ
rot

F
theo hớng pháp vectơ
n
tại điểm
A là công tự quay của điểm A theo hớng trục quay
n
.



Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n

F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k

=
x

i
+
y

j
+
z

k
(6.6.1)
với
x

,
y

và
z

tơng ứng là phép lấy đạo hàm riêng theo các biến x, y, và z gọi là
toán tử Hamilton
.

Tác động toán tử Hamilton một lần chúng ta nhận đợc các trờng
grad
, div và
rot

z
u


k
(6.6.2)
2. Tích vô hớng của vectơ với trờng vectơ
F
là trờng vô hớng div
F

F
= (
x

i
+
y

j
+
z

k
)(X
i
+ Y
j
+ Z
k

a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!

c
k
.
c
o
m
.
Chơng 6. Lý Thuyết Trờng
Trang 108 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
ìF = (
x

i
+
y

j
+
z

k
) ì (X
i
+ Y
j
+ Z
k
)
=


Z
z
X
j
+













y
X
x
Y
k
(6.6.4)

Tác động toán tử Hamilton hai lần chúng ta nhận đợc các toán tử vi phân cấp hai.
4. Với mọi trờng vô hớng (D, u) thuộc lớp C
2
div (
grad



+
2
2
z
u


= u (6.6.5)
Toán tử
=
2
2
x


i
+
2
2
y

j
+
2
2
z



+
z
u


k
) = 0 (6.6.6)
Tức là
rot
(
grad
u) = ìu = 0
6. Với mọi trờng vectơ (D,
F
) thuộc lớp C
2
div (
rot

F
) = div


























k
y
X
x
Y
= 0 (6.6.7)
Tức là div (
rot

F
) = ( ì
F
) = 0
7. Với mọi trờng vectơ (D,

y
Z
i
+











x
Z
z
X
j
+










= {X, Y, Z} gọi là
trờng thế
nếu có trờng vô hớng
(D, u) sao cho
F
=
grad
u. Tức là
X =
x
u


Y =
y
u


Z =
z
u


(6.7.1)
Hàm u gọi là
hàm thế vị
của trờng vectơ
F
.
Click to buy NOW!

c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d


><
S
dS, nFrot
= 0
với S là mặt cong trơn từng mảnh, nằm gọn trong miền D và có biên định hớng theo
pháp vectơ n là đờng cong .
Suy ra với mọi A, M D tích phân


++
AM
ZdzYdyXdx

không phụ thuộc vào đờng lấy tích phân.
Cố định điểm A D và đặt
u(M) =

++
AM
ZdzYdyXdx
với M D
Do các hàm X, Y, Z có đạo hàm riêng liên tục nên hàm u có đạo hàm riêng liên tục trên
miền D. Kiểm tra trực tiếp ta có
grad u = F
Từ đó suy ra trờng vectơ F là trờng thế và hàm u là hàm thế vị của nó.
Từ các kết quả ở trên suy ra ý nghĩa cơ học của trờng thế nh sau.
u(N)

u(M)

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w

i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.