Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
1/ Giải bpt:
( )
2
4x 3 x 3x 4 8x 6− − + ≥ −
Giải: BPT
( )
(
)
2
4 3 3 4 2 0x x x⇔ − − + − ≥
2 2
4 3 0 4 3 0
3 4 2 3 4 2
x x
x x x x
− ≥ − ≤
 
 
⇔ ∨
 
− + ≥ − + ≤
 
 
Hệ thứ nhất
2
3 3
3
4 4
3 4 4 0 3
x x

Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là
[
)
3
0; 3;
4
 
∪ +∞
 
 

2/ Giải bpt:
1 1
2 3 5 2x x x
≤
+ − − −
,(1)
Giải: ĐK :
( )
1 1 5
2 0;3 0;5 2 0; 2 3 2; ;
2 2 2
x x x x x x
   
+ ≥ − ≥ − > + ≠ − ⇔ ∈ − ∪
÷  ÷

   
(*)
+) Nếu

−
⇔ ≥ + − ⇔ − − ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥
mà
1 5
2 2
x< <

⇒
5
2
2
x≤ <
Vậy tập nghiệm của (1) là
1 5
2; 2;
2 2
S
   
= − ∪
÷ ÷
 
   

3/ Giải bpt:
2
3 2 1 2 4 3x x x x x x
+ + + ≥ + + +
.
Giải: ĐK:
1x

3
4 3 4 3 0
1
2 3
4
x
x x x
x
x x x x
x x
x x
≥


+ ≥ ≥ ≥
 
 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≥
   
≥ + − − ≥
≤ − ∨ ≥
≥ +
 




Hệ (I)
1 0
1 1


Giải: Tập xác định: D =
{ }
[
)
1
; 1 2;
2
 
−∞ ∪ ∪ +∞


 
• x = 1 là nghiệm
• x
≥
2: BPT
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2 1 1 1x x x x x⇔ − − − − − ≥ −
⇔
2 1 2 1− ≥ − + −x x x
vô nghiệm
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
• x
1
2
≤
: BPT
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 1x x x x x⇔ − − − − − ≥ − −

−
−

Giải: ĐK:
( )
2
1 0 1;1x x− > ⇔ ∈ −
BPT
( ) ( )
2 2 2 2
2
2 2 2
0
0
1 3 1 1 2 3 1
2 9 1
x
x
x x x x x x
x x x
≤


>

⇔ > − − + ⇔ − > − ⇔





≤

≤


≤



< <
>



⇔ ⇔ ⇔
>





 


− + >
< >
 




x
x
x
x x x
x x

− ≥


≤ ≤
 
⇔ − ≥ ⇔
 
 
− = −

− − = −


Với
10
2
3
x≤ ≤
thì (*)
( )
( )
2
2 4 3 2
4 9 10 3 8 16 27 90 0x x x x x x x⇔ − = − ⇔ − + + − =

2
1 1; 0t x x t t= + ⇒ = − ≥
. Ta có BPT:
( ) ( )
2
2 2
1 1 12 36t t t− + − + ≤
( )
4 2 3 2
12 36 0 2 2 3 36 0 2 0 2t t t t t t t t t
 
⇔ − + − ≤ ⇔ − + + + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤
 
1 3x
⇒ − ≤ ≤

9/ Giải pt:
)1(2)1(
2323
xxxx −=−+
Giải: ĐK:
[ ]
1;1x ∈ −
. PT đã cho
(
)
2 2 2
1 1 1 1 . 2x x x x x x
 
⇔ + − − − = −

+)
( )
2
2 2 2 2
2
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 0
2
t x x x x x x x x x= ⇒ + − = ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ − + = ⇔ =
(TM)
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
+)
( )
2 2
2
2
2 1 0
2 1 1 2 1 1 2 1
1 2 1
x
t x x x x
x x

− + − ≥

= − + ⇒ + − = − + ⇔ − = − + − ⇔

− = − + −




2
2 1 1 2 1t x x= − − ⇒ + − = − −
, vô nghiêm vì
2
1 1 1x x x≥ − ⇒ + − ≥ −
Vậy pt đã cho có hai nghiệm
2
2
x =
và
1 2 1 2 2
2
x
− − − +
=

10/ Giải pt:
044321112
3
2
=−−+− xxx
Giải: PT đã cho
2
3
2 11 21 3 4 4x x x⇔ − + = −
; Ta có
2
3
2 11 21 0, 4 4 0 1x x x x x− + > ∀ ⇒ − > ⇒ >
Đặt

⇔ − − + + + + = ⇔ = ⇒ =
 

11/ Giải bpt:
( )
( )
2
3 1 1 2 3 4x x x x+ − − + + − ≥

Giải: Điều kiện
1≥x
.
Nhân hai vế của bpt với
3 1 0x x+ + − >
, ta được
BPT
( )
( )
2 2
4. 1 2 3 4. 3 1 1 2 3 3 1x x x x x x x x⇔ + + − ≥ + + − ⇔ + + − ≥ + + −
2 2 2 2
2
2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 4 0
2
x
x x x x x x x x
x
≤ −

⇔ + − + + − ≥ + + + − ⇔ − ≥ ⇔

Giải: ĐK:
[ ]
1;1x ∈ −
. BPT
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1 1 1 2 1 1 , 2x x x x x x x x x⇔ + − − ≤ + + − ⇔ ≤ + + −
- Nếu
(
]
( )
2 2
0;1 , 2 2 1 1 4 2 2 1 1 1x x x x x∈ ⇔ ≤ + + − ⇔ ≤ + − ⇔ − ≥
vô nghiệm
- Nếu x = 0
( )
2⇒
đúng
- Nếu
[
) ( )
2
1;0 , 2 2 1 1 1 1x x x x∈ − ⇔ ≥ + + − ⇔ − ≤
đúng
[
)
1;0x∀ ∈ −
Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là đoạn
[ ]

5
x x x+ − − ≥
f’(x) =
4 3
0
2 4 1 2 3 2x x
+ >
+ −
nªn f ®ång biÕn.
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
V f(2) = 5 nªn phà ¬ng tr×nh: f(x) = 5 ⇔ f(x) = f(2) ⇔ x = 2 (tháa mãn). VËy nghiÖm duy nhÊt x = 2.

15/ Giải bpt:
(
)
( )
522141522
222
+−≤++++−+ xxxxxxxx
Giải: BPT
(
)
( )
0
5212
1232
)1(522
22
2
2

5212
)13(2
522)1(
22222
22
2
≤+−++−+++−+++⇔
≤






+−++
−
++−++⇔
xxxxxxxxx
xxx
xx
xxx

101 −≤⇔≤+⇔ xx
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là T =
(
]
1;−∞−
.

16/ Giải bpt :

≤ ∨ ≥

− + ≥


+


− ≥
≥
 

⇔ ≤ − ∨ ≥ ⇔
 

− − ≥
 

≤ −
− +

 
≤ ∨ ≥
− + ≥



Bpt
2 2 2 2
3 7 3 3 5 1 3 4 2 0x x x x x x x⇔ − + − − − + − + − − ≥

+

−∞ − ∪
 

 

17/ Giải bpt:
2
3 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − >
Giải: ĐK:
1
;6
3
x
 
∈ −
 
 
BPT
( )
( )
( ) ( )
2
3 5
5
3 1 4 6 1 3 14 5 0 5 3 1 0
3 1 4 6 1
x
x

2
3
5 1 2 9 2 2 3 5x x x x⇔ − − + − − = + −
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
3
3
2
3
3
1
5 1
1
5 1
1 2 5
2 5; *
5 1 2
9 2 9 4
5 1 2
9 2 9 4
x
x
x
x x
x
x

9 1 3 7 1 3 4x x x+ < + − +

Giải: §k:
4
3
x ≥ −
§Æt
3 4u x= +
;
0u
≥

( ) ( )
( )
2
2 2
2 2 2
3 4 3 7 3; 9 1 3 3 1u x x u x x u⇒ = + ⇒ + = + + = + = −
BPT trë thµnh:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2 2
2 2 2
1 3 1 1 1 3 1u u u u u u u− < + − ⇔ − + < + −
( ) ( )
2
2

⇔

− − + − + = ∗



Đặt
2
t x 5x 5= − +
thì
( )
∗
suy ra
t 1 x 1, x 4= ⇒ = =
thỏa điều kiện.
Vậy, phương trình cho có nghiệm:
x 1, x 4= =

21/ Giải pt:
2
1 1
2
2
x
x
+ =
−
.
Giải : ĐK:
( 2; 2) \{0}x ∈ −

1 2 1 2 1
2
2 1
x
t x x x x x
x x
− − ≥

− −

=− ⇒ − + =− ⇔ − =− − ⇔ ⇔ =

− = − −


+) với
( )
2 2
2
2
2 0
2 2 2 2 2 1
2 2
x
t x x x x x
x x
− + ≥


= ⇒ − + = ⇔ − =− + ⇔ ⇔ =

= −

+) Với
( )
2 2
2
2
3 0
3 3 3 3 3 1
3 3
x
t x x x x x
x x
− ≥


= ⇒ + + = ⇔ + = − ⇔ ⇔ =

+ = −


+) Với
( )
2 2
2
2
4 0
4 3 4 3 4
3 4
x

1 1 ; 0b x b x b= − ⇒ = − ≥
Ta có hệ
( )
( )
2 2 2 2
2 2
3 3 2 2
2 2
2
1 2 1 2
1 1
a b a b
a b
ab a b ab ab a b a b ab ab
ab a b
 
+ = + =

+ =
  
⇔ ⇔
  
   
+ − = + + − + + = +
+ − =

 
   

 


 + = >
+ = >

+ = >
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
   
+ + − = + − = =

  



= −



2
2
x⇒ =

24/ Giải bpt :
2
1 1 2
4
x
x x+ + − ≤ −
Giải: ĐK:
[ ]

 ÷
 
( ) ( )
2
3 2 2
1 15 17 0 1 2 17 0t t t t t t t
   
⇔ − + + − ≥ ⇔ − + + ≥
   
đúng
0t
∀ ≥
Vậy bpt đã cho có nghiệm là
[ ]
1;1x∀ ∈ −

25/ Giải bpt :
2
1 3 2 10 16x x x x− + − ≥ − +
Giải: ĐK:
1x ≥
. Đặt
2
1 1; 0t x x t t= − ⇒ = + ≥
. Ta có bpt:
( ) ( )
2
2 2 2
2 2 1 10 1 16t t t t+ − ≥ + − + +
( )

( ) ( ) ( )
2 2
3 2 2
1 3 4 0 1 4 4 0 2 0 2 5t t t t t t t t x
   
⇔ + − + ≤ ⇔ + − + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ = ⇔ =
   
Đáp số: x = 5

26/ Giải bpt:
(
)
2 2
1 1 1 2 1x x x+ − ≥ + −
Giải: ĐK :
[ ]
1;1x ∈ −
.
* Nếu
[ ]
1;0x∈ −
thì bất phương trình nghiệm đúng
[ ]
1;0x∀ ∈ −
* Nếu
[ ]
0;1x∈
thì bất phương trình
(
)

[ ]
0;1x∈
1
0;
2
x
 
⇒ ∈
 
 
.
Vậy tập nghiệm của BPT là đoạn
1
1;
2
 
−
 
 

27/ Giải bpt :
3
1
2
>−
−
x
x
x
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884

Khi x > 1,
( )
2 2 2
(*) 1 1 0 1 1 2 1; 2x x x x⇔ − − > ⇔ > − ⇔ < ⇒ ∈
Khi x <-1,
( )
2 2 2
(*) 1 1 0 1 1 2 2; 1x x x x⇔ − − < ⇔ − > ⇔ > ⇒ ∈ − −
Vậy đk có nghiệm là
( ) ( )
2; 1 1; 2x ∈ − − ∪
BPT
2
2 2
2
2
2 2
3 2 3
1
1 1
x x x
x x
x
x x
 
⇔ − > ⇔ − + >
 ÷
−
− −
 

2 2 4 2
3 1 0
1
3 5 3 5 18 6 5
18 6 5
1
2
2 2 4
t x x x
t t
x
t x x
  
+ + +

> − > > > +
  

  
⇔ − + > ⇔ ⇒ ⇔ ⇔

  
− − −

< −
< − < <
  


  

1
, 0t t
x
= >
Ta được
2 2 2 2
2 1 3 2 3 1t t t t t t t t+ + + − + = ⇔ + + = − − +
2 2 2 2
2 9 1 6 1 3 1 4t t t t t t t t t⇒ + + = + − + − − + ⇔ − + = −
2 2 2
1
4 0 4
7
9(1 ) 16 8 8 7 0
8
t
t t
t
t t t t t t
=

− ≥ ≤
 

⇔ ⇔ ⇔
 

= −
− + = − + − − =
 

x x
x x x x
x x x x
+ − −
⇔ + + − + − + − = − ⇔ + = −
+ + + − + +
=

− + −

⇔ + = − ⇔
+

+ =
+ + + − + +

+ + + − + +

(*) vô nghiệm vì VT<2+1=3

29/ Giải pt
32 4 2
2 1x x x x+ − = +
.
Giải: TXĐ: R
+ Với
0x
=
, pt vô nghiệm
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884

2 3
2 4 3 4x x x x+ + = +

Giải: ĐK :
0x ≥
; PT
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 4 3 4 4 2 3 4x x x x x x x x⇔ + + = + ⇔ + + = +
2
2
1 2 3
4
4
x x
x
x
⇔ + =
+
+
. Đặt
2
0
4
x
t t
x
= ⇒ ≥
+
, ta có pt :

2 4 2
3
3 1 1
3
− + = − + +
(1)
Giải: Chú ý:
x x x x x x
4 2 2 2
1 ( 1)( 1)+ + = + + − +
,
x x x x x x
2 2 2
3 1 2( 1) ( 1)− + = − + − + +
(1) ⇔
x x x x x x x x
2 2 2 2
3
2( 1) ( 1) ( 1)( 1)
3
− + − + + = − + + − +
.
2 2
2 2
2( 1) 3 1
1
3
1 1
x x x x
x x x x

3

−
= <



=


⇔
x x
x x
2
2
1 1
3
1
− +
=
+ +
⇔
x 1=
.

32/ Giải bpt :
3 2
3 1 2 3 1x x x− ≤ + +
.
Giải: ĐK: x ≥ 1

, ta có:
2 2
2
1
1 1 1 2
1
x
x x x x
x x
−
≤ ⇔ − ≤ + + ⇔ ≥ −
+ +
(luôn đúng)
+ Với
2t ≥
, ta có:
2 2
2
1
2 1 4( 1) 4 3 5 0
1
x
x x x x x
x x
−
≥ ⇔ − ≥ + + ⇔ + + ≤
+ +
(vô nghiệm)
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x ≥ 1.
33/ Giải pt:

+
=
+

Ta có pt
2
4 5 1 0 1 0,25t t t t− + = ⇔ = ∨ =
+)
( )
2 2 2
2
1
1 1 1 4 2 1 4; 1
4
x
t x x x x x x
x
+
= ⇒ = ⇔ + = + ⇔ + + = + ≥ −
+
3
2
x⇔ =
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
+)
( )
2 2 2
2
1 1
0,25 4 4 4 16 32 16 4; 1

.
Bpt
3 2
3 1 4( 1) 1 0x x x x x⇔ + + − + + ≤
(*)
+) Nếu
1x = − ⇒
(*) nghiệm đúng
+) Nếu
1x > −
, (*)
( ) ( )
3 2
3 2
3
4 0
1 1
x x
x x
⇔ + − ≤
+ +
2
1 0
0
1 1
1
1 0
x
x
x

≥
+


⇔ − ≤ ≤



− +

≤ ≤



. Kết hợp
1x > −
ta được
1 5
1
2
x
+
− < ≤
.
Vậy tập nghiệm của BPT là S =
1 5
1;
2
 
+

Đặt
2 2 2 4
2 2 2 4
2 2
1 1 2
1
a x a x x
a b x x
b x b x
 
= − = − +
⇒ ⇒ + = − +
 
= =
 
Ta có
( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2 2
2 2
0
2 0
0
0
a b a b ab
a b
a b a b a b

2 1 1
(*)
1 0
1 0
x x x x
x x x x
x x
x x


+ − − + ≤
− + ≤ + −

⇔ ⇔
 
+ − ≥

+ − ≥



36/ Tìm m để phương trình
( )
4 2
3 x 1 m x 1 2 x 1 1
− + + = −
có nghiệm
Giải: ĐK:
1x ≥
PT đã cho

; 1 0, 1
1
1
x
g x x g x x
x
x
−
′
= ≥ ⇒ = > ∀ ≥
+
−
. Lập bbt suy ra
( )
1 0 1 0 1x g x t∀ ≥ ⇔ ≤ < ⇔ ≤ <
Ta phải tìm m để (*) có nghiệm
[
)
0;1t ∈
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
Xét hàm số
( )
[
) ( )
2
1
3 2 ; 0;1 6 2 0
3
f t t t t f t t t
′

2 2
3 ( 1)( 2 ) 2( 2 ) 2( 1)x x x x x x⇔ + − ≤ − − +

2 2
( 2 ) 2
3 2 2
1 1
x x x x
x x
− −
⇔ ≤ −
+ +
. Đặt
( 2)
0
1
x x
t
x
−
= ≥
+
,
ta được bpt
2
2 3 2 0t t− − ≥
1
2
2
2


≤ −
⇔ ⇔ ≥ +

≥ +


( do
2x ≥
) Vậy bpt có nghiệm
3 13x ≥ +

38/ Giải pt:
3
3
1 2 2 1x x+ = −

Giải: Đặt
3
2 1y x= −
. Ta có hệ
( )
( )
3
3
1 2 1
1 2 2
y x
x y


1x ≥
. Đặt
( )
2 2 2
2 3, 0 2 3t x x t x t x= + − ≥ ⇒ = − +
BPT đã cho trở thành
( ) ( )
2
2 2 1 0 1 2 1 0t xt x t t x− − − ≤ ⇔ + − − ≤
(
)
(
)
2 2
2 3 1 2 3 2 1 0x x x x x⇔ + − + + − − − ≤
2 2
2 3 2 1 0 2 3 2 1x x x x x x⇔ + − − − ≤ ⇔ + − ≤ +
( )
2
2
2
1
2 1 0
1
2
2
2 1 2 3
3 2 4 0
x
x

Đặt :
2
t 2x 44x 18= + +
0t
⇒ >
Ta có bpt:
2 2
t x x(3 4 x) (3 4 x )t 0− − + − + ≤

(t x)(t x 3 4 x) 0 t x 3 4 x 0⇔ + − − − ≤ ⇔ − − − ≤
(vì t+x>0 với mọi x
≥
0)
Ta có bpt
2
2x 44x 18 x 3 4 x⇔ + + ≤ + −
2
2(x 3) 32x (x 3) 4 x⇔ + + ≤ + +
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
2 2 2
x 1
2(x 3) 32x ((x 3) 4 x) (x 3 4 x) 0 x 3 4 x 0
x 9
=

⇔ + + ≤ + + ⇔ + − ≤ ⇔ + − = ⇔

=



 
 
⇔ + − + + + − + = ⇔ ⇔ =
  
 
+ = +


.

42/ Giải pt :
2 2
2 1 2 ( 1) 2 3 0x x x x x x+ + + + + + + =
Giải: Đặt:
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2 1
2, 0 2
1
2 3
2 3, 0
2
v u x
u x u u x
v u
v x x
x

(biểu thức trong ngoặc vuông dương )
⇔
2 2
1
0 2 3 2
2
v u v u x x x x− = ⇔ = ⇔ + + = + ⇔ = −

Cách khác: pt
( )
2 2
2 1 ( 1) 2 3 0x x x x x x x⇔ + + + + + + + + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 ( 1) 1 2 2x x x -x -x -x⇔ + + + + + = + +
Xét hàm số
( )
2
1f t t t t= + +
trên tập
R
. Ta có pt:
( ) ( )
1f x f x+ = −
( )
2
2
2
1 1 0,
1

2 2
11 (5 4)( 35 24)x x x⇔ < − + + +
Từ BPT trên suy ra
5
5 4 0
4
x x− > ⇔ >
Hàm số
2 2
(5 4)( 35 24)y x x x= − + + +
với x> 4/5
y
′
=
2 2
2 2
1 1
5( 35 24) (5 4)( )
35 24
x x x
x x
+ + + + − +
+ +
>0 ,
4
5
x∀ >
⇒
hàm số đồng biến
4

( ) ( )
1f x f⇔ = −
( )
4 2
3 1
5 3 0;
3
2 1 3
f x x x x
x
′
= + + > ∀ <
+

( )
f x⇒
đồng biến
1
3
x∀ ≤
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
Nên bpt
( ) ( )
1 1f x f x= − ⇔ = −
ĐS: x = - 1

45/ Giải pt:
3 32 2
3 3
2 1 2 1 2x x x x+ + + = + +

2
1
6 2 5 0; 5
5
f x x x x f x
x
′
= − + + > ∀ < ⇒
−
đồng biến
5x
∀ ≤
Do đó
( ) ( )
1 1f x f x= ⇔ =
ĐS:
1x
=

47/ Giải pt:
3 2
2 3 6 16 2 3 4x x x x− + − + ≥ + +
Giải: ĐK
( )
[ ]
2
3 2
4
4 0 4
4;2

( )
1 2 3f⇒ − =
nên
( ) ( ) ( )
1 1f x f⇔ ≥ −
( ) ( )
2
3 2
6 6 6 1
0; 4;2
2 4
2 2 3 6 16
x x
f x x
x
x x x
− + −
′
= − < ∀ ∈ −
+
− + − +

( )
f x⇒
nghịch biến
[ ]
4;2x∀ ∈ −
Do đó bpt
( ) ( )
1 1f x f x≥ − ⇔ ≤ −

)
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
2
3 2 9 3 (2 1) 2 2 1 3 0 (2 1) 2 2 1 3 3 2 3 3x x x x x x x x⇔ + + + + + + + = ⇔ + + + + = − + − +
Xét hàm số
( )
(
)
2
2 3f t t t= + +
trên R, ta có pt:
( ) ( )
2 1 3f x f x+ = −
(*)
( )
2
2
2
2 3 0,
3
t
f t t t
t
′

Xét hàm số
( )
5 2
2 1; 1f x x x x x= − − − ≥
Có
( )
( ) ( )
4 4 4 4
5 2 2 2 2 2 2 0; 1f x x x x x x x x
′
= − − = − + − + > ∀ ≥
Lập bbt suy ra pt đã cho có đúng một nghiệm

51/ Tìm các giá trị của tham số
m
để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
mxxx =++−− 12213
232

Giải: ĐK:
[ ]
1;1x ∈ −
. Đặt
( )
2 3 2
3 1 2 2 1f x x x x= − − + +
,
( )
'
2

Lập BBT suy ra đk phải tìm là m = 1 hoặc
4 2 2m− ≤ < −

52/ Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm thực:
2
2 2( 4) 5 10 3 0x m x m x− + + + − + =
Giải:
PT đã cho
2
2 2( 4) 5 10 3x m x m x⇔ − + + + = −
2 2
3 0
2 2( 4) 5 10 ( 3)
x
x m x m x
− ≥


⇔

− + + + = −


2
3
2 1
2 5
x
x x
m

− +
⇒ =
−
;
3x ≥
Lập BBT suy ra phương trình có 1 nghiệm khi
{ }
3 (4; )m ∈ ∪ +∞

53/ Tìm m để phương trình:
( )
2
m x 2x 2 1 x(2 x) 0;(1)− + + + − ≤
có nghiệm x
0; 1 3
 
∈ +
 
Giải: Đặt
2
t x 2x 2= − +
⇔ t
2
− 2 = x
2
− 2x
Xét
( )
2
2 2; 0;1 3t g x x x x

2
1 2 0 , *
1
t
m t t m f t
t
−
+ + − ≤ ⇔ ≤ =
+
với
[ ]
1;2t ∈
Yêu cầu của đề bài
( )
*⇔
có nghiệm
[ ]
1;2t ∈

[ ]
( )
1;2
axm f t m⇔ ≥
Ta có
( )
[ ]
2
2
2 2
0, 1;2



+ + + =

Giải: Pt thứ nhất
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 3 2 0 2 2 3 0y x x x y
⇔ + + + = ⇔ + + =
3
2
2
x y⇔ = − ∨ = −
+Với
2x = −
thế vào (2) suy ra
2
1 7
4 12 7 0
2 2
y y y y
−
+ − = ⇔ = ∨ =
+Với
3
2
y = −
thế vào (2) suy ra
2
4 12 0 6 2x x x x+ − = ⇔ = − ∨ =
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884

4 5 18 18 0


= − −

+ − − =



( ) ( )
( )
2
2
9 5
1 3 2 6 0
y x x
x x x x

= − −

⇔

− + + − =


⇔
y x x
x
x
x

= =

= − =

= − − = +


= − + = −


56/ Giải hệ pt:
xy
x y
x y
x y x y
2 2
2
2
1 (1)
(2)

+ + =

+


+ = −

.
Giải: Điều kiện:

1 (1 )= − −
⇔
x x
2
2 0+ − =
⇔
1 0
2 3
x y
x y
= ⇒ =


= − ⇒ =

Vậy hệ có 2 nghiệm: (1; 0), (–2; 3).

57/ Giải hệ pt:
( ) ( )
3 1 2 7 2 (1)
2 4 5 (2)
x x y y x
x y x y
+ = − + +


+ + + =




49 21 2 11 7
x
x x x

≥ −



+ + = −

⇔
1 11
17
7 7
17
25
25
x
x
x

− ≤ ≤


⇔ =


=




+ + − =


+ + − =


x y x y
x y x y
Thay (1) vào (2) được
( )
2
2 2
1
(1 2 ) 3 (1 2 ) 0 2 (1 2 )(2 ) 0 0; ; 2
2
x y x y x y y x y y− + − = ⇔ − − = ⇔ = = =
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
- Với x = 0 suy ra y = 0
-Với 1-2y = 0 thay vào (1) suy ra
2
1
2
x y
−
= − =
(Vô lí)
- Với y = 2 suy ra x = 1 hoặc x = 2
Hệ có 3 nghiệm (0,0), (1,2), (2,2)
Cách khác: Từ (1)

+ +
⇔ − + − + + =
−
−
x x x x
x x x x x x
x
x
Ta có các khả năng: +) x = 0 suy ra y = 0
+)
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2 4 3 2
x +3 2 1 - 4 2 1 1 0 2 6 5 3 2 0
− + − + + = ⇔ − + − + =
x x x x x x x x x
( ) ( )
( )
2
1 2 2 1 1; 2x x x x x⇔ − − + ⇔ = =

59/ Giải hệ pt:
( )
( )
2 2 2 2
2 1
4 2

2
2 2 2
5
4 4 6 4 4 6 ; 6 6 6
2
x x x x x x x x y y⇔ + − = − ⇔ + − = − ≤ ⇔ = ⇒ = ⇒ =
Vậy hệ có một nghiệm
5
; 6
2
 
 ÷
 
Cách khác: Đặt
2 2
;a x y a x y b x y b x y= + ⇒ = + = − ⇒ = −
Thì
( ) ( )
2 2
2 2 4 4
1 1
2 2
x y x y x y a b
 
 
+ = + + − = +
 
 

60/ Giải hệ pt:

1
x y y
x
⇔ = ∨ = −
- Với
y x=
thế vào (2)
( )
( )
3 2
1 5
2 1 0 1 1 0 1
2
x x x x x x x
− ±
⇒ − + = ⇔ − + − = ⇔ = ∨ =
- Với
1
y
x
= −
thế vào (2)
( ) ( )
3 4 4 2 2
2
1 2 0 2 1 2 1 0x x x x x x x
x
⇒ − = + ⇔ + + = ⇔ − + + + + =
vô nghiệm
(vì vế trái luôn dương)

2
11
3
(3) 2 4 11
35/ 3
3 26 105 0
p
p
p p p
p
p p
≤
=


⇔ + + = − ⇔ ⇔


= −
+ − =



+) Nếu p = xy =
35
3
−
thế vào (1)
( )
2

⇒ = = −

+ = −


Vậy hệ có hai nghiệm là:
( ) ( )
3; 3 , 3; 3− −

62/ Giải hệ pt:
( )
x y xy
x y
3 3
2 2
3 4
9


− =

=


Giải: Ta có :
2 2
9 3x y xy= ⇔ = ±
.
• Khi:
3xy = −

2
4 27 0 2 31X X X− − = ⇔ = ±
Vậy nghiệm của Hệ PT là:
3 3
2 31, 2 31x y= + = − −
hoặc
3 3
2 31, 2 31x y= − = − +
.

63/ Giải hệ pt:
4
3
4
3
y
x y
x
x
y x
y

− =




− =



Vậy hệ đã cho có một nghiệm
( )
2; 2− −

64/ Gi¶i hÖ pt :





=++
=+
2)2(
1
3
22
yyxxy
xyx
y
y
x

Giải: §iÒu kiÖn
0≠xy
. Hệ
3 3
2 2 3
1 (1)
2 2 (2)
x y

1
12
3
3
=⇔= yy
• Víi
yx −=
, thay vµo (1) ta cã
( )
101
3
3
=⇔=+− yy
(v« nghiÖm).
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
• Víi
xy 2=
, ta cã
.
9
1
191)2(
3
333
=⇔=⇔=+ xxxx
VËy nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh lµ
( ) ( )




x y
2 0
1 4 1 2

− − =


− + − =


.
Giải: ĐK :
1
1;
4
x y≥ ≥
Hệ PT ⇔
( ) ( )
x y x y
x y
2 0
1 4 1 2

+ − =


− + − =


⇔


=


(thỏa mãn)

66/ Giải hệ pt:
x x y xy y
x y x y
3 2 2 3
6 9 4 0 (1)
2 (2)


− + − =

− + + =


.
Giải: -Nếu
0y =
thế vào hệ thấy vô nghiệm
- Nếu
0y ≠
,
( )
3 2
1 6 9 4 0 1 4
x x x x x


2
2 0 (3)
5 4 (4)y x
y xy
− ≥

⇔

=


Từ PT(4) ⇔ y = 0 v 5y = 4x
+) Với y = 0 thế vào PT(2) ta có x = 9 (Không thỏa mãn đk (3))
+) Với 5y = 4x thế vào PT(2) ta có
2 3 1x x x+ = ⇔ =
Vậy HPT có 1 nghiệm
4
( ; ) 1;
5
x y
 
=
 ÷
 

68/ Giải hệ pt:

;
2 4
x x
y y
= =
 
 
= =
 
• Với
3
y
x =
, thế vào (2) ta được :
2
3 2 24 0y y− + =
Vô nghiệm.
Kết luận: hệ phương trình có 2 nghiệm là:
6 12
;
2 4
x x
y y
= =
 
 
= =
 

Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884

2 3 5
2 3 2
6
xy
x y
x y
x y
+
⇔ + =
+
. Đặt
2 3
, 2.
6
x y
t t
xy
+
= ≥

Ta có
2
1 5
2 5 2 0 2
2
t t t t
t
+ = ⇔ − + = ⇔ =
2 3
2 2 3

xy x y x y xy x y xy xy
x y
=

⇔ + + = + + ⇔ + − − − = ⇔

+ =

+) Nếu
1
1xy y
x
= ⇔ =
thế vào (1)
1 1
1 1
x x
v
y y
= = −
 
⇒
 
= = −
 
+) Nếu
2 2
2x y+ =
kết hợp với (1) ta có
2 3 2 3 2 2

y y
 
= = −

 
= =
= = −
 
  
⇔ ⇔ ∨ ∨
    
= = −
 
  
+ =
= = −

 
 

71/ Giải hệ pt:
x y y
x y x y
3 3 3
2 2
8 27 7 (1)
4 6 ( 2)

+ =


2 2 2
t t t t t t− − + = ⇔ = = − =

• Với
t
3
2
= −
: Từ (1) ⇒ y = 0 (loại).
• Với
t
1
2
=
: Từ (1) ⇒
x y
3
3
1
; 4
2 4
 
= =
 ÷
 

• Với
t
9
2

2
2
2
1
4
.
1
( ) 2 7
x
x y
y
x
x y
y

+
+ + =


⇔

+

+ − =


Đặt
2
1
,

1, 2
1 1 2 0
2, 5
3 3 3
x y
x y x y x x
x y
x y y x y x
= =
  
+ = + = + − =

⇔ ⇔ ⇔
  

= − =
+ = = − = −

  
.
• Với
9
5
u
v
=

⇒

= −


+ + − =



Giải: Hệ pt ⇔
2 2 2
2 2
( 2) ( 3) 4
( 2 4)( 3 3) 2 20 0
x y
x y x

− + − =


− + − + + − − =


.
Đặt
2
2
3
x u
y v

− =

− =

=


⇒
2
3
x
y
=


=

;
2
3
x
y
= −


=

;
2
5
x
y

=

x y

 
+ + =

 ÷
  

 

+ + =
 ÷

 

Giải: ĐK:
0xy ≠
. Hệ
2
2
2 2
2 2
1 1
1 1
5
5
1 1
1 1
49
53

1 1
;a x b y
x y
= + = +
, ta có
2 2
5 5 7; 2
53 14 2; 7
a b a b a b
a b ab a b
+ = + = = = −
  
⇔ ⇔
 

+ = = − = − =
  
+)
2
2
1
7
7 45
7 7 1 0
2
1
2
2 1 0
2
1


+)
7 45
2
2
7
1
a
y
b
x

±
= −

=

⇒
 
=


= −


75/ Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
12
12

= − >

⇒ ⇒ − = +
 
= + +
= +
 


⇒
2
1
2
u
y v
v
 
= −
 ÷
 
.
Hệ phương trình đã cho có dạng:
2
12
12
2
u v
u u
v
v

+)
2 2
4 2 5
4
8 8 3
8
u x y x
x y
v x y y
x y

= − = =
  
− =

⇔ ⇔ ⇔
   
= + = =
+ =
  


(Thỏa mãn)
+)
2 2
3 1 5
3
9 9 4
9
u x y x

-1, y
≥
1Đặt
2
1 1; 0a x x a a= + ⇒ = − ≥
;
2
1 1; 0b y y a b= − ⇒ = + ≥
Ta có hệ
2 2
4
5 5 6,(*)
a b
a b
+ =



+ + + =


( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
(*) 10 2 5 5 36 2 2 25 5 2 26a b a b a b ab a b a b ab
 
⇔ + + + + + = ⇔ + − + + + + − =
 
[ ]

. Đặt
2
1 1; 0u x x u u= + ⇒ = − ≥
và
2
2 2; 0v y y v v= + ⇒ = − ≥
Ta có hệ
( )
2 2
2
2 2
( )
3 3 3 3
3 3
2 3 3
( )
2 2
u v a u v a
u v a
u v a
a a a a
u v a
u v uv a
uv u v
− = + − =
 
− =

− =


2
1 2
3 21 3 21
0 0 3 3 0
2 2
X X P a a a a
− +
≤ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − − ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥

78/ Giải hệ pt:
7 2 5
2 1
x y x y
x y x y

+ + + =


+ + − =


Giải: ĐK:
7 0;2 0x y x y+ ≥ + ≥
Đăt
2
2 2 2 2
2
7
7
7 2

3 5 8 5 2 2
1
5 5
a b
a b a x
a b b a
a b b b y
b
+ =

= − = =
  

⇔ ⇔ ⇒
   
− −
+ − = = =
+ − =
  


Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884

79/ Giải hệ pt:
4 3 2 2
3 2
x x y x y 1
x y x xy 1

− + =


 
( )
2
2
0; 1
1 0
1; 0
0 1
0; 1 1
2
1; 0 0
2
1
2 3
3
0
a b
a b x
a b
ab xy
a b x
a b
a b y
a b
x
b b
ab
xy


 






− = −
= −


 =







Vậy hệ có nghiệm (x;y) là (1;0) và (-1;0)

80/ Giải hệ pt:
4 3 2 2
2
2
2
2 5 6 11 0
3 7 6
7
x x x y x

6 6 4 0
3 6
3 6
x x x a x
x x x x a
a
x x
a x x a
a

+ − + − − =

+ − − − + =
 
⇔
 
−
+ =
+ = −
 


( ) ( )
( )
2
2 2 2
2 2
2
6 4 0
6 4 0

6
3 6
3
a
b a
a
a b
b
a

− + =


− − + =
 
⇒ ⇔
 
− = −
 

− = −


2
4 2
2
4 2
(*) 13 36 0
3
9

= ±

= ⇒ = ⇒ ⇔
 
+ =
= = −



+)
2
2
4
7 9
3 1
1 5
1 0
2
y
y
a b
x x
x
= ±


− =

= ⇒ = ⇒ ⇔
 





+ = −

+


Giải: Điều kiện:
0
0
x y
xy
+ ≠


≠

.
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
Hệ tương đương với
( )
2 2
1 1
( ) 2 ( ) 2 2 7
6
x y
x y
xy x y xy x y

 
 

.
Đặt
1 1
;x a y b
x y
+ = + =
,
2, 2a b≥ ≥
ta được
2 2
2 2 2 7
6
a b
a b


− + − =

+ = −


2 2 2 2 2 2
4 2 2( ) 4 28
6
a b a b a b
a b


+ = −


2 2 2 2
4 68 4 4
2
6
a b ab a b ab
ab
a b

+ − = − +

⇔ ≥


+ = −

9
3
6
ab
a b
a b
=

⇔ ⇔ = = −

+ = −


  
⇒ ⇔ ⇔
  
+ + =

− ±

 
+ = −
=
 



82/ Giải hệ pt:







=
+
+
=
+
+++
3
1

+ + − + =

+



+ + + − =

+

Đặt u = x + y +
1
x y+
;(
2u ≥
) ; v = x – y ta được hệ :
2 2
3 13
3
u v
u v

+ =

+ =

ta được u = 2, v = 1 do (
2u ≥
)
Từ đó ta có

x y x y
 − + + + =

+ − + + =

Tìm m để hệ có hai nghiệm
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;x y x y
và biểu thức
( ) ( )
2 2
1 2 1 2
A x x y y= − + −
đạt giá trị lớn nhất
Giải: pt thứ nhất là pt của một đường thẳng trên mp Oxy, giả sử là d . PT thứ hai là pt của một đường (C) có
tâm
( )
3; 1I −
, bán kính R = 2 . Để hệ có hai nghiệm
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;x y x y
thì d và (C) phải cắt nhau tại hai điểm
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;P x y Q x y
. Khi đó
( ) ( )
2 2


Giải: Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884

2 2 2 2
91 91 2 2x y y x y x+ − + = − − − + −
(*)
+) Nếu x = 2 hoặc y = 2 thay vào hệ trên thấy vô nghiệm
+) Nếu
2; 2x y> >
(*)
2 2
2 2
( )( )
2 2
91 91
x y y x
y x y x
y x
x y
− −
⇔ = + − +
− + −
+ + +
2 2
1
( ) 0
2 2
91 91
x y

− +
+ +
2
1 1
( 3) ( 3) 1 0
2 1
91 10
x x
x
x
 
 
⇔ − + − − =
 
 ÷
− +
+ + 
 
 

⇔ x = 3 (biểu thức trong ngoặc vuông luôn âm)
Vậy nghiệm của hệ : x = y = 3
Cách khác: (*)
2 2 2 2
91 2 91 2x x x y y y+ + − + = + + − +
Xét hàm số
( )
2 2
91 2 ; 2f t t t t t= + + − + ≥
, ta được pt:

1
;
4
 
− +∞
÷

 
. Vậy x = 0 và y = 1.
+) y =x + 1. Thế vào (2) ta có:
2
1
3 1 5 4 3 3;( )
3
x x x x x+ + + = − + ≥ −
( )
2
3 5
3 1 1 5 4 2 3 3 1
3 1 1 5 4 2
x x
x x x x x x
x x
⇔ + − + + − = − ⇔ + = −
+ + + +
0
0
3 5
1 3 0,(*)
1

+ + − − + =


+ − + − + =


x x y y
x x y y y
(x, y ∈ R).
Giải: ĐK:
1x ≥
( )
2 2
2 1 6 1 0
+ − + − + =
x y x y y
( )
2
1 4 0
⇔ + − − =
x y y
( ) ( )
2
4 1 *
⇔ = + −
y x y
Vậy:
0
≥
y


+ + =

⇔
0
1
y
y
=


=

(vì g(y) = y
7
+ 2y
4
+ y đồng biến trên [0, +∞))
Vậy (x; y) = (1; 0) hay (x; y) = (2; 1).

Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
87/ Giải hệ pt:
( )
( )
3
3
3 2 8
2 6
x y
x y

x
−

− =

− − −

   
⇔ ⇒ + = + ⇔ =

 ÷  ÷
−
   

+ =


Thế vào pt thứ nhất
3 3 2
1
6
2 8 3 4 0
2
x
x x x
x
x
=

−

0 2
2 0
x x
y
y y

− ≥ − ≤ ≤


⇔
 
≤ ≤

− ≥


(1)
3 2 3
3 3 2y y x x⇔ − = − −
( ) ( )
3 2
3 2
3 3y y x x
α α
⇔ − = + − +
Xét
( ) ( )
3 2
3 3 3 2 2 3 2 2
3 2 3 3 2 3 3 3 6 3x x x x x x x x x x x

2
nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên:
(1) ⇔ t = y ⇔ y = x + 1 ⇒ (2) ⇔
2 2
2 1 0x x m− − + =
Đặt
2
1v x= −
⇒ v∈[0; 1] ⇒ (2) ⇔ v
2
+ 2v − 1 = m.
Hàm số g(v) = v
2
+ 2v − 1 đạt
0;1 0;1
min ( ) 1; m ( ) 2g v g v= − =
[ ] [ ]
ax
Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1 ≤ m≤ 2

89/ Giải hệ pt:
3 2 3
3 2
6 13 10
2 5 3 3 10 6
x x x y y
x y x y x x y

− + = + +


3 3 3 1 5 2 3 10 24x x x x x⇔ + − + − − = − − +
(với
5
1
2
x− ≤ ≤
)
⇔
( ) ( )
( )
( )
2
3 2 2 2
2 12
3 3 3 1 5 2
x x
x x x
x x
− −
+ = − − −
+ + + −

Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
2
2
3 2
12
3 3 3 1 5 2
x
x x

( ) ( )
(
)
3 2 2
2 2 2
4 1 2 1 6
2 2 4 1 1
x y x x
x y y x x

+ + + =


+ + = + +


.
Giải: ĐK:
0x
≥
. Nếu
0x = ⇒
hệ vn
Xét
0x
>
. Từ phương trình thứ 2 ta có
2
2
1 1 1

 
. Thay vào phương trình (1):
( )
3 2
2 1 6x x x x
+ + + =
Vế trái của phương trình là hàm đồng biến trên
( )
0;
+∞
nên có nghiệm duy nhất
1x =
và hệ phương trình có
nghiệm
1
1;
2
 
 ÷
 
.

91/ Giải hệ pt:
( )
( )
2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y

4 1 3 0 2 2 2
2
u
x x u x x u u u x
 
−
+ + − = ⇔ + = + ⇔ =
 ÷
 
2
2
0
5 4
2 5 2 ; 0
4 5 2
2
x
x
x y y x
x y
≥

−
= − ⇔ ⇔ = ≥

= −

Thế vào (2)
( )
2

64 48 16 4 3 0, 0;
4
3 4 3 4
f x x x x x x
x x
 
′
= − − = − − < ∀ ∈
 
− −
 
( )
f x⇒
nghịch biến
3
0;
4
x
 
∀ ∈
 
 
mà
1
0
2
f
 
=
 ÷