MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU..............................................................................................2
PHẦN NỘI DUNG..........................................................................................4
CHƯƠNG I : KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EUCLIDE.................................4
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN...........................................................................................4
1.2. TRỰC GIAO VÀ TRỰC CHUẨN..................................................................................9
1.3. CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ CON CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EUCLIDE
................................................................................................................................................13
1.4. PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH LIÊN HỢP...............................................................20
1.5. PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO....................................................................................25
1.6. PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG..................................................................................32
CHƯƠNG II : KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE............................................41
2.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN.........................................................................................41
2.2. CÁC PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE.............................................43
2.3. PHÉP DỜI......................................................................................................................45
2.4. PHÉP ĐỒNG DẠNG.....................................................................................................48
2.5. SIÊU MẶT BẬC HAI – SIÊU CẦU TRONG KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE.........52
2.6. MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE.......................................56
PHẦN KẾT LUẬN........................................................................................64
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................65
Trang 1
PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
“Hình học cao cấp” là mảng kiến thức quan trọng được xây dựng trên nền “Đại
số tuyến tính” và đã được Bộ môn Toán, Khoa Sư phạm chọn làm các môn học chính
thức để giảng dạy cho sinh viên chuyên ngành Sư phạm Toán, Toán – Tin. Đây là
những môn học rất hay, thú vị, kích thích được lòng say mê học và nghiên cứu Toán của
sinh viên. Nhưng trong khuôn khổ chương trình quy định, thầy cô không thể giới thiệu
hết tất cả những vấn đề về hình học cho sinh viên mà chỉ dạy những kiến thức trọng
tâm, cơ bản nhất làm tiền đề cho việc tự nghiên cứu của sinh viên sau này.
Do vậy, được sự gợi ý của Giáo viên hướng dẫn cùng với sự yêu thích tìm hiểu
gian con, các phép biến đổi trực giao và các phép biến đổi đồng dạng nhằm tạo nền tảng
kiến thức cho phần tiếp theo.
• Chương II: Trình bày các định nghĩa và tính chất của không gian giả Euclide n chiều
chỉ số k, tọa độ trực chuẩn, các không gian con, khoảng cách và góc, các phép dời hình
và các phép đồng dạng, siêu mặt bậc hai, mô hình xạ ảnh của không gian giả Euclide; từ
đó rút ra mối liên hệ giữa hình học giả Euclide và hình học xạ ảnh.
Trang 3
PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I : KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EUCLIDE
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1.1. Định nghĩa
Cho không gian vectơ n chiều V
n
trên trường số thực R.
Một ánh xạ: V
n
× V
n
→ R
( , ) *a b a b
r r
r r
a
được gọi là một tích vô hướng trên V
n
nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:
(E
1
*
r r
r r r
.
(E
4
*
) Có n vectơ
( 1, )
i
a i n
=
r
sao cho:
* 0
i i
a a
>
r r
, với i ≤ k.
* 0
i i
a a
<
r r
, với i > k.
* 0
i j
a a
=
r r
n
*( ) .( * ) , , , Va b a b R a b
λ λ λ
= ∀ ∈ ∀ ∈
r r r
r r r
.
Thật vậy:
*
* *
3
1 1
( )( ) ( )
*( ) ( )* ( * ) .( * )
EE E
a b b a b a a b
λ λ λ λ
= = =
r r r r
r r r r
c)
k
n
*0 0* 0 , Va a a
= = ∀ ∈
r r
r r r
.
Thật vậy:
Trang 4
r
d)
k
n
( )* * * , , , Va b c a c b c a b c
− = − ∀ ∈
r r r
r r r r r r r
.
Thật vậy:
*
3
( )
)
( )* ( ( ))* * ( )* * *
E
Do b
a b c a b c a c b c a c b c
− = + − = + − = −
r r r r
r r r r r r r r r r
e)
k
n
*( ) * * , , , Va b c a b a c a b c
− = − ∀ ∈
r r r
r r r r r r r
.
Thật vậy:
) ta suy ra
0, 1, .
i
a i n
≠ ∀ =
r
r
(Vì nếu ∃i sao cho
0
i
a
=
r
r
thì ta có
* 0
i i
a a
=
r r
, mâu thuẫn với tiên đề (E
4
*
))
Xét:
1
0.
n
i i
i
⇒ = =
∑
r r
( * ) 0, 1, .
j j j
k a a j n
⇒ = =
r r
(Vì
* 0
j i
a a
=
r r
, với i ≠ j)
0, 1, .
j
k j n
⇒ = =
(Vì
* 0
j j
a a
≠
r r
)
Vậy
1,
{ }
i
Euclide.
Thật vậy:
Trang 5
Xét V
n
n
là một không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số n. Vì tích vô hướng
trên V
n
n
thỏa các tiên đề (E
1
*
), (E
2
*
), (E
3
*
) của không gian vectơ giả Euclide nên nó cũng
thỏa các tiên đề (E
1
), (E
2
), (E
3
) của không gian vectơ Euclide. Do đó ta chỉ cần chứng
minh tích vô hướng trên V
n
n
) là cơ sở của V
n
n
thỏa
* 0 ( 1, )
i i
a a i n
> ∀ =
r r
và
* 0, .
i j
a a i j
= ∀ ≠
r r
Từ đó:
x
∀
r
∈ V
n
n
thì
x
r
có dạng:
1
n
i i
i
=
⇔ =
∑
r r
0, 1,
i
k i n
⇔ = ∀ =
0x
⇔ =
r
r
Vậy tích vô hướng trên V
n
n
thỏa tiên đề (E
4
) nên V
n
n
là không gian vectơ Euclide
n chiều.
1.1.4. Ví dụ
a) Trường các số phức C là một không gian vectơ giả Euclide 2 chiều chỉ số 1 với tích
vô hướng:
* ( )*( )x y a ib c id ac bd
= + + = −
r r
, trong đó
x a ib C
c) Không gian R
n
là một không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k với tích vô
hướng:
1 1
*
k n
i i j j
i j k
x y x y x y
= = +
= −
∑ ∑
r r
, trong đó
n
1
( ,..., ) R
n
x x x
= ∈
r
,
n
1
( ,..., ) R
n
y y y= ∈
r
.
. Như vậy module của một
vectơ có thể là một số thực dương, bằng 0 hoặc một số thuần ảo.
Nhận xét:
u
∀
r
∈V
n
k
,
λ
∀
∈R thì:
2
( )*( ) ( * ) .u u u u u u
λ λ λ λ λ
= = =
r r r r r r
.
Vectơ
u
r
được gọi là vectơ đơn vị nếu
1u
=
r
hoặc
u i
=
r
r
(1) được gọi là số đo góc của hai vectơ
a
r
và
b
r
. Ký hiệu:
( , )a b
ϕ
r
r
.
Từ công thức (1), ta suy ra
cos
ϕ
có thể là số thực hoặc là số thuần ảo.
Ta có các trường hợp:
Trường hợp 1:
cos
ϕ
là số thực. Ta xét:
•
1 cos 1
ϕ
− ≤ ≤
: Khi đó
ϕ
là số thực và ta quy ước chọn
ϕ
Do đó ta chọn
i
ϕ θ
=
và nhận thấy trong trường hợp này
ϕ
là số thuần ảo.
•
cos 1
ϕ
< −
: Khi đó
cos 1
ϕ
− >
Do đó tương tự như trên ta có: tồn tại số thực
θ
sao cho:
cos ch
ϕ θ
− =
.
cos cos cos( ).ch i i
ϕ θ θ π θ
⇒ = − = − = −
Ta chọn
i
ϕ π θ
= −
2
i
π
ϕ θ
= −
và nhận thấy trong trường hợp này
ϕ
là số phức.
Vậy: Trong không gian vectơ giả Euclide, ngoài các góc có số đo thực còn có các
góc có số đo thuần ảo hay phức với phần thực là
π
hoặc
2
π
.
1.1.6.2. Tính chất
i)
( , ) ( , )a b b a
ϕ ϕ
=
r r
r r
.
Thật vậy:
* *
cos ( , ) cos ( , )
. .
a b b a
a b b a
a b b a
r
r
r
r
r
r
Thật vậy:
( )*( ) ( * )
cos ( , ) .cos ( , )
. .
pa qb pq a b pq
pa qb a b
pq
pa qb pq a b
ϕ ϕ
= = =
r r
r r
r r
r r
r r
r r
Do đó:
+ Nếu pq > 0 thì:
cos ( , ) cos ( , )pa qb a b
ϕ ϕ
=
r r
a
r
cùng phương với
b
r
a pb
⇔ =
r
r
, với p∈R.
2
* ( )* *
cos ( , ) .
. .
a b pb b p b b p
a b
p p
a b pb b
b
ϕ
⇔ = = = =
r r r r r
r
r
r
r r r
r
r
cos ( , ) 1a b
ϕ
r
.
1.2. TRỰC GIAO VÀ TRỰC CHUẨN
1.2.1. Định nghĩa
Hai vectơ
a
r
,
b
r
∈ V
n
k
được gọi là trực giao (vuông góc) với nhau nếu
* 0a b
=
r
r
.
Ký hiệu:
a b
⊥
r
r
.
Ta thấy rằng có những vectơ khác
0
r
mà lại vuông góc với chính nó, những vectơ
như vậy gọi là vectơ đẳng hướng. Ví dụ: vectơ
b
r
gồm các vectơ
0
i
b
≠
r
r
thuộc V
n
k
được gọi là hệ trực giao nếu
* 0 ( 1, )
i i
b b i m
≠ ∀ =
r r
và
* 0 ( ; , 1, )
i j
b b i j i j n
= ∀ ≠ =
r r
(tức là chúng từng đôi một trực
giao với nhau).
Hệ trực giao gồm các vectơ đơn vị được gọi là hệ trực chuẩn.
Nhận xét: Theo định nghĩa, hệ
1,
{ }
=
=
∑
r
r
Nhân vô hướng hai vế với
( 1, )
j
b j m
=
r
, ta được:
1
*( ) 0, 1, .
m
j i i
i
b k b j m
=
= =
∑
r r
1
( * ) 0, 1, .
m
i j i
i
k b b j m
=
⇒ = =
m
b
r
độc lập tuyến tính trong V
n
k
.
1.2.3. Định lý
Trong V
n
k
, nếu ta có n vectơ
( 1, )
i
b i n
=
r
sao cho
* 0 ( 1, )
i i
b b i n
≠ ∀ =
r r
và
* 0 ( )
i j
b b i j
= ∀ ≠
r r
thì ta sẽ có đúng k vectơ
n
k
, do đó
1,
{ }
i
n
b
r
độc lập
tuyến tính trong V
n
k
. Không mất tổng quát giả sử
* 0,
i i
b b i l
> ∀ ≤
r r
và
* 0,
i i
b b j l
< ∀ >
r r
.
Ta sẽ chứng minh l = k.
• Nếu l > k:
Dễ thấy rằng l vectơ
1
r
,
2k
a
+
r
, ...,
n
a
r
nói
trong tiên đề (E
4
*
).
Vì l > k nên V
l
và V
n-k
sẽ giao nhau theo một không gian vectơ có số chiều ít nhất
là l – k. Gọi
l n k
c V V
−
∈ ∩
r
và
0c
≠
r
2
1 1 , 1 1
* ( )*( ) ( * ) ( * ) 0
n n n n
i i j j i j i j i i i
i k j k i j k i k
c c a a a a a a
µ µ µ µ µ
= + = + = + = +
= = = <
∑ ∑ ∑ ∑
r r r r r r r r
(2)
(1) và (2) mâu thuẫn nhau nên l > k là không thể được.
• Nếu l < k:
Gọi V
n-l
là không gian vectơ con sinh bởi (n – l) vectơ độc lập tuyến tính
1l
b
+
r
,
2l
b
+
r
, ...,
n
b
Chứng minh:
Gọi
1,
{ }
i
n
a
r
là hệ vectơ nói trong tiên đề (E
4
*
). Khi đó,
1,
{ }
i
n
a
r
là cơ sở trực giao
của V
n
k
.
Ta chọn các vectơ
i
e
ur
sao cho:
, .
*
Khi đó ta có:
*
* 1
*
i i
i i
i i
a a
e e
a a
= =
r r
r r
r r
, với i ≤ k.
*
* 1
*
i i
i i
i i
a a
e e
a a
= = −
−
r r
r r
r r
, với i > k.
r
sao cho
* 1
i i
e e
=
r r
và (n – k) vectơ
j
e
r
sao cho
* 1
j j
e e
= −
r r
. Điều này cũng đúng với mọi cơ sở trực chuẩn khác (vì suy ra từ
định lý ở trên).
Từ đây, khi nhắc đến cơ sở trực chuẩn
1,
{ }
i
n
u
r
bất kỳ của V
n
k
đối với một cơ sở trực chuẩn được gọi là tọa độ trực
chuẩn của
x
r
trong V
n
k
.
Giả sử
1,
{ }
i
n
e
r
là một cơ sở trực chuẩn trong V
n
k
thỏa
* 0
i i
e e
>
r r
, với i ≤ k. Khi đó:
với
x
r
,
y
i j k
x y x e y e x y e e x y e e
x y x y
= = = =
= = +
= = =
= −
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
r r r r r r r r
2 2
1 1
k n
i j
i j k
x x x
= = +
= −
∑ ∑
r
1.2.6. Ý nghĩa của tọa độ trực chuẩn
Giả sử
1,
{ }
i
n
e
r
là một cơ sở trực chuẩn trong V
n
n n
j m m j m m j j j j j
m m
x e x e e x e e x e e x
= =
= = = = −
∑ ∑
r r r r r r r r
, với j > k.
Vậy: nếu
1
1,
( ,..., ) /{ }
n i
n
x x x e
=
r r
thì:
*
i i
x x e
=
r r
, với i ≤ k.
*
j j
x x e
= −
r r
k
nên
1
1,
( ,..., ) /{ }
n i
n
x x x e
=
r r
, với
1,
{ }
i
n
e
r
là một cơ sở trực chuẩn trong
V
n
k
.
Mà
* 0x y
=
r r
,
y
∀
r
Gọi
1,
{ }
i
n
e
r
,
1,
{ '}
i
n
e
r
là các cơ sở trực chuẩn trong V
n
k
.
Dựa vào công thức đổi cơ sở trong không gian vectơ, ta có công thức đổi cơ sở
trực chuẩn trong V
n
k
là:
x
[x] = A [x']
hoặc
x -1
[x'] = (A ) [x]
Trong đó:
A là ma trận chuyển cơ sở từ
{ '}
i
n
e
r
.
1.3. CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ CON CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ
EUCLIDE
1.3.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1 : Giả sử P là không gian vectơ con của V
n
k
. Khi đó trong P xác
định hai phép toán cộng các vectơ và nhân một số với một vectơ, đó chính là hai phép
toán cộng và nhân trong V
n
k
. Ta lấy tích vô hướng * đã định nghĩa trong V
n
k
áp dụng
cho P, khi đó trên P ánh xạ * thỏa 3 tiên đề (E
1
*
), (E
2
*
), (E
3
*
k
)
không thỏa tiên đề (E
4
*
) nên không là không gian vectơ giả Euclide.
Định nghĩa 2 : Cho P là không gian vectơ con của V
n
k
. Khi đó P được gọi là xác
định dương (không âm, đẳng hướng, không dương, âm) nếu
* 0x x
>
r r
(
* 0x x
≥
r r
,
* 0x x
=
r r
,
* 0x x
≤
r r
,
* 0x x
<
r r
. Khi đó P được gọi là
không suy biến nếu có
x
r
∈P và
* 0x y
=
r r
,
y
∀
r
∈P thì ta suy ra được
0x
=
r
r
.
Ngược lại thì P được gọi là suy biến.
Định nghĩa 4 : Cho P là không gian vectơ con của V
n
k
và vectơ
x
r
∈V
n
k
. Ta nói
rằng
bù trực giao với không gian vectơ con P đã cho.
Nhận xét 2: Nếu P ⊥ R thì R ⊆ P
⊥
.
1.3.2. Tính chất
1.3.2.1. Mọi không gian vectơ con dương của V
n
k
đều là không gian vectơ giả
Euclide.
Thật vậy:
Gọi P là không gian vectơ con dương của V
n
k
. Vì trên P ánh xạ * thỏa các tiên đề
(E
1
*
), (E
2
*
), (E
3
*
) của không gian vectơ giả Euclide nên nó cũng thỏa các tiên đề (E
1
),
(E
2
), (E
n
k
. Khi đó trên P ánh xạ * thỏa các tiên
đề (E
1
*
), (E
2
*
), (E
3
*
) của không gian vectơ giả Euclide. Do đó ta sẽ chứng minh * thỏa
tiên đề (E
4
*
) của không gian vectơ giả Euclide.
Gọi m là số chiều của P và
1,
{ }
i
m
x
r
là một cơ sở tùy ý của P.
Vì P âm nên
x
∀
r
∈P,
i
i j
i i j
j
j j
x u
u x u i m
u u
−
=
= − ∀ =
∑
r r
r r r
r r
Dễ thấy
0 ( 1, )
i
u i m
≠ ∀ =
r
r
do
1,
{ }
i
m
x
r
là hệ độc lập tuyến tính. Ta kiểm tra bằng
r r r r r r r
r r r r
Giả sử mệnh đề trên đúng tới h-1, ta chứng minh rằng mệnh đề trên cũng đúng
với h.
Với 1 ≤ i ≤ h - 1, ta có:
1 1
1 1
* *
* ( . )* * .( * )
* *
h h
h j h j
h i h j i h i j i
j j
j j j j
x u x u
u u x u u x u u u
u u u u
− −
= =
= − = −
∑ ∑
r r r r
r r r r r r r r r
r r r r
Nhưng theo giả thiết quy nạp thì
* 0 ; ;1 , 1
j i
u u i j i j h= ∀ ≠ ≤ ≤ −
r r
4
*
) của không gian vectơ giả Euclide. Suy ra P là một không gian
vectơ giả Euclide chỉ số 0.
1.3.2.3. Nếu P là không gian vectơ con âm của V
n
k
thì P thỏa bất đẳng thức
Schwarz:
2
( * ) ( * )( * )x y x x y y
≤
r r r r r r
,
x
∀
r
,
y
r
∈P.
Chứng minh: Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1 : Nếu
0x
=
r
r
hoặc
0y
=
r r
độc lập tuyến tính thì :
,x py p R
≠ ∀ ∈
r r
Khi đó do P âm nên:
2
( )*( ) * 2 ( * ) ( * ) 0x py x py x x p x y p y y
− − = − + <
r r r r r r r r r r
Chọn
*
*
x y
p
y y
=
r r
r r
, ta có:
2 2
( * ) ( * )
* 2 0
* *
x y x y
x x
y y y y
− + <
r r r r
r r
y
r
∈P.
Nhận xét: Bất đẳng thức Schwartz vẫn đúng cho trường hợp P là không gian
vectơ con không dương hoặc không âm. Ta có thể chứng minh điều này dựa vào câu a
của định lý bên dưới và cách chứng minh bất đẳng thức Schwartz dành cho không gian
vectơ con âm ở trên.
1.3.2.4. Số chiều lớn nhất có thể có của một không gian vectơ con dương của V
n
k
là
k.
Thật vậy:
Gọi P là không gian vectơ con dương của V
n
k
. Giả sử dimP > k.
Gọi V
n-k
là không gian vectơ con sinh bởi (n – k) vectơ độc lập tuyến tính
1k
a
+
r
,
2k
a
+
r
, ...,
Từ (1) và (2) suy ra vô lý. Vậy ta có số chiều lớn nhất có thể có của P là k.
1.3.2.5. Số chiều lớn nhất có thể có của một không gian vectơ con âm của V
n
k
là n-
k.
(Chứng minh tương tự tính chất 1.3.2.4.)
1.3.2.6.
{0}
r
trực giao với mọi không gian vectơ con của V
n
k
.
(Tính chất này dễ thấy)
Trang 16
1.3.2.7. Nếu P ⊥ Q thì P∩Q là không gian vectơ con đẳng hướng của V
n
k
hoặc
không gian không.
Thật vậy:
x
∀
r
∈ P∩Q thì do P ⊥ Q nên ta có:
* 0x x
=
r r
Suy ra
⊃ Q
⊥
(Tính chất này ta dễ dàng chứng minh)
1.3.2.10. P∩P
⊥
=
{0}
r
và P⊕P
⊥
= V
n
k
khi và chỉ khi P không suy biến.
* Chứng minh:
(⇒):
Cho P là không gian vectơ con của V
n
k
thỏa mãn P∩P
⊥
=
{0}
r
và P⊕P
⊥
= V
n
k
.
(⇐):
Cho P là không gian vectơ con không suy biến của V
n
k
.
Khi đó, với
x
r
∈P∩P
⊥
thì do
x
r
∈P
⊥
nên
* 0x y
=
r r
,
y
∀
r
∈P.
Vì P không suy biến nên suy ra:
0x
=
r
r
Vậy P∩P
∈P và
* 0x y
=
r r
,
y
∀
r
∈P thì theo nhận xét ở mục 1.2.6 (phần Ý nghĩa của
tọa độ trực chuẩn) cho không gian vectơ giả Euclide ta suy ra:
0x
=
r
r
Trang 17
Do đó P không suy biến.
1.3.2.12. Nếu P là không gian con của V
n
k
thì P
⊥
không suy biến.
Thật vậy:
Vì P là không gian con của V
n
k
nên P không suy biến (theo tính chất 1.3.2.11.).
Do đó theo tính chất 1.3.2.10 ta có: P∩P
⊥
=
Từ đó ta có P
⊥
không suy biến.
1.3.3. Định lý (Sự phân tích các không gian vectơ con)
a) Mọi không gian vectơ con P của V
n
k
đều có thể biểu diễn thành tổng trực tiếp P
= P
0
⊕P
1
, trong đó P
0
là không gian vectơ con đẳng hướng, P
1
là không gian
vectơ con không suy biến và P
0
⊥ P
1
(trường hợp P không suy biến thì ta xem P
0
=
{0}
r
, trường hợp P đẳng hướng thì ta xem P
1
=
{0}
{0}
r
)).
Chứng minh:
a) Đặt P
0
= P∩P
⊥
. Khi đó P
0
là không gian vectơ con đẳng hướng.
Vì P
0
là không gian vectơ con của V
n
k
nên tồn tại không gian vectơ con N của V
n
k
sao cho: P
0
⊕N = V
n
k
Vì vậy: P
0
⊕(N∩P) = P
Đặt P
1
= N∩P. Suy ra: P
Nhận thấy:
0
* 0x y
=
r r
,
y
∀
r
∈P
0
(Do P
1
⊥ P
0
)
Vì P
0
⊕P
1
= P nên ta suy ra:
0
* 0x z
=
r
r
,
z
∀
r
b) Gọi P
+
là không gian vectơ con dương có số chiều lớn nhất của P. Khi đó P
+
không
suy biến và P
+
⊕(P
+
)
⊥
= V
n
k
.
Vì vậy: P
+
⊕(P∩(P
+
)
⊥
) = P
Đặt P
-
= P∩(P
+
)
⊥
. Suy ra: P
∈P
+
thì:
* 0x y
=
r r
và
* 0y y
>
r r
( )*( ) * * 2( * ) * * 0x y x y x x y y x y x x y y
⇒ + + = + + = + >
r r r r r r r r r r r r r r
+
{ } Px
⇒ ⊕
r
dương (trái điều kiện P
+
là không gian con dương có số chiều lớn nhất
của P)
Vậy P
-
không dương. Do đó ta có bất đẳng thức Schwarz:
2
( * ) ( * )( * )x y x x y y
≤
r r r r r r
,
x
r r r r r r
Suy ra:
0
* 0x x
=
r r
,
x
∀
r
∈P
-
Mặt khác ta có:
0
* 0x y
=
r r
,
y
∀
r
∈P
+
(Vì P
+
⊥ P
-
)
Do P
+
⊕P
0
, trong đó P
+
là không gian vectơ con dương, P
-
là không gian vectơ
con âm và P
0
là không gian vectơ con đẳng hướng.
Hệ quả 2 : Mọi không gian vectơ con không suy biến P của V
n
k
đều là không gian
vectơ giả Euclide. Từ đó P là không gian con của V
n
k
khi và chỉ khi P không suy biến.
Hệ quả 3 : Nếu P là không gian con của V
n
k
thì P
⊥
cũng là không gian con của
V
n
k
. Từ đó, nếu P ⊥ Q và P (hoặc Q) là không gian con của V
n
k
i p
i j
j q
e e
=
=
r r
là hệ trực chuẩn của V
n
k
.
Chứng minh:
(⇒):
Vì P ⊥ Q và P, Q là các không gian con của V
n
k
nên P ∩ Q =
{0}
r
. Do đó, nếu ta
lấy lần lượt trong P và Q các cơ sở trực chuẩn
1,
{ }
i
p
e
r
và
1,
{ '}
i p
i j
j q
e e
=
=
r r
sao cho
1,
{ }
i
p
e
r
,
1,
{ '}
i
q
e
r
lần lượt là
cơ sở trực chuẩn của P và Q thì với
x
r
∈ P,
y
r
∈ Q, ta có:
1
x y
⊥
r r
. Do đó P ⊥ Q.
1.4. PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH LIÊN HỢP
1.4.1. Dạng song tuyến tính
1.4.1.1. Định nghĩa
Cho không gian vectơ V trên trường số thực R. Khi đó ánh xạ:
:
( , ) ( , )
S V V R
x y S x y
× →
r r r r
a
được gọi là một dạng song tuyến tính nếu
1 2 1 2
, ; , , , , ,R x x x y y y V
λ µ
∀ ∈ ∀ ∈
r r r r r r
thì:
(i)
1 2 1 2
( , ) ( , ) ( , )S x x y S x y S x y
λ µ λ µ
+ = +
r r r r r r r
(ii)
1 2 1 2
n
thì
x
r
,
y
r
có dạng:
1
n
i i
i
x x c
=
=
∑
r r
,
1
n
j j
j
y y c
=
=
∑
r r
Khi đó:
1 1 , 1 , 1
( , ) ( , ) ( , )
=
r r
(2)
Dạng (2) được gọi là dạng ma trận của dạng song tuyến tính S. Ma trận C được
gọi là ma trận của dạng song tuyến tính S đối với cơ sở
1,
{ }
i
n
c
r
.
1.4.2. Sự liên hệ giữa dạng song tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính trong
không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k
1.4.2.1. Liên hệ giữa dạng song tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính
Cho phép biến đổi tuyến tính
:
k k
n n
V V
ϕ
→
.
Xét ánh xạ
:
k k
n n
S V V R
× →
n
e
r
.
Ta có:
( , ) ( )* , , 1,
ij i j i j
c S e e e e i j n
ϕ
= = ∀ =
r r r r
.
Mà
( )
i
e
ϕ
r
∈V
n
k
nên:
1
( )
n
i mi m
m
e a e
ϕ
=
r r r r r r
, với j > k.
Trang 21
Vậy: Nếu có một phép biến đổi tuyến tính
ϕ
của V
n
k
thì xác định duy nhất một
dạng song tuyến tính S sao cho
( , ) ( )*S x y x y
ϕ
=
r r r r
,
x
∀
r
,
y
r
∈V
n
k
. Khi đó nếu
ϕ
có ma trận
ij n×n
A=[a ]
đối với một cơ sở trực chuẩn đã chọn thì S có ma trận
i
n
e
r
là một cơ sở trực chuẩn trong V
n
k
. Gọi
[ ]
ij n n
C c
×
=
là ma trận của
S đối với cơ sở trực chuẩn đó.
Xét phép biến đổi tuyến tính
:
k k
n n
V V
ϕ
→
sao cho
ϕ
có ma trận đối với cơ sở
1,
{ }
i
n
e
=
r r r r
Khi đó:
( )* ( , ) ( )*x y S x y x y
ϕ ψ
= =
r r r r r r
Nên:
( ( ) ( ))* 0x x y
ϕ ψ
− =
r r r
,
y
∀
r
∈V
n
k
.
Theo nhận xét ở mục 1.2.6, ta suy ra:
( ) ( ) 0x x
ϕ ψ
− =
r
r r
hay
( ) ( )x x
ϕ ψ
=
k k
n n
V V
ϕ
→
và dạng song tuyến tính
( , )S x y
r r
tương
ứng. Ta xác định phép biến đổi tuyến tính
*
ϕ
bởi điều kiện:
*
( , ) * ( )S x y x y
ϕ
=
r r r r
(3)
Thật vậy: Giả sử
1,
{ }
i
n
e
r
là một cơ sở trực chuẩn trong V
n
k
.
m m
c e d e d e e d e e d
= =
= = = =
∑ ∑
r r r r r r
, với i ≤ k.
1 1
*( ) ( * ) ( * )
n n
ij i mj m mj i m ij i i ij
m m
c e d e d e e d e e d
= =
= = = = −
∑ ∑
r r r r r r
, với i > k.
Đặt
ij n×n
D=[d ]
. Suy ra:
11 21 k1 (k+1)1 n1
12 22 k2 (k+1)2 n2
1k 2k kk (k+1)k nk
1(k+1) 2(k+1) k(k+1) (k+1)(k+1) n(k+1)
1n 2n kn (k+1)n n
a a ... a -a ... -a
a a ... a -a ... -a
... ... ... ... ... ... ...
Ta nhận thấy:
x
k k
D = I A I
và
-1
k k
I = (I )
Vậy: nếu
*
ϕ
là phép biến đổi tuyến tính của V
n
k
thỏa mãn điều kiện (3) thì ma
trận D của
*
ϕ
thỏa mãn
x
k k
D = I A I
k k
n n
V V
ϕ
→
. Khi đó phép biến đổi tuyến tính
*
:
k k
n n
V V
ϕ
→
thỏa mãn
*
( )* * ( )x y x y
ϕ ϕ
=
r r r r
,
x
∀
r
,
y
r
∈V
n
k
được gọi là phép biến đổi
A'' = I A' I = I (I A I ) I = I I (A ) I I = (A ) = A
b)
*
( )id id
=
, trong đó id là ánh xạ đồng nhất từ
k k
n n
V V
→
.
Thật vậy:
Ánh xạ đồng nhất id có ma trận đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn là I thỏa
x
k k k k
I I I = I I = I
c)
* * *
( )
ϕ ψ ϕ ψ
+ = +
Thật vậy:
Gọi A, B lần lượt là ma trận của
ϕ
,
ψ
đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn. Khi đó
A + B là ma trận của
ϕ ψ
+
ϕ ψ ψ ϕ
=
o o
Thật vậy:
* * * * *
(( )( ))* ( ( ))* ( )* ( ) * ( ( )) *(( )( ))x y x y x y x y x y
ϕ ψ ϕ ψ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ
= = = =
r r r r r r r r r r
o o
Mặt khác:
*
(( )( ))* *(( ) ( ))x y x y
ϕ ψ ψ ϕ
=
r r r r
o o
Suy ra:
* * *
*(( ) ( ) ( )( )) 0,
k
n
x y y x V
ψ ϕ ψ ϕ
− = ∀ ∈
r r r r
o o
Do đó theo nhận xét ở bài 2 ta có:
* * *
( ) ( ) ( )( ) 0y y
= = = =
=
r r r r r r r r r r
r r
Mặt khác:
*
(( )( ))* *(( ) ( ))k x y x k y
ϕ ϕ
=
r r r r
Suy ra:
* *
*(( )( ) ( ) ( )) 0,
k
n
x k y k y x V
ϕ ϕ
− = ∀ ∈
r r r r
Do đó:
* *
( )( ) ( ) ( ) 0k y k y
ϕ ϕ
− =
r
r r
Vậy:
* *
( )( ) ( ) ( ),
k
ϕ
bảo toàn tích vô hướng.
Khi đó ta nói rằng V
n
k
đẳng cấu với V’
n
l
. Ký hiệu: V
n
k
≅ V’
n
l
.
1.5.2. Tính chất của đẳng cấu trực giao
1.5.2.1. Định lý: Hai không gian vectơ giả Euclide đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi
chúng có cùng số chiều và cùng chỉ số k.
Chứng minh:
(⇒):
Cho hai không gian vectơ giả Euclide V
n
k
và V’
m
l
.
Nếu V
n
k
i
n
e
r
là cơ sở trực chuẩn của V
n
k
. Khi đó:
* 1
i i
e e
=
r r
, với i ≤ k,
* 1
j j
e e
= −
r r
,
với j > k, và
* 0
i j
e e
=
r r
, với i ≠ j.
Vì
ϕ
là đẳng cấu nên
ϕ ϕ
= =
r r r r
, với i ≤ k. (1)
( )* ( ) * 1
j j j j
e e e e
ϕ ϕ
= = −
r r r r
,với j > k.
( )* ( ) * 0
i j i j
e e e e
ϕ ϕ
= =
r r r r
, với i ≠ j.
Trang 25
Copyright: Tài liệu đại học ©