NGUYỄN HỒNG ĐIỆP
ÔN THI ĐẠI HỌC
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
z =0.8
A
B
C
a
uv
F
Gò Công Tây, năm 2014
to my family, my pippy and my friends (ˆ .ˆ )
2
nd
−L
A
T
E
X−2014
01.1
TÍCH PHÂN VÀỨNG DỤNG
Copyright © 2014 by Nguyễn Hồng Điệp
LỜI MỞ ĐẦU
Xin bắt đầu bằng một chuyện vui toán học
“Nhân ngày Nhà giáo Việt Nam, các học sinh cũ quây quần bên thầy giáo
dạy Toán. Gặp lại học trò cũ, thầy hồ hởi:
– Thầy rất mừng là các em đều đã thành đạt trong cuộc sống. Trong các thứ
thầy dạy, có cái gì sau này các em dùng được không ?
Tất cả học sinh đều im lặng. Một lúc sau, có một học sinh rụt rè nói:
– Thưa thầy, có một lần em đi bộ ở bờ hồ thì gió thổi bay mũ em xuống nước.
Em loay hoay mãi không biết làm thế nào để vớt mũ lên. Bỗng nhiên em thấy

5 Đổi biến sang lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.1 Dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.2 Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.3 Dạng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.4 Dạng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.5 Dạng 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6 Tích phân hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.1 Tích phân chứa nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.2 Tích phân chứa tam thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.3 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7 Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.1 Các công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.2 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.3 Các trường hợp đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.4 Tích phân dạng hữu tỉ đối với hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . 37
7.5 Dùng hàm phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8 Tích phân hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
iv
8.1 Biểu thức có tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8.2 Phép thế Eurle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.3 Dạng đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
9 Tính tính phân bằng tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.1 Tích phân có cận đối nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.2 Tích phân có cận là radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
10 Phương pháp tính tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
10.1 Dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10.2 Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.3 Phương pháp hằng số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
11 Các bài toán đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
II ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 75

1
a
x
α+1
α+1
+C

1
x
d x =ln
|
x
|
+C

1
ax+b
d x =
1
a
ln
|
ax +b
|
+C

e
x
d x =e
x


cos(ax +b)d x =
1
a
sin(ax +b) +C

sin xd x =−cosx +C

sin(ax +b)d x =−
1
a
cos(ax +b) +C)

1
cos
2
x
d x =tan x +C

1
cos
2
ax
d x =tan(ax) +C

1
sin
2
x
d x =−cotx +C


a
f (x)d x
•
b

a
f (x)d x = −
a

b
f (x)d x
2 © Nguyễn Hồng Điệp
Chương I. TÍCH PHÂN 2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
•
b

a

f (x)±g (x)

d x =
b

a
f (x)d x ±
b

a
g (x)dx

1
=
2

1
x
2
−2x
x
3
d x (b) I
2
=
3

1
(x
2
−1)
2
x
d x
(c) I
3
=
1

0
e
x

1
=
2

1

1
x
−
2
x
2

d x =

ln|x|+
2
x





2
1
=ln2 −1.
(b) Ta có: I
2
=
3




3
1
=28 +ln3.
(c) Ta có: I
3
=
1

0

1
e
x
+
1
e
2x

d x =
1

0

e
−x
+e
−2x

=
1

0

e
x
−2

e
x
+1

d x =
1

0

e
x
−2e
x
2
+1

d x

e
x
−4e

2
0
(dạng

u

u
d x)
=3ln
7
5
© Nguyễn Hồng Điệp 3
2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Chương I. TÍCH PHÂN
Ví dụ 2.2. Tính các tích phân sau:
(a) I
1
=
1

0
x(1 −x)
2004
d x (b)I
2
=
1

0
1



0
(x −1)
2004
d x
=

(x −1)
2006
2006
−
(x −1)
2005
2005





1
0
=−
1
4022030
.
(b) Nhận xét: khi trục căn thức ta sẽ triệt tiêu được x ở mẫu.
Ta có: I
2
=
1

 Bài toán tương tự
1.
4

3
1

x +2 −

x −3
d x. Đáp số:
2
15
(6

6 −5

5 +1).
2.
π
2

−
π
2
sin7x sin2x d x. Đáp số:
4
45
.
3.

4
x d x. Đáp số:
3π
16
6.
π
4

0
tan
2
x d x. Đáp số: 1 −
π
4
.
7.
π
2

0
tan
3
x d x. Đáp số:
3
2
−ln2.
4 © Nguyễn Hồng Điệp
Chương I. TÍCH PHÂN 3. TÍCH PHÂN CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX
8.
16

e
2
2
+3ln2−
1
2
11.
1

0
x
x +

x
2
+1
d x. Đáp số: −
2
3
+
2
3

2
3 Tích phânchứa trị tuyệt đối, min, max
1. Tính I =
b

a
|f (x)|dx ta xét dấu f (x) trên [a,b] để khử dấu giá trị tuyệt đối.

−
0
+
Khi đó: I =
1

0
(−x
2
+x) d x +
2

1
(x
2
−x) d x =1
Ví dụ 3.2. Tính I =
2π

0

1 +sin x dx
© Nguyễn Hồng Điệp 5
3. TÍCH PHÂN CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX Chương I. TÍCH PHÂN
Giải
Ta có: I =
2π

0


d x
Cho sin
x
2
+cos
x
2
=0 ⇔tan
x
2
=−1 ⇔ x =−
π
2
+k2π
Do x ∈
[
0,2π
]
ta có x =
3π
2
Bảng xét dấu
x
sin
x
2
+cos
x
2
0

+cos
x
2

d x
=2

−cos
x
2
+sin
x
2




3π
2
0
+2

cos
x
2
−sin
x
2



1

0
(x +x −1)d x +
2

1
(x −x +1)d x
=−
0

−1
d x +
1

0
(2x −1)dx +
2

1
d x =0.
Ví dụ 3.4. Tính I =
2

0
max{x
2
,3x +2} d x
Giải
Xét hàm số h(x) = x


1
(3x −2)dx =
17
6
.
 Bài toántương tự
1.
2

−2
|x
2
−1|dx. Đáp số: 4
2.
2

−3
|x
2
−3x +2|dx. Đáp số:
59
2
3.
π
2

0

5 −4 cos

7
ln
3
4
7.
4

1

x
2
−6x +9dx. Đáp số:
5
2
8.
1

−1

4 −|x|dx. Đáp số: 2 −(5 −

3)
9.
1

−1

|x|−x d x. Đáp số:
2


π
2

−
π
2
|sinx|dx. Đáp số: 2.
13.
π

0

2 +2 cos2x d x. Đáp số: 4.
14.
π

0

1 −sin 2 x dx. Đáp số: 2

2.
15.
2π

0

1 +sin x dx. Đáp số: 4

2.
16.

• Một hàm số mũ ta đặt t là biểu thức ở trên mũ.
4.1 Dạng căn thức
Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dạng
n

f (x) nói chung
trong nhiều trường hợp ta đặt t =
n

f (x)
Ví dụ 4.1. Tính
1

0
x

x
2
+1dx
8 © Nguyễn Hồng Điệp
Chương I. TÍCH PHÂN 4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN
Giải
Đặt t =

x
2
+1 ⇒t
2
=x
2

d t =
t
3
3





2
0
=
1
3

2

2 −1

Lưu ý: một số học sinh thường quên đổi sang cận mới theo t. Bài này ta còn có thể giải
theo cách khác như ở Ví dụ 5.7 trang 20.
Ví dụ 4.2. Tính I =

3

0
x
3

x

2

0
(t
3
−t
2
)dx
=

t
4
4
−
t
3
3





2
0
=
4
3
Nhậnxét: Trước khi đổi sang biến t ta có bước phân tích làm xuất hiện kết quả vi phân
xdx là x
3

x
d x.
Đáp số :
2

2
3
3.
5

1
2
x

2x −1dx.
Đáp số :
144
5
4.
6

2
1
2x +1+

4x +1
d x. Đáp số: ln
3
2
−

x
d x
Đổi cận: x =1 ⇒ t =1 ; x =

2 ⇒ t =

2
Khi đó: I =

3

1
3 −2 ln x

1 +2 ln x
·
1
x
d x =

2

1
(3 −t
2
+1)
t
·t dt =

2


1 +3 ln x ·ln x
x
d x (B-2004). Đáp số:
116
135
3.
e

7

1
ln x
3

1 +ln
2
x
x
d x. Đáp số: ln
3
2
−
1
3
Ví dụ 4.4. Tính I =
2

3


1
x

4 +x
2
d x =
2

3


5
1
x
2

4 +x
2
·x dx
=
4

3
1
(t
2
−4)t
·t dt =
4


t +2
d t
=
1
4
(
ln|t −2|−ln|t +2|
)
|
4
3
=
1
4
·ln
5
3
Nhận xét: khi ta phân tích làm xuất hiện vi phân xdx ta thấy hàm ban đầu chưa có kết
quả này do đó ta cần nhân tử và mẫu biểu thức dưới dấu tích phân cho x. Sau đó ta cần
chuyển x
2
theo biến t thì phép đổi biến mới thành công.
10 © Nguyễn Hồng Điệp
Chương I. TÍCH PHÂN 4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN
 Bài toántương tự
1.
ln8

ln3
1

ta đặt
ax +b)
cx +d
= t
k
với k là mẫu số chung nhỏ nhất của các số
mũ
m
n
, ,
r
s
.
Ví dụ 4.5. Tính I =
63

0
1
3

x +1 +

x +1
d x
Giải
Đặt x +1 = t
6
⇒x = t
6
−1 ⇒d x =6t


d t =11 +6 ln
2
3
Nhận xét: do
3

x +1 = (x +1)
1
3
,

x +1 = (x +1)
1
2
và mẫu số chung của các số mũ
1
3
,
1
2
là 6
nên ta đổi biến x +1 = t
6
.
 Bài toán tương tự
1.
729

64

f (x)
g (x)
nói chung
trong nhiều trường hợp ta đặt t = g (x).
Ví dụ 4.6. Tính I =
4

0

2x +1
1 +

2x +1
d x
Giải
Đặt t =1 +

2x +1 ⇒ t −1 =

2x +1
⇒2x +1 =(t −1)
2
⇒d x =(t −1)d t
Đổi cận: x =0 ⇒ t =2 ; x =4 ⇒ t =4
Khi đó: I =
4

2
t −1
t

d x
Giải
Đặt t = x
2
+1 ⇒x
2
=t −1 ⇒xd x =
d t
2
Đổi cận: x =0 ⇒ t =1 ; x =1 ⇒ t =2
Khi đó: I =
1

0
x
2
x
2
+1
·x dx =
2

1
t −1
t
·
1
2
d t =
1

1
Phương pháp giải tổng quát xem mục 6 trang 23
2
Xem mục 6 trang 23
12 © Nguyễn Hồng Điệp
Chương I. TÍCH PHÂN 4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN
4.4 Dạng biểu thức lũy thừa
Thông thường ta đặt t là biểu thức lấy lũy thừa.
Ví dụ 4.8. Tính I −
1

0
x
3
(x
4
−1)
5
d x.
Giải
Đặt t = x
4
−1 ⇒d t =4x
3
d x ⇒ x
3
d x =
1
4
x

3
nên ta khử được x
3
trong đề bài.
 Bài toán tương tự
1.
1

0
x
3
(1 +x
4
)
3
d x. Đáp số:
15
16
.
2.
1

0
x
3
(1 −x
3
)
6
d x. Đáp số:

=
e

1
ln x.
3

1 +ln
2
x
x
d x
Giải
(a) Đặt t =1+ln x ⇒d t =
1
x
Đổi cận: x =1 ⇒ t =1 ; x =e ⇒ t =2
Khi đó: I
1
=
2

1
t
2
d t =
t
3
3


2
·t
2
d t
Đổi cận: x =1 ⇒ t =1 ; x =e ⇒ t =
3

2
Khi đó: I
2
=
3
2
3

2

1
t
3
d t =
3
8
·t
4




3

+1


x
2
+1
d x.
3.
e

1
1
x

9 −ln
2
x
d x
4.
e

1

1 +ln x
2x
d x. Đáp số:
2

2−1
3

0,π
]
2

x
2
−a
2
x =
a
sin t
t ∈

−
π
2
,
π
2

\ {0}
x =
a
cos t
t ∈
[
0,π
]
\ {
π

a+x
x = a cos2t t ∈

0,
π
2

5

(x −a)(b −x) x = a +(b −a)sin
2
t t ∈

0,
π
2

14 © Nguyễn Hồng Điệp
Chương I. TÍCH PHÂN 5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC
5.1 Dạng 1
Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

a
2
−x
2
, a >0, với bài tập có dạng này
ta đặt
• x =a sint,t ∈


Đổi cận: x =−1 ⇒ t =
−π
6
; x =

3 ⇒ t =
π
3
Khi đó: I =
π
3

−
π
6

4 −4 sin
2
t ·2cost d t =4
π
3

−
π
6
cos t

cos
2
t d t

π
3

−
π
6
d t +2
π
3

−
π
6
cos
2
t d t =π +

3
Nhận xét: mặc dầu hàm dưới dấu tích phân có căn thức nhưng nếu đặt t =

4 −x
2
thì
sẽ gặp khó khăn do:
1. Từ t
2
=4 −x
2
⇒ tdt =−xd x nhưng dưới dấu tích phân chỉ có d x nếu làm xuất hiện
vi phân xd x thì ta phải chia cho x. Trong khi đó cận tích phân từ −1 đến

Giải
Đặt x =3cos t với t ∈[0,π]
⇒d x =−3sin td t
Đổi cận: x =−
3

2
2
⇒t =
3π
4
; x =
3
2
⇒t =
π
3
Khi đó I =
π
3

3π
4
−3sint


9sin
2
t



π
3
3sint
3
3
·sin
3
t
d t =
1
9
3π
4

π
3
1
sin
2
t
d t = −
1
9
cot t




3π

9

3
2.
1

0


1 −x
2

3
d x. Đáp số:
3π
16
3.

2
2

0
x
2

1 −x
2
d x. Đáp số:
π
8

2
d x. Đáp số: 1 −
π
4
6.

2

0
x
2

4 −x
2
d x. Đáp số:
π
2
−1
Dạng tổng quát
Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

a
2
−b
2
x
2
, a > 0, với bài tập có dạng
này ta đặt
16 © Nguyễn Hồng Điệp

d x. Đáp số:
2

3π
27
+
1
12
. đặt: x =
2

3
sin t
2.
1

0
1

−x
2
+2x +3
d x.
Đáp số:
π
6
. Hd: I =

1
0


0,
π
2

• x =
a
cos t
cos t,t ∈

0,
π
2

Ví dụ 5.3. Tính
6

3

2
1
x

x
2
−9
d x
Giải
Đặt x =
3

x ·
3
sin t
·

9
sin
2
t
−9
d t =
π
4

π
3
cos t
3sint ·

cos
2
t
sin
2
t
d t
=
1
3
π

3
1
t
2
+9
d t ta áp dụng phương pháp giải ở mục 5.3 trang 19.
Ví dụ 5.4. Tính

2
2

1
1

4x
2
−1
d x
Giải
Đặt x =
1
2cost
, t ∈

0,
π
2

⇒d x =
sin t

2
; t =
π
4
⇒u =

2
2
Khi đó: I =
π
4

π
3
1
cos
2
t
·cos t dt =
π
4

π
3
1
sin
2
t −1
·cos t dt
=

1
2
ln


2 +1

3 +1

Nhận xét: phép đổi biến sang lượng giác trong bài này là phù hợp nhưng đây chưa phải
là cách làm hiệu quả nhất, nếu ta đổi biến theo hướng khác t =2x +

4x
2
−1 thì bài giải
gọn hơn nhiều. Qua đó cho thấy một bài tích phân có nhiều cách giải khác nhau, tìm
được lời giải đẹp đòi hỏi nhiều về kinh nghiệm và khả năng suy luận của mỗi người.
 Bài toán tương tự
1.

2
2

0
1

1 −x
2
d x. Đáp số:
1


2

x
2
−4
x
3
d x. Đáp số:
π
48
−

3
32
5.3 Dạng 3
Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

a
2
+x
2

k
, a > 0, với bài tập có dạng
này ta đặt
• x =a tant,t ∈

−
π

⇒d x =
3
cos
2
t
d t
Đổi cận: x =3 ⇒ t =
π
4
; x =3

3 ⇒ t =
π
3
Khi đó: I =
π
3

π
4
1
9tan
2
t +9
·
3
cos
2
t
d t =

t d t =
1
3
π
3

π
4
d t =
π
36
Ví dụ 5.6. Tính
2

0
1
x
2
+4
d x
Giải
Đặt x =2cot t , t ∈
(
0,π
)
⇒d x =
2
cos
2
t

1 +cot
2

sin
2
t
d t
=
1
2
π
4

0
1
sin
2
t
·sin
2
t d t =
1
2
π
4

0
d t =
π
8

Khi đó: I =
π
4

0
tan t

1 +tan
2
t ·
1
cos
2
t
d t =
π
4

0
sin t
cos t
·
1
cos t
·
1
cos
2
t
d t

3
d x. Đáp số:
3π
32
+
1
4
2.
2

0
1

x
2
+4

2
d x. Đáp số:
1
32

π
2
+1

3.

3




2 −1

+
3

3−2

3
3
Dạng tổng quát
Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

a
2
+b
2
x
2

k
, với bài tập có dạng này ta
đặt
• x =
a
b
tan t,t ∈

−