H×nh kh«ng gian GV: Ph¹m V¨n S¬n
PH NG PHÁP TO Đ TRONG KHÔNG GIANƯƠ Ạ Ộ
I. T A Đ C A VECT VÀ C A ĐI MỌ Ộ Ủ Ơ Ủ Ể
A. Ví d :ụ
VD1: Vi t t a đ c a các vect say đây: ế ọ ộ ủ ơ
2a i j
→ → →
= − +
;
7 8b i k
→ → →
= −
;
9c k
→ →
= −
;
3 4 5d i j k
→ → → →
= − +

VD2: Cho ba vect ơ
→
a
= ( 2;1 ; 0 ),
→
b
= ( 1; -1; 2) ,
→
c
= (2 ; 2; -1 ).

b
,
→
c
.
VD3: Cho 3 vect ơ
→
a
= (1; m; 2),
→
b
= (m+1; 2;1 ) ,
→
c
= (0 ; m-2 ; 2 ) .Đ nh m đ 3 vect đó đ ngị ể ơ ồ
ph ng . ẳ
VD4: Cho:
( ) ( ) ( )
2; 5;3 , 0;2; 1 , 1;7; 2a b c
→ → →
= − = − =
. Tìm t a đ c a vect : a) ọ ộ ủ ơ
1
4 3
2
d a b c
→ → → →
= − +
b)
4 2e a b c

( )
5;4; 1a
→
= −
,
( )
2; 5;3 .b
→
= −
VD6: Cho ba đi m không th ng hàng: ể ẳ
(1;3;7), ( 5;2;0), (0; 1; 1).A B C
− − −
Hãy tìm t a đ tr ng tâmọ ộ ọ
G c a tam giác ABC.ủ
VD7: Cho b n di m không đ ng ph ng : ố ể ồ ẳ
(2;5; 3), (1;0;0), (3;0; 2), ( 3; 1;2).A B C D
− − − −
Hãy tìm t aọ
đ tr ng tâm G c a t di n ABCD.ộ ọ ủ ứ ệ
VD8: Cho đi m M(1; 2; 3). Tìm t a đ hình chi u vuông góc c a đi m M:ể ọ ộ ế ủ ể
a) Trên các m t ph ng t a đ : Oxy, Oxz, Oyz.ặ ẳ ọ ộ b) Trên các tr c t a đ : Ox, Oy, Oz.ụ ọ ộ
VD9: Cho đi m M(1 ; 2 ; 3). Tìm t a đ c a đi m đ i x ng v i đi m M:ể ọ ộ ủ ể ố ứ ớ ể
a) Qua g c t a đ O ố ọ ộ b) Qua m t ph ng Oxyặ ẳ c) Qua Tr c Oy.ụ
VD10: Cho hình h p ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tìm t a độ ọ ộ
c a các đ nh còn l i.ủ ỉ ạ
VD11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). Đ ng th ng AB c t m t ph ng Oyz t i đi m M.ườ ẳ ắ ặ ẳ ạ ể
a) Đi m M chia đo n th ng AB theo t s nào ? ể ạ ẳ ỉ ố b) Tìm t a đ đi m M.ọ ộ ể
B. Bài t pậ
Bài 1. Vi t d i d ng ế ướ ạ
x i y j z k

5
d
π
→
 
=
 ÷
 
( )
0; 3;0 .u
→
= −
Bài 2. Cho hai b ba đi m: A = (1; 3; 1), B = (0; 1; 2), C = (0; 0; 1) và A' = (1; 1; 1), B' = (-4;ộ ể
3; 1),
C' = (-9; 5; 1). H i b nào có ba đi m th ng hàng.ỏ ộ ể ẳ
Bài 3. Cho hình h p ABCD.A'B'C'D', A(xộ
1
; y
1
; z
1
), C(x
3
; y
3
; z
3
), B'(x'
2
;y'

 ÷  ÷
   

2 2 2
) 3 2 . ; ) 4 . 5d a a b b c b e a c b c
→ → → → → → → → → →
 
− + + −
 ÷
 
.
- 1 -
H×nh kh«ng gian GV: Ph¹m V¨n S¬n
Bài 2. Tính góc gi a hai vect ữ ơ
a
→
và
b
→
:
( ) ( )
) 4;3;1 , 1;2;3a a b
→ →
= = −

( ) ( )
) 2;5;4 , 6; 0; 3 .b a b
→ →
= = −
Bài 3. a) Trên tr c Oy tìm đi m cách đ u hai đi m: A(3; 1; 0) và B(-2; 4; 1).ụ ể ề ể

Bài 6. Cho b n đi m A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).ố ể
a) Ch ng minh r ng A, B, C, D là b n đ nh c a m t t di n. ứ ằ ố ỉ ủ ộ ứ ệ
b) Tìm góc t o b i các c nh đ i di n c a t di n ABCD.ạ ở ạ ố ệ ủ ứ ệ
c) Tính th tích t di n ABCD và tính đ dài đ ng cao c a t di n h t đ nh A.ể ứ ệ ộ ườ ủ ứ ệ ạ ừ ỉ
Bài 7. Cho ∆ ABC bi t A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). Hãy tìm đ dài đ ng phân giác trongế ộ ườ
c a góc B.ủ
Bài 8. Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho b n đi m A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;ớ ệ ọ ộ ố ể
1).
a) Ch ng minh r ng A, B, C, D t o thành t di n. Tính th tích c a kh i t di n ABCD.ứ ằ ạ ứ ệ ể ủ ố ứ ệ
b) Tính đ dài đ ng cao h t đ nh C c a t di n đó.ộ ườ ạ ừ ỉ ủ ứ ệ
c) Tính đ dài đ ng cao c a tam giác ABD h t đ nh B.ộ ườ ủ ạ ừ ỉ
d) Tính góc ABC và góc gi a hai đ ng th ng AB, CD. ữ ườ ẳ
Bài 9. Cho 3 đi m A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).ể
a) Xác đ nh đi m D sao cho t giác ABCD là hình bình hành .ị ể ứ
b) Tìm t a đ giao đi m c a hai đ ng chéo.ọ ộ ể ủ ườ
c) Tính di n tích tam giác ABC, đ dài BC t đó đ ng cao tam giác ABC v t A.ệ ộ ừ ườ ẽ ừ
Tìm t a đ tr ng tâm c a tam giác ABC .ọ ộ ọ ủ
Bài 10. Cho 4 đi m A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).ể
a) Ch ng minh 4 đi m A, B , C , D không đ ng ph ng.Tính th tích t di n ABCDứ ể ồ ẳ ể ứ ệ
b) Tìm t a đ tr ng tâm c a t di n ABCD .ọ ộ ọ ủ ứ ệ
c) Tính di n tích tam giác ABC , t đó suy ra chi u cao c a t di n v t D.ệ ừ ề ủ ứ ệ ẽ ừ
d) Tìm t a đ chân đ ng cao c a t di n v t D . ọ ộ ườ ủ ứ ệ ẽ ừ
Bài 11. Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho ba đi m A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)ớ ệ ọ ộ ể
a) Tìm đ dài các c nh c a tm giác ABC.ộ ạ ủ b) Tính cosin các góc A,B,C .
c) Tính di n tích tam giác ABCệ
Bài t p: ậ
Bài 1. Cho tam giác ABC, A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2).
a) Tìm đ dài các c nh c a tam giác ABCộ ạ ủ b) Tìm to đ trung đi m I c a c nh BCạ ộ ể ủ ạ
c) Tìm to đ tr ng tâm G c a tam giác ABCạ ộ ọ ủ d) Tính di n tích tam giác ABC.ệ
e) Tính đ ng cao c a tam giác h t A.ườ ủ ạ ừ f) Tính các góc c a tam giác ABCủ

, ,a b c
→ → →
- 2 -
H×nh kh«ng gian GV: Ph¹m V¨n S¬n
Bài 3. Cho ba véc t : ơ
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
; ; , ; ; , ; ;
2 2 2
a b c b a c c a b
p a a q b b r c c
→ → →
     
− − − − − −
= = =
 ÷  ÷  ÷
     
V i a, b, c không đ ng th i b ng không thì ớ ồ ờ ằ
, ,p q r
→ → →
có đ ng ph ng khôngồ ẳ
Bài 4 . Cho ∆ ABC bi t A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5). Hãy tìm đ dài đ ng phân giác trongế ộ ườ
c a góc B.ủ
Bài 5. Cho ∆ ABC bi t A(-11; 8; 4), B(-1; -7; -1), C(9; -2; 4). ế
a) Ch ng minh tam giác ABC vuông ứ b) Tính di n tích tam giác ABCệ
Bài 6. Cho sáu đi m ể A(3; 5; -4), B(-1; 1; 2), C(-5; -5; -2), A’(5; 1; 5), B’(4; 3; 2), C’(-3; -2; 1).
a) Ch ng minh tam giác ABC cân, tam giác A’B’C’ vuôngứ
b) G i G, G’, G’’ là tr ng tâm tam giác ọ ọ ∆ ABC, ∆ A’B’C’và c a t di n A’ABC. Tính ủ ứ ệ
·
tan G'GG''

(BCD)
e) Tính cosin góc g a hai m t ph ng (ABD) và (BCD)ữ ặ ẳ f) Tìm to đ đi m I cách đ u A, B, C, D ạ ộ ể ề
III. M T PH NGẶ Ẳ
Bài toán 1 . Ph ng trình m t ph ngươ ặ ẳ
Bài 1: L p ph ng trình m t ph ng (P) đi qua đi m M và có vtpt ậ ươ ặ ẳ ể
n
r
bi tế
a,
( ) ( )
M 3;1;1 , n 1;1;2= −
r
b,
( ) ( )
M 2;7;0 , n 3;0;1− =
r
c,
( ) ( )
M 4; 1; 2 , n 0;1;3− − =
r
d,
( ) ( )
M 2;1; 2 , n 1;0;0− =
r
e,
( ) ( )
M 3;4;5 , n 1; 3; 7= − −
r
f,
( ) ( )

b,
( ) ( )
M 1;1; 0 , :x 2y z 10 0− β − + − =
c,
( ) ( )
M 1; 2;1 , : 2x y 3 0− β − + =
d,
( ) ( )
M 3;6; 5 , : x z 1 0− β − + − =
Bài 4 L p ph ng trình c a m t ph ng (P) đi qua đi m M(2ậ ươ ủ ặ ẳ ể ;3;2) và c p VTCP làặ
(2;1; 2); (3; 2; 1)a b −
r r

Bài 5 : L p ph ng trình c a m t ph ng (P) đi qua M(1ậ ươ ủ ặ ẳ ;1;1) và
a) Song song v i các tr c 0x và 0y.ớ ụ b) Song song v i các tr c 0x,0z.ớ ụ
c) Song song v i các tr c 0y, 0z.ớ ụ
Bài 6 : L p ph ng trình c a m t ph ng đi qua 2 đi m M(1ậ ươ ủ ặ ẳ ể ;-1;1) và B(2;1;1) và :
a) Cùng ph ng v i tr c 0x.ươ ớ ụ b) Cùng ph ng v i tr c 0y.ươ ớ ụ
c) Cùng ph ng v i tr c 0z.ươ ớ ụ
Bài 7 : Xác đ nh ị to đ c a ạ ộ ủ véc t ơ
n
vuông góc v i hai ớ véc t ơ
(6; 1;3); (3; 2;1)a b−
r r
.
Bài 8 : Tìm m t VTPT c a m t ph ng (P) ,bi t (P) có c p VTCP là ộ ủ ặ ẳ ế ặ
)4,2,3( );2,7,2( ba
Bài 9 : L p ph ng trình t ng quát c a m t ph ng (P) bi t :ậ ươ ổ ủ ặ ẳ ế
- 3 -
H×nh kh«ng gian GV: Ph¹m V¨n S¬n

c) Vi t ph ng trình m t ph ng (R) qua A và song song v i m t ph ng (P)ế ươ ặ ẳ ớ ặ ẳ .
Bài toán 2. V trí t ng đ i c a hai ị ươ ố ủ m t ph ngặ ẳ
Bài 1: Xét v trí t ng đ i ci a các c p m t ph ng sau:ị ươ ố ủ ặ ặ ẳ
a) (P
1
): y – z + 4 = 0, và
( )
2
: 3 0P x y z− + − =
b) (P
1
): 2x+4y-8z+9=0
( )
2
: 2 4 1 0P x y z+ − + =
c) (P
1
): x+y-z-4=0và
( )
2
: 2 2 2 8 0P x y z+ − − =
Bài toán 3: Chùm m t ph ngặ ẳ
Bài 1: L p ph ng trình m t ph ng qua M(2;1;3) và đi qua đ ng th ng (d):ậ ươ ặ ẳ ườ ẳ
a)
( )



=−+−
=−+−

2
) 3x – y + z – 1 = 0
Bài 3: L p ph ng trình m t ph ng ch a đ ng th ng ậ ươ ặ ẳ ứ ườ ẳ
( )



=−
=−+−
02
0323
:
zx
zyx
d
và song song v iớ
m t ph ng (Q) có ph ng trình: 11x - 2y - 15z – 6 = 0.ặ ẳ ươ
Bài 4: L p ph ng trình m t ph ng qua giao tuy n c a (Pậ ươ ặ ẳ ế ủ
1
): y + 2z – 4 = 0 và (P
2
) : x + y – z – 3 =
0 và song song v i m t ph ng (Q): ớ ặ ẳ
- 2 0x y z+ + =
.
Bài 5: L p ph ng trình m t ph ng ch a đ ng th ng ậ ươ ặ ẳ ứ ườ ẳ
( )






=−
=−+−
02
0323
:
zx
zyx
d
và song song v iớ
đ ng th ng (d) có ph ng trình :ườ ẳ ươ
a)
( )



=+−+
=−+−
0323
0723
:
zyx
zyx
d
b)
( )
5
5
4




=+−+
=−+−
0323
0723
:
zyx
zyx
d
b)
( )
5
5
4
3
2
2
:
+
=
−
=
−
− zyx
d
Bài 9: L p ph ng trình ch a m t ph ng đ ng th ng và v i m t ph ng (Q) m t góc 60 đ bi t:ậ ươ ứ ặ ẳ ườ ẳ ớ ặ ẳ ộ ộ ế

( )



=−+
=−−
01
02
:
zy
zx
d
và (P
1
): 5x+5y-3z-2=0 và
(P
2
):2x-y+z-6=0. L p ph ng trình m t ph ng (P) ch a đ ng th ng (d) sao cho:ậ ươ ặ ẳ ứ ườ ẳ
( ) ( )
1
PP ∩
và
( ) ( )
2
PP ∩
là hai đ ng vuông góc.ườ
Bài 12: (ĐHKT-93): cho hai đ ng th ng (dườ ẳ
1
) và (d
2
) có ph ng trình :ươ


( )
1
P
,
( )
2
P
song song v i nhau và l n l t ch a ớ ầ ượ ứ
( )
1
d

( )
2
d

b) Tính kho ng cách gi a ả ữ
( )
1
d
,
( )
2
d

c) L p ph ng trình đ ng th ng (D) song song v i tr c Oz và c t c 2 đ ng th ngậ ươ ườ ẳ ớ ụ ắ ả ườ ẳ
( )
1
d
,

Bài 3: Vi t ph ng trình chính t c c a đ ng th ng đi qua đi m M(2;3;-5) và song song v iế ươ ắ ủ ườ ẳ ể ớ
đ ng th ng (d) có ph ng trình: ườ ẳ ươ
3 2 7 0
3 2 3 0
x y z
x y z
− + − =


+ − + =

Bài 4: Cho đ ng th ng (D) và m t ph ng (P) có ph ng trình là :ườ ẳ ặ ẳ ươ
( )



=+++
=++−
0732
0143
:
zyx
zyx
d
và (P):
x+y+z+1=0
Tìm ph ng trình chính t c c a đ ng th ng (t) đi qua A(1;1;1) song song v i m t ph ng (P) vàươ ắ ủ ườ ẳ ớ ặ ẳ
vuông góc v i đ ng th ng (D)ớ ườ ẳ
- 5 -
H×nh kh«ng gian GV: Ph¹m V¨n S¬n

zyx
d
Bài 2: Cho đ ng th ng (d) có ph ng trình : ườ ẳ ươ
( )



=+−−
=++−
0642
0104
:
zyx
zyx
d
. Hãy vi t ph ng trìnhế ươ
tham s c a đ ng th ng đó ố ủ ườ ẳ
Bài 3: Cho đ ng th ng (d) có ph ng trình : ườ ẳ ươ
( )



=+−−
=++−
0642
0104
:
zyx
zyx
d

Bài 6: L p ph ng trình tham s , chính t c và t ng quát c a đ ng th ng (d) đi qua đi mậ ươ ố ắ ổ ủ ườ ẳ ể
A(1;2;3) và song song v i đ ng th ng (ớ ườ ẳ
∆
) cho b i :ở
a)
( )
2 2
: 3 t
3
x t
y t R
z t
= +


∆ = − ∈


= − +

. b)
( )
1 0
:
4 1 0
x y
x z
+ − =

∆

zyx
zyx
d
Bài 8:Trong không gian Oxyz, l p ph ng trình tham s , chính t c và t ng quát c a đ ng th ngậ ươ ố ắ ổ ủ ườ ẳ
(d) đi qua đi m A(3;2;1), song song v i m t ph ng (P) và vuông góc v i đ ng th ng (ể ớ ặ ẳ ớ ườ ẳ ∆).
Bi t m t ph ngế ặ ẳ
( ) : - 2 0P x y z+ + =
và



=++
=−+
∆
014
01
:)(
zy
yx
B ài toán 3. V trí t ng đ i c a đ ng th ng và m t ph ngị ươ ố ủ ườ ẳ ặ ẳ
Bài1: Xét v trí t ng đ i c a đ ng th ng (d) và m t ph ng (P) ,bi t:ị ươ ố ủ ườ ẳ ặ ẳ ế
a)
( )
R t,
2
3
1
: ∈



c)
( )

05
010632
:



=+++
=−++
zyx
zyx
d
(P): y+4z+17=0 d)
( )

01
03
:



=−
=−++
y
zyx
d
(P): x+y-2=0
Bài 2: Hãy tính sin c a góc t o b i đ ng th ng (d) và m t ph ng (P) cho b i :ủ ạ ở ườ ẳ ặ ẳ ở


=+++
=−++
zyx
zyx
d
và
( )
: 2 3 1 0P x z y− + − =
- 6 -
H×nh kh«ng gian GV: Ph¹m V¨n S¬n
c)
( )
R t,
22
2
21
: ∈





+=
+−=
+=
tz
ty
tx
d




=++++
=−+−++
mzmmx
mymxm
d
m
xác đ nh m đ (dị ể
m
)//
(P)
B ài toán 4. V trí t ng đ i c a haiị ư ơ ố ủ đ ng th ngườ ẳ
Bài 1: s d ng tích h n t p xác đ nh v trí t ng đ i c a hai đ ng th ng (dử ụ ỗ ạ ị ị ươ ố ủ ườ ẳ
1
) và (d
2
) có ph ngươ
trình cho b i:ở
a)
( )
R
tz
ty
tx
d ∈




tx
d ∈





+−=
+=
+=
t
33
2
21
:
1
,
( )

13
23
2
:
2





+=


=+−
=+−+
yx
zyx
d
Bài 2: Trong không gian 0xyz ,cho hai đ ng th ng (dườ ẳ
1
),(d
2
) có ph ng trình cho b i :ươ ở
( )

5
1
25
:
1





−=
−=
+=
tz
ty
tx
d

b) Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) song song ,cách đ u (dế ươ ườ ẳ ề
1
),(d
2
) và thu c m t ph ng ch a (dộ ặ ẳ ứ
1
),(d
2
) .
Bài 3: Cho hai đ ng th ng (dườ ẳ
1
),(d
2
) có ph ng trình cho b i:ươ ở
( )
4
9
1
5
3
7
:
1
−
−
=
−
−
=
+ zyx

).
Bài 4: Trong không gian 0xyz ,cho hai đ ng th ng (dườ ẳ
1
),(d
2
) có ph ng trình cho b i :ươ ở
( )
R t
46
2
23
:
1
∈





+=
+−=
+−=
tz
ty
tx
d
,
( )

015

2
2
1
:
1
−
=
+
=
−
− zyx
d

( ) ( )
t
32
1
:
2
R
tz
ty
tx
d ∈





+−=

−=
=
−=
z
ty
tx
d
,
( ) ( )
R
tz
ty
tx
d ∈





=
+=
=
1
1
1
1
2
tt, 1
2
:

:
2



=++
=−−
zy
zx
d
a) Ch ng t r ng hai đ ng th ng (dứ ỏ ằ ườ ẳ
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Vi t ph ng trìnhm t ph ng(P) song song, cách đ u (dế ươ ặ ẳ ề
1
),(d
2
) .
Bài8: Trong không gian 0xyz ,cho hai đ ng th ng (dườ ẳ
1
),(d
2
) có ph ng trình cho b i :ươ ở
( )
3
3
2
2

1
),(d
2
) .
B ài toán 5. Hai đ ng th ng đ ng ph ng và bài t p liên quanườ ẳ ồ ẳ ậ
Bài 1: (ĐHBK-TPHCM-93): Vi t ph ng trình m t ph ng (P) ch a (dế ươ ặ ẳ ứ
1
),(d
2
) ,bi t:ế

( )
2
3
2
1
3
1
:
1
−
−
=
−
=
+ zyx
d

( )
2

t
3
21:
2
R
tz
ty
tx
d ∈





−=
−−=
=
CMR (d
1
),(d
2
) và đi m A cùng thu c m t ph ng.ể ộ ặ ẳ
Bài 3: Cho hai đ ng th ng (dườ ẳ
1
),(d
2
) có ph ng trình cho b i : ươ ở
( )



), (d
2
)
Bài 4: Cho hai đ ng th ng (dườ ẳ
1
),(d
2
) có ph ng trình cho b i : ươ ở
( )
1
1
2
1
1
2
:
1
−
=
−
=
− zyx
d

( ) ( )
t
31
2
21
:

) có ph ng trình cho b i :ươ ở
( )
3
2
4
1
1
3
:
1
−
=
+
=
− zyx
d
,
( )

03
024
:
2



=−
=−−
zx
yx





+=
−=
+−=
tz
ty
tx
d

( ) ( )
R
tz
ty
tx
d ∈





−−=
+−=
+=
1
1
1
1

. Tìm to đ đi m Aạ ộ ể
1
thu c (dộ
1
) và to đạ ộ
đi m Aể
2
thu c (dộ
2
) đ đ ng th ng Aể ườ ẳ
1
A
2
vuông góc v i (dớ
1
) và vuông góc v i (dớ
2
) .
Bài 3: (ĐH L 1996) Cho hai đ ng th ng (dườ ẳ
1
),(d
2
) có ph ng trình cho b i : ươ ở

( )

1
1
:
1

1
2
tt, 1
2
:
a) Ch ng t r ng hai đ ng th ng (dứ ỏ ằ ườ ẳ
1
),(d
2
) chéo nhau.Vi t ph ng trình m t ph ng (P),(Q) song songế ươ ặ ẳ
v i nhau và l n l t ch a (dớ ầ ượ ứ
1
),(d
2
)
b) Tính kho ng cách gi a (dả ữ
1
),(d
2
) .
Bài 4: (ĐHTS-96): Cho hai đ ng th ng (dườ ẳ
1
),(d
2
) có ph ng trình cho b i : ươ ở
( ) ( )
Rt
12
23
31

a) Ch ng t r ng hai đ ng th ng (dứ ỏ ằ ườ ẳ
1
),(d
2
) chéo nhau. Tính kho ng cách gi a (dả ữ
1
),(d
2
)
b) Vi t ph ng trình đ ng th ng vuông góc chung c a (dế ươ ườ ẳ ủ
1
),(d
2
) .
Bài 5: : (PVBC 99) Cho hai đ ng th ng (dườ ẳ
1
),(d
2
) ,bi t:ế

( )
1
2
3
1
2
1
:
1
−

1
),(d
2
) ,bi t:ế

( )



=−+
=+
04y-x
0yx
: d
1
z

( ) ( )
t
2
31
:
2
R
tz
ty
tx
d ∈



−
−
=
−
=
− zyx
d

( )
3
1
2
1
7
3
:
2
−
=
−
=
−
− zyx
d
a) Ch ng t r ng hai đ ng th ng (dứ ỏ ằ ườ ẳ
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Vi t ph ng trình đ ng th ng vuông góc chung c a (dế ươ ườ ẳ ủ

d
,
( ) ( )
R
tz
ty
x
d ∈





−=
+=
=
21
2
22
t,t
3
1
1
:
a) Ch ng t r ng hai đ ng th ng (dứ ỏ ằ ườ ẳ
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Vi t ph ng trình m t ph ng (P) ch a (dế ươ ặ ẳ ứ

5
22
:
2
R
tz
ty
tx
d ∈





+=
−=
+−=
a) Ch ng t r ng hai đ ng th ng (dứ ỏ ằ ườ ẳ
1
),(d
2
) chéo nhau. b) Tính kho ng cách gi a (dả ữ
1
),(d
2
) .
c) Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua M(1,1,1) và c t đ ng th i (dế ươ ườ ẳ ắ ồ ờ
1
),(d
2

=−−
zy
zx
d
b)
( )
3
3
2
2
1
1
:
1
−
=
−
=
− zyx
d

( )

0532
02
:
2




13
23
2
:
2





+=
+−=
+=
uz
uy
ux
d
Bài 3: Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) song song v i đ ng th ng (ế ươ ườ ẳ ớ ườ ẳ ∆) và c t c hai đ ngắ ả ườ
th ng: ẳ
( )

01
02
:



=++−
=++
∆




=−
=−+
y
zx
d
Bài 4: (ĐHDL-97): Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua A(1;-1;0) và c t c hai đ ng th ng:ế ươ ườ ẳ ắ ả ườ ẳ
( )
2
1
1
1
1
:
1
−
=
+
=
zyx
d
( )
121
1
:
2
zyx
d ==

−=
−−=
+−=
Bài 6: Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) vuông góc v i (P) :x+y+z-2=0 và c t c hai đ ngế ươ ườ ẳ ớ ắ ả ườ
th ng (dẳ
1
) và (d
2
):
( )
R
tz
ty
tx
d ∈





=
−=
+=
t
2
1
2
:
1


−=
+=
+=
t
33
2
12
:
1

( )

0313
23
2
:
2





=−+=
+−=
+=
uz
uy
ux
d
Bài toán 2 : Đ ng th ng đi qua m t đi m vuông góc v i c hai đ ng th ngườ ẳ ộ ể ớ ả ườ ẳ

zx
d
b)
( )

01225
0823
:
1



=−+
=−−
zx
yx
d
( ) ( )
t
2
23
31
:
2
R
tz
ty
tx
d ∈


1
zyx
d =
+
=
−

( )

01
02
:
2



=+
=+−+
x
zyx
d
Bài 2: Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua A(1;1;1) và vuông góc v i đ ng th ng (dế ươ ườ ẳ ớ ườ ẳ
1
) và c tắ
(d
2
) ,bi t :ế
- 10 -
H×nh kh«ng gian GV: Ph¹m V¨n S¬n
( )

)

và vuông góc v iớ
vect ơ
( )
1;2;3u
r
, bi t: ế
( )



=+
=+
01z
01y-x
: d
1

( )

0
01
:
2



=
=−+

0y-mx
: d
1

( )

0
:
2



−=
=+
az
ymx
d
Bài 5: (ĐHTL-97):Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua A(3;-2;-4) song song v i m t ph ngế ươ ườ ẳ ớ ặ ẳ
(P) :3x-2y-3z-7=0 và c t đ ng th ng (d) bi t: ắ ườ ẳ ế
( )
2
1
2
4
3
2
:
−
=
−

zyx
d
a) Xác đ nh to đ giao đi m A c a (d) và (P).ị ạ ộ ể ủ
b) L p ph ng trình đ ng th ng (dậ ươ ườ ẳ
1
) đ i x ng v i (d) qua (P)ố ứ ớ
Bài 6: Cho m t ph ng (P) và đ ng th ng (d) có ph ng trình :ặ ẳ ườ ẳ ươ
( ) : 2 4 0P x y z+ + + =
và
( )

0723
032
:



=−−
=−+
zx
yx
d
a) Xác đ nh to đ giao đi m A c a (d) và (P).ị ạ ộ ể ủ
b) L p ph ng trình đ ng th ng (dậ ươ ườ ẳ
1
) đ i x ng v i (d) qua (P)ố ứ ớ
Bài 7: (ĐHQG 1998) Cho các đi m A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) (a,b,c d ng ). D ng hình h pể ươ ự ộ
ch nh t nh n O,A,B,C làm 4 đ nh và g i D là đ nh đ i di n v i đ nh O c a hình h p đó ữ ậ ậ ỉ ọ ỉ ố ệ ớ ỉ ủ ộ
a) Tính kho ng cách t C đ n m t ph ng (ABD)ả ừ ế ặ ẳ
b) Tính to đ hình chi u vuông góc c a C xu ng m t ph ng (ABD). Tìm đi u ki n đ i v i a,b,c đạ ộ ế ủ ố ặ ẳ ề ệ ố ớ ể

−
+
=
−
=
zyx
d
và (P): x-y+3z+8=0. Hãy vi t ph ngế ươ
trình chính t c hình chi u vuông góc c a (d) lên (P) .ắ ế ủ
Bài 4: Trong không gian 0xyz cho đ ng th ng (d) và m t ph ng (Q) có ph ng trình :ườ ẳ ặ ẳ ươ
- 11 -
H×nh kh«ng gian GV: Ph¹m V¨n S¬n
( )



=
=+
02z-x
03-z2y-3x
: d

( ) ( )
R
ttz
tty
ttx
Q ∈



1
) c a (d) lên (P) .ủ
Bài 6: (ĐH Càn Th 1998) Trong không gian v i h to đ vuông góc 0xyz cho đ ng th ng (d)ơ ớ ệ ạ ộ ườ ẳ
và m t ph ng (P) có ph ng trình: ặ ẳ ươ
( )
3
1
2
2
1
1
:
−
=
−
=
− zyx
d
và (P): x+y+z+1=0. Hãy vi tế
ph ng trình chính t c hình chi u vuông góc (dươ ắ ế
1
) c a (d) lên (P) .ủ
Bài 7: (HVQY-95): Trong không gian v i h to đ vuông góc 0xyz cho đ ng th ng (d) và m tớ ệ ạ ộ ườ ẳ ặ
ph ng (P) có ph ng trình : ẳ ươ
( )
3
1
2
2
1

: d
1
,
( )

02
0123
:
2



=+−
=+−
zx
zy
d
a) Hãy vi t ph ng trình hình chi u vuông góc (ế ươ ế ∆
1
), (∆
2
) c a (dủ
1
), (d
2
) lên (P). Tìm to đ giao đi m Iạ ộ ể
c a (dủ
1
), (d
2

R
tz
ty
tx
d ∈





−=
+=
+=
t
33
2
12
:
.Xác đ nhị
to đ hình chi u vuông góc c a A lên (d) .T đó tìm to đ đi m Aạ ộ ế ủ ừ ạ ộ ể
1
đ i x ng v i A qua (d) .ố ứ ớ
Bài 3: cho đi m A(2;1;-3) và đ ng th ng (d) có ph ng trình : ể ườ ẳ ươ
( )
1
3
2
2
1
1

Bài 5: (Đ 60-Va): L p ph ng trình đ ng th ng qua A(3;2;1) và vuông góc v i đ ng th ng ề ậ ươ ườ ẳ ớ ườ ẳ
(d)
1
3
42
:
+
==
zyx
và c t v i đ ng th ng đó .ắ ớ ườ ẳ
Bài 6: (ĐHTM-2000): L p ph ng trình đ ng th ng qua A(2;-1;0) và vuông góc v i đ ngậ ươ ườ ẳ ớ ườ
th ng ẳ
- 12 -
H×nh kh«ng gian GV: Ph¹m V¨n S¬n
( )

012
025
:



=++−
=+++
zyx
zyx
d
và c t v i đ ng th ng đó .ắ ớ ườ ẳ
Bài7: (HV BCVT-2000): Cho 2 đ ng th ng (ườ ẳ ∆) và (d) có ph ng trình :ươ
( )

L p ph ng trình đ ng th ng (d1) đ i x ng v i (d) qua (ậ ươ ườ ẳ ố ứ ớ ∆)
Bài 8: (ĐHHH-1999): Trong không gian cho 2 đ ng th ng (d1),(d2) :ườ ẳ
( )
R t
54
21:)(d
01
012
:
21
∈





+=
+=
=



=−+−
=++
tz
ty
tx
zyx
yx
d

( )

0
:
1



=
=−
hz
ymx
d
,
( )

0
:
2



−=
=−
hz
ymx
d
,
( )


3
, A
4
c a A b t kì trong không gian qua (dủ ấ
1
), (d
2
), (d
3
), (d
4
) là
đ ng ph ng. L p ph ng trình m t ph ng ch a chúng .ồ ẳ ậ ươ ặ ẳ ứ
Bài toán 7: Đi m và m t ph ngể ặ ẳ
Bài 1: cho hai đi m A(1;0;2) ;B(2;-1;3) và m t ph ng (P): x-2y+z-4=0.Tìm đi m M thu c (P) saoể ặ ẳ ể ộ
cho AM+BM nh nh t.ỏ ấ
Bài 2: cho hai đi m A(1;1;0) ;B(0;-1;1) và m t ph ng (P): x-2y+z-4=0.Tìm đi m M thu c (P) saoể ặ ẳ ể ộ
cho AM+BM nh nh t.ỏ ấ
Bài 3: (ĐHhu /A h ch a phân ban 97):Trong không gian v i h to đ 0xyz cho m t ph ng (P):ế ệ ư ớ ệ ạ ộ ặ ẳ
2x-y+z+1=0 và hai đi m A(3;1;0), B(-9;4;9) .Tìm to đ đi m M trên m t ph ng (P) sao choể ạ ộ ể ặ ẳ
MBMA −
là l n nh t .ớ ấ
Bài 4: (ĐHQG-2000):Cho m t ph ng ặ ẳ
(P):x+y+z-1=0 và hai đi m A(1;-3;0) ,B(5;-1;-2) ể
a) Ch ng t r ng đ ng th ng đi qua A,B c t m t ph ng (P) t i m t đi m I, tìm to đ đi m đó .ứ ỏ ằ ườ ẳ ắ ặ ẳ ạ ộ ể ạ ộ ể
b) Tìm to đ đi m M trên m t ph ng (P) sao cho ạ ộ ể ặ ẳ
MBMA −
đ t giá tr l n nh t.ạ ị ớ ấ
Bài 5: (ĐHMĐC-97):
cho ba đi m A(1;4;5) B(0;3;1) ,C(2;-1;0) và m t ph ng (P): 3x-3y-2z-15=0.G i G là tr ng tâmể ặ ẳ ọ ọ




−=
−=
+=
t
3
21
2
:
b)
( )
5
4
3
1
2
3
:
−
=
+
=
−
− zyx
d
c)
( )


Bài 3: (ĐHBK-98):Cho đ ng th ng (d) và m t ph ng (P)có ph ng trình :ườ ẳ ặ ẳ ươ
( )
R
tz
ty
tx
d ∈





=
−=
+=
t
3
2
21
:
,
( ) : 2 - - 2 1 0P x y z + =
a) Tìm to đ các đi m thu c đ ng th ng(d) sao cho kho ng cách t m i đi m đó đ n m tạ ộ ể ộ ườ ẳ ả ừ ỗ ể ế ặ
ph ng (P) b ng 1.ẳ ằ
b) G i K là đi m đ i x ng c a đi m I(2;-1;3) qua đ ng th ng (d) .Xác đ nh to đ K.ọ ể ố ứ ủ ể ườ ẳ ị ạ ộ
Bài 4: (ĐHH ng Đ c -2000): Cho đ ng th ng (d) và m t ph ng (P) có ph ng trình :ồ ứ ườ ẳ ặ ẳ ươ
( )
R
tz
ty

( )

015z-x
019-y4x
:)(d&
46
32
23
:
21



=+
=+





+=
+−=
+−=
tz
ty
tx
d
b)
( )


+=
+−=
+=
uz
uy
ux
d
c)
( )

01
012
:
1



=−+−
=++
zyx
yx
d
( )

012
033
:
2



1
:
1
,
( )

012
034
:
2



=+−−
=−+−
zyx
zyx
d

( )
1
5
1
1
3
:
3
−
=
−

d
và (P):x+y-7z-58=0.
Bài 4: (CĐSP TP.HCM-99): Cho đ ng th ng (d) và m t ph ng (P) có ph ng trình :ườ ẳ ặ ẳ ươ
( )
1
3
2
4
1
3
:
−
+
=
−
=
− zyx
d
và (P):2x+y+z-1=0
a) Xác đ nh s đo góc gi a đ ng th ng (d) và m t ph ng (P) .ị ố ữ ườ ẳ ặ ẳ
b) Tìm to đ giao đi m A c a đ ng th ng (d) và m t ph ng (P).ạ ộ ể ủ ườ ẳ ặ ẳ
c) L p ph ng trình t ng quát c a đ ng th ng (dậ ươ ổ ủ ườ ẳ
1
) đi qua A vuông góc v i (d) và n m trong m tớ ằ ặ
ph ng (P).ẳ
Bài 5: (ĐHAN-CS-98): Cho đ ng th ng (d) và m t ph ng (P) có ph ng trình :ườ ẳ ặ ẳ ươ
( )
2
1
2

a) G i A,B,C l n l t là giao đi m (khác g c to đ ) c a m t c u (S) v i 0x,0y,0z .Các đ nh toọ ầ ượ ể ố ạ ộ ủ ặ ầ ớ ỉ ạ
đ c a A,B,C và l p ph ng trình m t ph ng (ABC).ộ ủ ậ ươ ặ ẳ
b) L p ph ng trình các đ ng trung tuy n , đ ng cao và đ ng phân giác trong k t đ nh Aậ ươ ườ ế ườ ườ ẻ ừ ỉ
c a ủ ∆ABC.
c) Xác đ nh to đ tâm và tính bán kính đ ng tròn ngo i ti p ị ạ ộ ườ ạ ế ∆ABC.
Bài 3 Cho các đi m A(3;1;0), B(2;2;4) ,C(-1;21).ể
a) L p ph ng trình m t ph ng (ABC).ậ ươ ặ ẳ
b) L p ph ng trình các đ ng trung tuy n ,đ ng cao và đ ng phân giác trong k t đ nh Aậ ươ ườ ế ườ ườ ẻ ừ ỉ
c a ủ ∆ABC.
c) Xác đ nh to đ tâm và tính bán kính đ ng tròn ngo i ti p ị ạ ộ ườ ạ ế ∆ABC.
VI. M T C UẶ Ầ
Bài toán 1 . Ph ng trình m t c uươ ặ ầ
Bài 1: Trong các ph ng trình sau đây ,ph ng trình nào là ph ng trình c a m t c u ,khi đó chươ ươ ươ ủ ặ ầ ỉ
rõ to đ tâm và bán kính c a nó ,bi t:ạ ộ ủ ế
a)
( )
02642:
222
=++−−++ zyxzyxS
b)
( )
09242:
222
=+−+−++ zyxzyxS
c)
( )
03936333:
222
=+−+−++ zyxzyxS
d)

=−+−−++ mymmxzyxS
m

a) Tìm đi u ki n c a m đ (Sề ệ ủ ể
m
) là m t h m t c u .ộ ọ ặ ầ
b) Tìm quĩ tích tâm c a h (Sủ ọ
m
) khi m thay đ i.ổ
c) Tìm đi m c đ nh M mà (Sể ố ị
m
) luôn đi qua.
Bài 4: Cho h m t cong (Sọ ặ
m
) có ph ng trình: ươ
( )
03cos2sin2:
222
=−−−++ mymxzyxS
m

a) Tìm đi u ki n c a m đ (Sề ệ ủ ể
m
) là m t h m t c u .ộ ọ ặ ầ
b) CMR tâm c a (Sủ
m
) luôn ch y trên m t đ ng tròn (C) c đ nh trong m t ph ng 0xy khi m thay đ i.ạ ộ ườ ố ị ặ ẳ ổ
c) Trong m t ph ng 0xy, (C) c t 0y t i A và B. Đ ng th ng y=m(-1<m<1 ,mặ ẳ ắ ạ ườ ẳ
≠
0) ,c t (C) t i T, S ,ắ ạ

2
3
1
7
:
2
−
−
=
−
=
− zyx
d
,
( )
1
2
2
3
3
1
:
3
−
−
=
−
+
=
+ zyx





=
−=
+=
t
2
1
2
:
1
,
( )

03
022
:
2



=−
=−+
y
zx
d
a) CMR (d
1

và
( )
2
P
, bi tế
a) (ĐHL-95):
( )
2
1
2
1
3
2
:
−
=
−
=
−
− zyx
d
b)
( )
1
P
:x+2y-2z-2=0. và
( )
2
P
:x+2y-2z+4=0.






−−=
+=
+−=
t
2
3
21
:
, f)
( )
1
P
:3x4y+2z-10=0
( )
2
P
:2x-3y+4z-10=0
Bài 3: (ĐHLN-97): Cho đ ng th ng (d) và hai m t ph ng ườ ẳ ặ ẳ
( )
1
P
,
( )
2
P

P
.Tính đ dài đo n AB.ộ ạ
b) Vi t ph ng trình m t c u cod tâm I trên đ ng th ng (d) và ti p xúc v i hai m t ph ng ế ươ ặ ầ ườ ẳ ế ớ ặ ẳ
( )
1
P
và
( )
2
P
.
Bài toán 3: M t c u c t m t ph ngặ ầ ắ ặ ẳ
Bài 1: L p ph ng trình m t c u có tâm t o giao đi m I c a m t ph ng (P) và đ ng th ng (d)ậ ươ ặ ầ ạ ể ủ ặ ẳ ườ ẳ
sao cho m t ph ng (Q) c t kh i c u theo thíêt di n là hình tròn có di n tích 12ặ ẳ ắ ố ầ ệ ệ
π
,bi t :ế
a)
( )
R
tz
ty
tx
d ∈





+=
−=





+=
+=
+=
t
1
39
412
:
và
(P):y+4z+17=0.
Bài 3: Trong không gian 0xyz , cho hai đi m A(0;0;-3),B(2;0;-1) ,và m t ph ng (P):3x-8y+7z-ể ặ ẳ
1=0 .
a) (HVNH-2000): Tìm to đ đi m C n m trên m t ph ng (P) sao cho tam giác đ u .ạ ộ ể ằ ặ ẳ ề
b) L p ph ng trình m t c u (S) đi qua 3 đi m A,B,C và có tâm thu c m t ph ng (P):x-y-z-2=0.ậ ươ ặ ầ ể ộ ặ ẳ
BÀI TOÁN 4: M t c u ti p xúc v i đ ng th ngặ ầ ế ớ ườ ẳ
Bài 1: Vi t ph ng trình m t c u (S) bi t :ế ươ ặ ầ ế
a) Tâm I(1;2;-1) và ti p xúc v i đ ng th ng (d) có ph ng trình : ế ớ ườ ẳ ươ
( )
R
z
ty
tx
d ∈




R
tz
ty
tx
d ∈





+=
−=
+=
t
32
1
21
:
1
,
( )

012
043
:
2



=+−−

,
( )

012
033
:
2



=+−
=+−+
yx
zyx
d
- 16 -
H×nh kh«ng gian GV: Ph¹m V¨n S¬n
a) CMR hai đ ng th ng đó c t nhau .Xác đ nh t a đ giao đi m I c a chúng .ườ ẳ ắ ị ọ ộ ể ủ
b) Vi t ph ng trình t ng quát c a m t ph ng (P) đi qua hai đ ng th ng (dế ươ ổ ủ ặ ẳ ườ ẳ
1
) và (d
2
).
c) L p ph ng trình m t c u ti p xúc v i (dậ ươ ặ ầ ế ớ
1
),(d
2
) và có tâm thu c đ ng th ng (d) có ph ng trình :ộ ườ ẳ ươ
( )
R

∈





+=
+−=
+−=
tz
ty
tx
d
,
( )

015
0194
:
2



=+−
=−+
zx
yx
d
a) CMR hai đ ng th ng đó c t nhau .Xác đ nh t a đ giao đi m I c a chúng .ườ ẳ ắ ị ọ ộ ể ủ
b) Vi t ph ng trình t ng quát c a m t ph ng (P) đi qua hai đ ng th ng (dế ươ ổ ủ ặ ẳ ườ ẳ

( )
4
1
32
2
:
1
−
+
=
−
=
− zyx
d
,
( )
129
2
6
7
:
2
zyx
d =
−
=
−
−
a) CMR hai đ ng th ng đó song song v i nhau.ườ ẳ ớ
b) Vi t ph ng trình t ng quát c a m t ph ng (P) đi qua hai đ ng th ng (dế ươ ổ ủ ặ ẳ ườ ẳ

2
) ,bi t :ế

( )
4
9
1
5
3
7
:
1
−
=
−
−
=
+ zyx
d
,
( )
4
18
1
4
3
:
2
+
=

+=
t
1
3
23
:
Bài 7: Trong không gian 0xyz, cho hai đ ng th ng (dườ ẳ
1
),(d
2
) ,bi t :ế
( )
R) (t
33
2
21
:
1
∈





+−=
+=
+=
tz
ty
tx

2
).
d) L p ph ng trình m t c u ti p xúc v i (dậ ươ ặ ầ ế ớ
1
),(d
2
) và có tâm thu c m t ph ng (P) : xy+z-2=0ộ ặ ẳ
Bài 8: Trong không gian 0xyz, cho hai đ ng th ng (dườ ẳ
1
),(d
2
) ,bi t :ế
( )

01
03
:
1



=−+
=−++
zx
zyx
d
,
( )

01

020345
:



=−+−
=++−
zyx
zyx
d
a) Xác đ nh VTCP ị
a
c a (d) suy ra ph ng trình m t ph ng (P) qua I và vuông góc v i (d):ủ ươ ặ ẳ ớ
b) Tính kho ng cách t I đ n (d) t đó suy ra ph ng trình m t c u (S) có tâm sao cho (S) c t (d) t i haiả ừ ế ừ ươ ặ ầ ắ ạ
đi m phân bi t A,B tho mãn AB = 40.ể ệ ả
Bài 2: Cho đ ng th ng (d) và m t ph ng (P) có ph ng trình : ườ ẳ ặ ẳ ươ
( )
R
tz
ty
tx
d ∈





=
−=
+=

c) Vi t ph ng trình m t c u ngo i ti p t di n ABCD.ế ươ ặ ầ ạ ế ứ ệ
d) Tính th tích t di n ABCD.ể ứ ệ
Bài 4: Cho b n đi m A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).ố ể
a) (HVNHTPHCM-99):Vi t ph ng trình tham s c a đ ng th ng BC .H AH vuông góc BC .Tìm toế ươ ố ủ ườ ẳ ạ ạ
đ c a đi m H.ộ ủ ể
b) (HVNHTPHCM-99):Vi t ph ng trình t ng quát c a (BCD) .Tìm kho ng cách t A đ n m t ph ngế ươ ổ ủ ả ừ ế ặ ẳ
(BCD).
c) Vi t ph ng trình m t c u ngo i ti p t di n ABCD.ế ươ ặ ầ ạ ế ứ ệ
Bài 5: Trong không gian 0xyz, cho hình chóp .bi t to đ b n đ nh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4),ế ạ ộ ố ỉ
C(1;-1;4), D(3;1;0).
a) L p ph ng trình các m t c a hình chóp.ậ ươ ặ ủ b) L p ph ng trình m t c u (S) ngo i ti p hìnhậ ươ ặ ầ ạ ế
chóp .
c) Tính th tích hình chóp SABCD ể
Bài 6: (HVKTMM-97) Cho b n đi m A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).ố ể
a) CMR t di n ABCD có c p c nh đ i di n b ng nhau .ứ ệ ặ ạ ố ệ ằ b) Xác đ nh to đ tr ng tâm G c a t di n.ị ạ ộ ọ ủ ứ ệ
c) Vi t ph ng trình m t c u ngo i ti p ,n i ti p t di n ABCD.ế ươ ặ ầ ạ ế ộ ế ứ ệ
Bài toán 7: M t c u n i ti p kh i đa di nặ ầ ộ ế ố ệ
Bài 1: L p ph ng trình m t c u n i ti p hình chóp SABCD ,bi t: ậ ươ ặ ầ ộ ế ế
a)
4
( ;0;0)
3
S
,A(0;-4;0), B(0;-4;0),C(3;0;0). b) S ≡ 0,A(a;0;0),B(0;b;0), C(0;0;c), v i a,b,c>0.ớ
- 18 -
H×nh kh«ng gian GV: Ph¹m V¨n S¬n
Bài 2: Cho hình chóp SABCD .Đ nh ỉ
)4,
2
9

Bài toán 8: V trí t ng đ i c a đi m và m t c uị ươ ố ủ ể ặ ầ
Bài 1: Cho m t c u ặ ầ
( )
034:
222
=−−−−++ zyxzyxS
.xét v trí t png đ i c a đi m A đ i v iị ư ố ủ ể ố ớ
m t c u (S) trong các tr ng h p sau:ặ ầ ườ ợ
a) đi m A(1;3;2).ể b) đi m A(3;1;-4).ể c) đi m A(-3;5;1).ể
Bài 2: Tìm to đ đi m M thu c m t c u ạ ộ ể ộ ặ ầ
( )
03242:
222
=−+−−++ zyxzyxS
.Sao cho kho ngả
cách MA đ t giá tr l n nh t ,nh nh t,bi t:ạ ị ớ ấ ỏ ấ ế
a) đi m A(1;-2;0).ể b) đi m A(1;1;-2).ể
Bài toán 9: V trí t ng đ i c a đ ng th ng và m t c uị ươ ố ủ ườ ẳ ặ ầ
Bài 1: Cho m t c u ặ ầ
( )
06222:
222
=−−−−++ zyxzyxS
.Tìm to đ đi m M thu c (S) sao choạ ộ ể ộ
kho ng cách t M đ n (d) đ t giá tr l n nh t, nh nh t,bi t:ả ừ ế ạ ị ớ ấ ỏ ấ ế
a)
( )
R
tz
ty

Bài 1: (ĐHDL-97):Trong không gian v i h to đô tr c chu n 0xyz, cho m t c u (S) và m tớ ệ ạ ự ẩ ặ ầ ặ
ph ng (P) có ph ng trình :ẳ ươ
( )
022:
222
=−−++ xzyxS
,(P):x+z-1=0.
a) Tính bán kính và to đ tâm c a m t c u (S).ạ ộ ủ ặ ầ
b) Tính bán kính và to đ tâm c a đ ng tròn giao c a (S) và (P).ạ ộ ủ ườ ủ
Bài 2: (ĐHSPV-99): Cho đi m I(1;2;-2) và m t ph ng 2x+2y+z+5=0 .ể ặ ẳ
a) L p ph ng trình m t c u (S) tâm I sao cho giao c a (S) và (P) là đ ng tròn có chu vi b ng 8ậ ươ ặ ầ ủ ườ ằ
π
.
b) CMR m t c u (S) ti p xúc v i m t ph ng 2x-2=y+3=z.ặ ầ ế ớ ặ ẳ
c) L p ph ng trình m t ph ng ch a đ ng th ng (d) và ti p xúc v i (S).ậ ươ ặ ẳ ứ ườ ẳ ế ớ
Bài 3: (ĐHBK-A-2000): Cho hình chóp SABCD v i S(3;2;-1), A(5;3;-1), B(2;3;-4), C(1;2;0).ớ
a) CMR SABC có đáy ABC là tam giác đ u và ba m t bên là các tam giác vuông cân.ề ặ
b) Tính to đ đi m D đ i x ng v i đi m C qua đ ng th ng AB. M là đi m b t kì thu c m t c u tâmạ ộ ể ố ứ ớ ể ườ ẳ ể ấ ộ ặ ầ
D, bán kính
18=R
.(đi m M không ph thu c m t ph ng (ABC) ). Xét tam giác có đ dài các c nh b ngể ụ ộ ặ ẳ ộ ạ ằ
đ dài các đo n tj mg MA, MB, MC. H i tam giác đó có đ c đi m gì ?ộ ạ ẳ ỏ ặ ể
Bài 4: (ĐHPCCC-2000): Cho đ ng tròn (C) có ph ng trình : ườ ươ
( )



=
=++
0

) và (S
2
) c t nhau.ắ
b) Vi t ph ng trình m t c u qua giao đi m c a (Sế ươ ặ ầ ể ủ
1
) và (S
2
) qua đi m M(2,0,1).ể
- 19 -
H×nh kh«ng gian GV: Ph¹m V¨n S¬n
Bài 2: Cho hai m t c u: ặ ầ
( )
9:
222
1
=++ zyxS
,
( )
06222:
222
2
=−−−−++ zyxzyxS
a) CMR hai m t c u (Sặ ầ
1
) và (S
2
) c t nhau.ắ
b) Vi t ph ng trình m t c u qua giao đi m c a (Sế ươ ặ ầ ể ủ
1
) và (S