Ch
Ch
ương 2
ương 2
: BI
: BI
ẾN ĐỔI
ẾN ĐỔI
Z V
Z V
À ỨNG DỤNG VÀO
À ỨNG DỤNG VÀO H
H
Ệ THỐNG LTI RỜI RẠC
Ệ THỐNG LTI RỜI RẠC
2.1 BIẾN ĐỔI Z
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ LTI RỜI RẠC
2.5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA


n
znxzX )()(
→←
Z
 →←
−
1
Z
≡
Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía
•
Biến đổi Z của dãy x(n):
Biến đổi Z 1 phía dãy x(n):
(*)
(**)
Trong đó Z – biến số phức
∑
∞
−∞=
−
=
n
n
znxzX )()(

•
Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence)

C
•
Để tìm ROC của X(z) ta áp dụng
tiêu chuẩn Cauchy
•
Tiêu chuẩn Cauchy:
Một chuỗi có dạng:
hội tụ nếu:

Ví dụ 5.1.1
Ví dụ 5.1.1
:
: Tìm biến đổi Z & ROC của:

Giải:
Giải:
( )
n
n
az
∑
∞
=
−

−∞=
−
=
n
n
znxzX )()(
[ ]
∑
∞
−∞=
−
=
n
nn
znua )(
∑
∞
=
−
=
0
.
n
nn
za
)()( nuanx
n
=
0
ROC

∑
∞
=
−
−=
1
1
az <⇔
1lim
1
1
<






−
∞→
n
n
n
za
∑
∞
−∞=
−
=
n

m
m
za
( )
1)(
0
1
+−=
∑
∞
=
−
n
m
zazX
1
1
1

−
−
=
az
0
ROC
ROC
Im(z)
Re(z)
/a/
Ví dụ 5.1.1

22112211
zXazXanxanxa
Z
+→←+
)1()()(
−−−=
nubnuanx
nn
ba <
Gi
Gi
ải:
ải:
•
Nếu:
•
Thì:
Ví dụ 5.2.1
Ví dụ 5.2.1
:
: Tìm biến đổi Z & ROC của:
với
ROC chứa R
1
∩ R
2


1
1
1
1
−−
−
+
− bzaz
0
ROC
ROC
Im(z)
Re(z)
/a/
0
ROC
ROC
Im(z)
Re(z)
/b/
azR >:
1
bzaRRR <<∩= :
21
0
ROC
ROC
Im(z)
Re(z)
/b/

nuanx
n
)1(.
1
−=
−
nuaa
n
az
az
az
Z
>
−
→←
−
−
:
1
1
1
RROC : )()( =→← zXnx
Z
R'ROC : )()(
0
0
=→←−
−
zXZnnx
nc) Nhân với hàm mũ a
n
)()(
1
nuanx
n
=
aR'
az
azXnuanxa
Z
nn
>
−
=→←=
−
−
z:;
1
1
1
1
)()()(
RROC : )()( =→← zXnx
Z
RROC : )()(

:
X
X
ét
ét biến đổi Z & ROC của:
và
1:;
1
1
1
>
−
=
−
zR
z

d) Đạo hàm X(z) theo z
)()( nunang
n
=
a
az
zXnuanx
Z
n
>

−
:
)1(
21
1
Giải:
Giải:Theo ví dụ 5.1.1:
Nếu:
Thì:
Ví dụ 5.2.4
Ví dụ 5.2.4
:
:
T
T
ìm
ìm biến đổi Z & ROC của:

e) Đảo biến số
Nếu:
Thì:
( )
)(1)( nuany
n

( )
a/1z:ROC;
az1
1
za1
1
)z(X)z(Y
1
1
1
<
−
=
−
==
−
−
−
•
Ví dụ 5.2.5
Ví dụ 5.2.5
:
:
T
T
ìm
ìm biến đổi Z & ROC của:





→←
∫
−
νν
ν
ν
π
c
Z
z
XXnxnx
h) Định lý giá trị đầu
Nếu x(n) nhân quả thì:
X(z) )0(
∞→
=
Z
Limx
RROC : )()(
222
=→← zXnx
Z
RROC : )()(
111
=→← zXnx
Z

x
i) Tổng chập 2 dãy
RROC : )()(
222
=→← zXnx
Z
RROC : )()(
111
=→← zXnx
Z
)()()(*)(
2121
zXzXnxnx
Z
→←
;ROC có chứa R
1
∩ R
2
1e lim
1/z
==
∞→Z
Thì:
Nếu:
Theo định lý giá trị đầu:


1
.
)5.01(
1
)()()(
11
<<
−−
==
−−
zROC
zz
zHzXzY
25,0:;
)21(
1
.
3
4
)5.01(
1
.
3
1
11
<<
−
+
−
−=

ải
ải
:
:

TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
x(n) X(z) R
a
1
x
1
(n)+a
2
x
2
(n) a
1
X
1
(z)+a
2
X
2
(z)
Chứa R
1

2
(n) X
1
(z)X
2
(z)
Chứa R
1
∩ R
2
dvv
v
z
XvX
j
C
1
21
)(
2
1
−






∫
π

)/(1-2z
-1
cosω
o
+z
-2
)
/z/ >1
sin(ω
o
n)u(n) (z
-1
sinω
o
)/(1-2z
-1
cosω
o
+z
-2
)
/z/ >1
1
1
1
−
−
z
1
1

π
Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong
mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo chiều
(+) ngược chiều kim đồng hồ

Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất
phức tạp của phép lấy tích phân vòng
•
Các phương pháp biến đổi Z ngược:

Thặng dư

Khai triển thành chuỗi luỹ thừa

Phân tích thành tổng các phân thức tối giản
(*)

5.3.2 PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ
5.3.2 PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ
b) Phương pháp:
•
Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theo
tích phân vòng (*) được xác định bằng tổng các thặng dư
tại tất cả các điểm cực của hàm X(z)z
n-1
:
•

•
Thặng dư tại điểm cực đơn Z
ci
của F(z) được định nghĩa:
[ ] [ ]
ci
ci
ZZ
ci
ZZ
zzzFzFs
=
=
−= ))(()(Re
a) Khái niệm thặng dư của 1 hàm tại điểm cực: