Khu II – Thị Trấn Cồn – Hải Hậu – Nam Định – 06/08/2014
Tuyển tập 20 hệ phương trình Ôn thi ĐẠI HỌC 2015 – by Nguyễn Thế Duy
Bài 1. Giải hệ phương trình :
2 2 2
2 3 3
1 1 3 9 3
3 1 5 4 3 7 0
xy x y y
x x y xy x x y x
Điều kiện :
2
5x y xy
Lời giải
Xử lý phương trình một cho ta dạng hàm số như sau. Với
0y
chúng ta có :
suy ra từ phương trình một có
0x
dựa vào điều kiện :
2
50x y xy y
. Nên đến đây
thoải mái xét hàm số
ft
là hàm số đồng biến trên TXĐ suy ra
3xy
. Thế xuống phương trình hai thì :
3 2 2
2
22
3 1 3 2 4 9 7 3 1 3 2 3 1 4 3 2
3 2 3 1
4 3 2 3 1 0 3 2 4 0
3 2 3 2
x x x x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x x
x x x x
y
.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm đó là :
3
; 1;3 , 2;
2
xy
.
Bài 2. Giải hệ phương trình :
3
20
x x y x x y x x x y x y
x x x y x y x x y y x x
Thế
22
y x x
xuống phương trình hai chúng ta có :
2 2 2
3
3
96 20 2 4 8 1 96 20 2 32 4x x x x x x x x
Áp dụng bất đẳng thức Cosi suy ra :
2
2 2 2 2
3
2 1.1. 32 4 32 4 2 2 96 20 2 32 4 2 16 2 0x x x x x x x x x
Do đó
2
2
32 4 1
Bài 3. Giải hệ phương trình :
2
3
3
1 1 4 3
5 1 2 4
x y x y x y
x y x
Điều kiện :
3
0
51
xy
x
Lời giải
3
3
5 1 1 2 4f x x x x
luôn đồng biến trên TXĐ là vì
2
2
3
3
15 2
' 1 0
2 5 1
3 1 2
x
fx
x
x
do đó
1
; 1;
2
xy
Lời giải
Phương trình một nhìn khá rắc rối, ta cứ hãy quy đồng và nhân chéo xem được gì không.
2
2
22
22
4 2 2 2 4 2 2
2
22
2
1 2 2
2 3 3
3 3 2 3 2
4 4 3 3 4 3 0
4 3 1 0 2 4
x y x y
x x y
x y x y xy y
x y x y xy x y
x x y y x y xy y x x y y xy y
x x x
x y y x
yy
y
f t t t
ở trên là các bạn đã được phản xạ nhiều và có thể làm được ngay khi gặp nó. Do đó
1 5 3 5
;;
42
xy
là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.
Bài 5. Giải hệ phương trình :
2 2 2
3
2 1 2
3
1 2 4
x
x x y
y
x
y x y
y
2
y
thì xuất hiện ẩn phụ
1
b
y
nên hệ đã cho trở thành :
22
2 3 1 2 1
3 1 2 4 1
a b a a
a a b
Và hệ phương trình này thì cộng vế với vế của từng phương trình chúng ta có :
21
21
2 1 3 1 2 2 1
1
2 3 1
ab
x
y
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm đó là
; 0;2 , 4;4xy
.
Bài 6. Giải hệ phương trình :
22
22
3 7 24 3
4 7 24 3
x x y
x y y
Điều kiện :
2
1 0 1
7 1 1 2 1 7 0
21
3
1 2 2 3 0
24 4 4
1 0 2
22
y
x x y y x y
xy
x x y
y x y
x
xy
1
66
10
6
16
yx
t t x y
tt
x
y
Điều kiện :
1
1
x
y
Lời giải
Phương trình một của hệ đã cho được viết lại thành :
Khu II – Thị Trấn Cồn – Hải Hậu – Nam Định – 06/08/2014
2
2pt
ta có :
2
22
2
22
4 4 8 2
8 4 4 3 1 4 4 4 1 2 2 1
1
1 1 1
x x x x
x x x x x x x
x
x x x
Ở phương trình cuối sẽ thu được một số nghiệm đẹp và nghiệm lẻ là do phương trình bậc ba cần xử lý bằng phương pháp Carcado đã có
công thức nghiệm tổng quát. Bạn đọc tự tìm hiểu.
Bài 8. Giải hệ phương trình :
22
22
2 2 2 2
2 4 6 3 2 6 3 4 0
2 6 3 4 6 4 2 6 8 9 12 4 3 2
6 3 2
24
4
6 3 2
1
4
x
x y x y x y x xy y x y
x y x y y y y y y y y
yy
x x y
yy
x y ptvn
là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.
Bài 9. Giải hệ phương trình :
3 3 2
2
3 2 3 6 2
1 1 2
y x y x x
x y y
Điều kiện :
11
02
x
y
Lời giải
Phương trình một của hệ đã cho được viết lại thành :
22
2
1 1 1 1 2 1 2 2 1 1
1 1 2 1 1 1 1 2 0 1
x x x x x x
x x x x x x x y
Vậy hệ phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm
; 0;1xy
.
Bài 10. Giải hệ phương trình :
3 2 3 2
22
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y
giải như sau :
2
1
22
2
pt a b a b ab
và phương trình một được viết lại thành :
2
33
22
1 3 6 9 22 0
3 3 6 9 22 0
pt a b a b ab a b
a b a b ab a b ab a b
Đặt
u a b
v ab
nên dễ dàng suy ra được tập nghiệm
của hệ phương trình đó là :
3 1 1 3
; ; , ;
2 2 2 2
xy
. Còn bài này BỘ GD – ĐT giải theo hướng hàm số. Các bạn có thể tham khảo
đáp án. Thậm chí bài hệ này có thể dùng phương pháp “ lượng giác hóa “.
Bài 11. Giải hệ phương trình :
2
22
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x
5 2 0
2
z
z y y
ở đâu có y và căn thì ta sẽ thế vào phương
trình một được :
2
3
3 3 3 3
5
4 3 0 8 2 2 2
2
z
x x z x x z z x x z z
Khu II – Thị Trấn Cồn – Hải Hậu – Nam Định – 06/08/2014
Đến đây thì quá tuyệt vời rồi , một là sử dụng hàm số đơn điệu hai đó là cách đặt ẩn phụ mà mình nêu ở các bài trước đó. Vấn đề ở đây là
khi đã biết
2 5 2xy
thì ta sẽ làm tiếp như thế nào. Nếu thế x xuống thì lại xuất hiện căn chồng căn , do đó ta sẽ đi thế y với
5
4 2 2 3 4 7
2
f x x x x
, ta có :
22
5 4 4 4
' 8 8 2 4 4 3 0 0;
23
3 4 3 4
f x x x x x x x
xx
Do đó
fx
là hàm số nghịch biến trên
4
0;
x x xy xy x
Điều kiện :
6 2 1x xy
Lời giải
Thực ra bài trên mình chế với ý tưởng bài gốc đó là :
22
1 1 1
6 2 1 4 6 1
x x y y
x x xy xy x
bởi lẽ ý tưởng ở phương trình đầu đã quen
2
2
2 2 2 2
2
2 6 1 3
25
2 6 1 4 6 1 2 6 1
24
2 6 1 2
x x x
x
x x x x x x x x
x x x
Hai phương trình cuối dễ dàng giải được bằng phương pháp bình phương hai vế cho ta hai cặp nghiệm đó là :
3 11 3 11
; 1; 1 , ;
22
xy
Khu II – Thị Trấn Cồn – Hải Hậu – Nam Định – 06/08/2014
Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm đó là
1 3 11 3 11
; 1; 1 , ;0 , ;
6 2 2
xy
.
Bài 13. Giải hệ phương trình :
2
3
5 4 2.3
2 11 21 3 4 4 0
x y x y x y
x y y
54
2
33
tt
ft
là hàm số đồng biến trên R. Với
xy
ta có
22
33
2 11 21 3 4 4 0 2 11 21 3 4 4x x x x x x
Phương trình trên có nghiệm duy nhất
4x
nên ta sẽ xử lý như sau :
3
3
2
22
3 8.8. 4 4 4 4 8 8 4 12 3 4 4 3
2 11 21 3 2 12 18 0 3 0 3
x x x x x
x x x x x x x
Lời giải
Đây là loại hệ phương trình mà học sinh luôn thích thú khi làm nó. Ở phương trình một cho chúng ta
0x
nên tự tin xét hàm số ở
phương trình hai như sau :
2
2
2 2 2
1 1 1
2 2 4 1 1 2 2 2 1 1x y y x x y y y
x x x
. Nhiều bạn đến đây
sẽ hỏi liệu cách hàm số ra có thể giải bằng ẩn phụ được không. Tất nhiên là có nhưng đánh giá với căn thức không hề đơn giản chút nào cả.
Chúng ta nên lựa chọn từng phương pháp sao cho thuận tiện nhất. Thì ở đây ta sẽ xét hàm số
2
1f t t t t
có đạo hàm
0; oo
.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
1
; 1;
2
xy
.
Bài 15. Giải hệ phương trình :
22
2 3 4 6 5
2 3 4 1 6
x y y x x y
xy
Điều kiện :
2
1
3
ta sẽ đi làm đơn giản hóa
phương trình một. Ở đâu có
x
thay bằng
2
2a
tương tự với
y
ta sẽ có :
4 4 2 2
22
0
10
a b b a a b a b a b a b
a b a b a b a b
x x y x y
Điều kiện :
2
1 ; 4
47
xy
xy
Lời giải
Phương trình một có dạng đa thức bậc 3. Thường thi ta sẽ nghĩ tới hai dạng đó là : đẳng cấp bậc ba hoặc đưa về hàm đại diện. Nhưng trong
bài toán này đưa về đẳng cấp bậc ba là không thể. Lại tiếp tục với phép toán cho
yx
thì ở đây với các giá trị của
y
bất kỳ thì ta luôn
có :
1yx
và hướng đi của ta đã là đi xét hàm số rồi nên mục đích không gì khác là đưa về dạng
6 22 6 22
5 4 3 2 1 4 3
1 2 3
5 4 3
3 11
11 14
33
1 2 3 5 4 3
xx
x x x x x
xx
x x x
x
xy
x x x x x
Vậy hệ phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm đó là :
11 14
Điều kiện :
0xy
Lời giải
Đây là một bài toán ẩn phụ khá sáng tạo , hệ đã cho trở thành :
22
2
5
5 3 13
1
1
x y x y
xy
x y x y
xy
5 3 1 23
5
4
ut
ut
tu
t
tu
tt
t
Với
59
44
tu
ta có hệ phương trình :
15
4
9
4
xy
xy
xy
suy ra hệ phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm
2
2 2 2 2 2 2
22
22
2 2 2
1
1 2 1
2
xy x y x y xy x y x y xy
xy
x y xy xy
xy
Với
1xy
ta có hệ phương trình :
3
1
2 3 0
xy
x y y
xy
Vậy nên hệ phương trình đã cho có nghiệm là :
2 2 2 2 2 2
; 1;1 , 1; 1 , ; , ;
5 5 5 5
xy
Lời giải
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với :
3
3
2
0
3 2 3 2
2
y
y y x x
yx
Với
2yx
thay vào phương trình thứ hai của hệ chúng ta có :
Khu II – Thị Trấn Cồn – Hải Hậu – Nam Định – 06/08/2014
Do đó hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là :
; 3 13; 5 13 , 3 13; 5 13xy
.
Bài 20. Giải hệ phương trình :
2 2 6 3 3
2 2 6 3 3
1
82
2
1
22
2
xy xy x x y
x y xy y x y
Ta có :
22
22
9 1 9 9 1 3xy xy
và
2
2
33
4 1 2 0 1 3x y x y
Do đó dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi
22
2
2 3 3
1
9 1 4 1 3
1
x
xy x y x y
y
xy
hoàn toàn do mình nhận đề và giải ra. Hi vọng mọi người có được một tài liệu hữu ích trong mùa hè này. Xin cám ơn.
Nguyễn Thế Duy
Copyright: Tài liệu đại học ©