ĐỀ TÀI:
CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
BẰNG ĐỊNH LÝ TALET ĐẢO
A. MỞ ĐẦU
Môn toán là một trong những môn học cơ bản, không thể thiêú trong nhà
trường phổ thông, nó còn là môn học trở thành công cụ cho một số môn học khác. Bởi
vậy Toán học chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong lĩnh vực khoa học kỷ thuật
cũng như trong cuộc sống hàng ngày . Thế nhưng không phải học sinh nào cũng say
mê và hứng thú học Toán.đặc biệt về phân môn Hình học lại có một cái khó mà nhiều
học sinh thường không dám tiếp cận và đối mặt với việc giải các bài tập hình học. Bởi
cái khó của các em là không biết vận dụng lý thuyết vào làm bài tập như thế nào?
Chưa hình dung được khi giải một bài tập hình là làm thế nào? Tư duy về hình học
còn nhiều hạn chế. Chính vì vậy mà số học sinh yêu thích học hình còn rất ít so với số
học sinh thích học đại số
Đứng trước thực trạng ấy đòi hỏi giáo viên dạy môn Toán cần biết giúp các em
tháo gỡ khó khăn phần nào khi học hình học. Tạo niềm hưng phấn cho học sinh khi
làm bài toán Hình. Muốn vậy giáo viên phải sớm hình thành phương pháp giải từng
bài toán, cần giúp học sinh biết định hướng tìm lời giải theo phương pháp phân tích
đi lên, hoặc phương pháp phân tích đi xuống (Tuỳ từng bài toán). Tuy vậy với từng
loại bài toán lại có thể có nhiều cách giải khác nhau. Chẳng hạn để chứng minh hai
đường thẳng song song trong chương trình Hình học cấp 2 có nhiều phương pháp,
riêng đối với Hình học lớp 8, định lý Talet đảo đã giúp chúng ta có thêm một phương
pháp để chứng minh hai đường thẳng song song. Trong thực tế rất nhiều bài tập về
chứng minh hai đường thẳng song song cần phải nhờ vào định lý Talét đảo. Trong bài
viết này, tôi xin đưa ra cách hướng dẫn học sinh giải một số bài tập về chứng minh hai
đường thẳng song song dựa vào định lý Ta lét đảo.
1
B.NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận:
Xuất phát từ nội dung định lý Ta lét đảo như sau:
Nội dung định lý: “Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra

BMD =
∠
AMD, D
∈
AB

∠
AME =
∠
CME, E
∈
AC
KL ED //BC
Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Giả sử có DE// BC
Thì đoạn thẳng tỉ lệ có thể là:
AD
DB
=
AE
EC
;
AD
AB
=
AE
AC
;
DB
AB

(gt)
Từ đây các em dễ dàng trình bày lời giải và
AE MA
EC MC
=
(gt)
Và MB// MC (Gt)
Giải:
Trong
∆
ABM có MD là phân giác của
∠
AMB
3
M
B
C
A
D
E
nên ta có:
AD
DB
=
MA
MB
(1) (Định lý)
Trong
∆
AMC có ME là phân giác của AMC nên ta có:

⇑
- Muốn chứng minh KL// AD thì phải có điều gì ? Ta phải có:
MK
MA
=
ML
MD
- Từ giả thiết suy ra
MK
MA
=
ML
MD
vì sao?
⇑
- Từ kết luận trên rút ra điều gì? Tại sao? Mà :
MK
MA
=
1
3
- KL // AD theo định lý Talét đảo Và
ML
MD
=
1
3
(Tính chất trọng
4
A

1
3
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
MK ML
MA MD
=
nên KL //AD ( Định lý Talét đảo)
Do trong
∆
AMD có KL định ra trên 2 cạnh MA, MD những đoạn thẳng tỷ lệ nên
KL // AD ( Định lý Talét đảo)
Ví dụ 3 : Cho Hình thang ABCD (AB //CD), M là trung điểm của CD .Gọi I là giao
điểm của AM và BC và K là giao điểm của BM và AC. CMR : IK //AB
GT Cho hình thang ABCD (AB //CD)
DM = MC
AM
I
BD =
{ }
I
BM
I
AC =
{ }
K
KL IK //AB

Hướng dẫn tìm lời giải: Sơ đồ phân tích đi lên
IK nằm trong những tam giác nào? IK //AB

D
I
những đoạn thẳng tỉ lệ nào ? và
KM MC
KB AB
=
- Đối với 3 tam giác trên xét tam giác nào Mà MD = MC
cũng được nhưng để chứng minh IK //AB thì
nên xét
∆
AMB ( Vì IK, AB đều có trong
∆
AMB).
Đến đây học sinh dễ dàng thấy ngay lời giải
Giải:
Ta có:
IM MD
IA AB
=
( Do AB // MD hay
∆
AIB
:
∆
MID)
Và
KM MC
KB AB
=
( Do AB // MC) Mà MD = MC ( Giả thiết)

CD
AK
I
BD = (E)
BI
I
AC = (F)
KL EF //AB
Hướng dẫn học sinh đi tìm lời giải:
6
B
A
C
E
O
K
I
D
F
H
- Xét EF nằm trong những tam giác nào? (
, , ,AKC BDI AEF B∆ ∆ ∆ ∆
EF)
- Nếu gọi thêm O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
- Giả sử AK và BI cắt nhau ở H thì có thêm
∆
OEF,
∆
AHB có chứa EF
- Tuy vậy:

thì ta phải chứng minh được điều gì ?Vì sao?
AB AB
DK CI
=
Hay DK= CI
Mà DK= DI- IK
}
=> DK = CI Vì DI = CK = AB
CI = CK- IK
Sau khi phân tích hướng giải quyết bài toán giáo viên lập sơ đồ chứng minh như sau:
Để chứng minh EF // AB

⇑
Ta phải chứng minh
AE AF
EK FC
=
mà
AE AB
EK DK
=
,
AF AB
FC CI
=
( Do AB // DK, AB //CI)
Vì DI = CK ( Cùng bằng AB)
7
Đến đây học sinh có thể trình bày lời giải dễ dàng
Vì DK // AB nên

Để chứng minh EF // AD ta cần phải chứng minh được các tỷ lệ thức nào?
OE OF
EA FD
=
,
OE OF
OA OD
=
,
AE DF
OA OD
=
( Chỉ cần chứng minh một trong các tỉ lệ thức)
Vậy hướng giải của bài toán đã có, bây giờ ta khai thác giả thiết như thế nào?
Từ BE // CD ta rút ra được điều gì?
OE
OC
OB
OD
=
(1) Sơ đồ phân tích
Từ CF // AB rút ra được điều gì ? Để EF //AD
OC OF
OA OB
=
(2)
⇑
8
A
B

OE
OA
=
suy ra EF //AD
⇑

OF
. .
OB
OE OC OB
OC OA OD
=

⇑
OE OB
OC OD
=
,
OC OF
OA OB
=⇑

⇑
BE //CD CF//AB (Gt)
Từ đó học sinh có thể trình bày lời giải một cách dễ dàng theo sơ đồ phân tích dưới
lên
Kết luận: Trong tam giác AOD có EF định ra trên hai cạnh OA, OD những đoạn

M
N

OM ON
MB NC
=
,
OM ON
OB OC
=
Hoặc
OM
OD
=
ON
OA
=
MN
AD

Gỉa thiết của bài toán là gì ? Từ AM, DN là các đường phân giác của
∠
BAD ,
∠
ADC cho ta tỉ lệ thức nào?
+ AM là phân giác của
BAD∠
=>
MD AD
MB AB

 2
2
OB OC
MB NC
=
( Do BD = 2OB, AC = 2 OC)
Suy ra
OB OC
MB NC
=
suy ra: MN //BC( định lý Talét đảo)
Suy ra: MN //AD ( Vì BC // AD)
Trong
∆
BOC có MN định ra trên 2 cạnh OB và OC những đoạn thẳng tỷ lệ nên
MN// BC mà BC // AD. Vậy MN //AD.
- Sau khi phân tích tìm hướng giải giáo viên có thể phân tích theo sơ đồ đi xuống
để học sinh thấy rõ hơn.
10
Sơ đồ đi xuống:
Từ giả thiết ABCD là hình bình hành suy ra, và giả thiết AM, DN là các đường phân
giác của góc
∠
BAD,
∠
ADC ta có :
; ;
MD AD NA AD
AB CD
MB AB NC CD

MD AD
MB AB
=
DN là phân giác góc ADC nên :
NA AD
NC CD
=
Mà AB= CD nên:
MD NA
MB NC
=

MD MB NA NC
MB NC
+ +
=
hay
BD AC
MB NC
=
11
Do BD= 2 OB; AC= 2OC nên:
OB OC
MB NC
=
 MN//BC
Mà BC// AD => MN// AD (Điều phải chứng minh)
Ví dụ 7: Cho
∆
ABC. Lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh BC. Lây N tuỳ ý trên cạnh AM.


Hướng dẫn lời giải:
Xét xem đoạn PQ nằm trong những tam giác nào(
∆
DAE,
∆
NBC)
- Phân tích để học sinh lựa chọn để ý
∆
DME
- Muốn chứng minh PQ // BC thì ta cần có những tỷ lệ thức nào ?
PD EQ
PM QM
=
Hoặc
DP EQ
DM EM
=
Hoặc
PM QM
MD ME
=
- Các tỷ lệ trên đã có thể có ngay được chưa?
- Ta phải khai thác các giả thiết của bài toán như thế nào
- Từ DE// BC suy ra được điều gì ?
12
A
B
C
I

QMC có DK//BM và HE//CM
Các em sẽ thu được kết quả gì ?
DP EQ
PM QM
=
=> PQ//DE => PQ//BC
Lập sơ đồ phân tích đi xuống
DE //BC(gt)

⇓
DK//BM; DI//BM IE //CM; KI// BM; IH//CM; HE//CM

⇓

⇓

⇓

⇓
DI AI
BM AM
=

IE AI
CM AM
=

KI NI
BM MN
=
⇓

DP EQ
PM QM
=

⇓
PQ //DE

⇓
PQ//BC (Điều phải chứng minh)
14
C. KẾT LUẬN:
Trên đây là một số ví dụ về giải bài tập cụ thể đã vận dụng định lý Talét đảo để
chứng minh hai đường thẳng song song. Trong các định lý mà các em đã được học thì
định lý này là hiện tượng khó khăn trong quá trình học vận dụng vào giải bài tập song
nó lại được vận dụng rất nhiều ở trong các bài tập.
Nhưng việc hướng dẫn học sinh cách tìm tòi lời giải, bài toán chứng minh hai
đường thẳng song song trong hình học lớp 8 mà tôi đã làm như trên qua thực tế nhiều
năm giảng dạy thì hầu hết các em đều tìm ra hướng để giải bài toán đó. Và hiệu quả
cho thấy với cách giải quyết từng bước như thế đã làm cho học sinh không ngại ngần
khi gặp bài tập về chứng minh hai đường thẳng song song ở hình học 8. Qua quá trình
thực hiện tôi đã từng cho học sinh làm bài kiểm tra để đánh giá mức độ hiểu bài thì
trên 80% đã biết giải bài toán này.
Bên cạnh đó còn củng cố kiến thức việc áp dụng các tính chất của tỷ lệ thức cũng
không kém phần quan trọng. Ngoài ra còn cho các em thấy được rằng định lý Ta lét
đảo còn được áp dụng nhiều vào các loại bài toán khác thú vị hơn, chẳng hạn vận
dụng tính song song để chứng minh các điểm thẳng hàng (Tiên đề Ơclít) hoặc toán