BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN ĐĂNG BÁU
VỀ VÀNH NỘI XẠ BÉ VÀ MỘT SỐ
MỞ RỘNG
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TS. Lê Văn Thuyết
HUẾ, Năm 2013
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu
và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác
giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình
nào khác.
Họ tên tác giả
Nguyễn Đăng Báu.
i
LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo, giáo sư tiến sĩ
Lê Văn Thuyết, đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành
tốt luận văn này.
Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trong khoa Toán,
trường Đại học Sư phạm Huế đã tận tâm truyền đạt kiến thức cho tôi trong
suốt quá trình học tập.
Tôi cũng xin cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, động viên của quý thầy cô
giáo và bạn bè trong suốt thời gian tôi làm luận văn.
Huế, ngày 15 tháng 09 năm 2013
Học viên thực hiện

M M là R-môđun trái
J rad(R
R
) = rad(
R
R)
Z(M) môđun con suy biến của môđun M
Z
r
, Z
l
Z(R
R
), Z(
R
R)
S
r
, S
l
Soc(R
R
), Soc(
R
R)
E(M
R
) bao nội xạ của M
R
r

để đặc trưng vành, ta chú trọng đến các môđun nội xạ và xạ ảnh. Chính vì
thế việc mở rộng nội xạ đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán
học, trong đó phải kể đến Wisbauer R, Faith C, Nicholson W. K. và Yousif
M. F Và một trong những hướng mở rộng nội xạ khá phổ biến đó là dựa
vào tiêu chuẩn Baer. Từ việc mở rộng đó, người ta đã thu được các kết quả
về đặc trưng nhiều lớp vành quan trọng khác, chẳng hạn như vành PF, vành
QF.
Một trong các mở rộng tự nhiên của môđun nội xạ thông qua tiêu chuẩn
Baer là lớp môđun nội xạ bé (small injective module). Trong đó các khái
niệm môđun nội xạ bé hữu hạn phải (right small finitely injective, viết gọn là
SF-nội xạ) và nội xạ bé chính phải (right small principally injective, viết gọn
là SP nội xạ) là rất quan trọng. Môđun M
R
được gọi là nội xạ bé nếu mọi
đồng cấu từ một iđêan phải bé của R vào M
R
có thể mở rộng được thành một
R-đồng cấu từ R
R
vào M
R
. Vành R được gọi là nội xạ bé phải nếu môđun
phải R
R
là nội xạ bé. Môđun M
R
được gọi là nội xạ bé hữu hạn (small finitely
injective, viết gọn là SF-nội xạ) nếu mọi đồng cấu từ một iđêan phải bé và
hữu hạn sinh vào M
R

và thỏa mãn điều kiện dãy tăng đối với các linh hóa tử phải. Năm 1970 Bjork
đã chứng minh được rằng R là QF nếu và chỉ nếu R là F-nội xạ phải và thỏa
mãn điều kiện dãy tăng đối với linh hóa tử phải. Năm 2009 Lê Văn Thuyết
và Trương Công Quỳnh đã chứng minh rằng R là QF nếu và chỉ nếu R là nửa
chính quy và SF-nội xạ phải thỏa ACC đới với các linh hóa tử phải cũng như
R là vành SF-nội xạ thỏa ACC đối với các linh hóa tử phải và S
r
≤
e
R
R
.
Trong luận văn này chúng tôi tổng quan lại một cách hệ thống các kết
quả liên quan đến vành nội xạ bé, môđun SF-nội xạ cùng với vành SF-nội
xạ, môđun SP-nội xạ cùng với vành SP-nội xạ, áp dụng các kết quả trong
các trường hợp đặc biệt đồng thời chứng minh tường minh nhiều kết quả mà
trong các bài báo [13], [14], [15] được viết ngắn gọn.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia
thành ba chương trong đó nội dung chính được trình bày ở chương hai và
chương ba.
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về vành
và môđun nhằm phục vụ cho những chứng minh của các chương sau.
Chương 2 Tổng quan về vành nội xạ bé.
Trong chương hai, chúng tôi nêu lên các định nghĩa, tính chất đặc trưng
của vành nội xạ bé và một số mối liên quan với các lớp vành khác như vành
nội xạ cực tiểu, vành linh hóa tử cực tiểu, vành F-nội xạ, vành P-nội xạ
4
Chương 3 Một số mở rộng của vành nội xạ bé.
Trong chương ba, chúng tôi trình bày mở rộng của vành nội xạ bé qua

(a). Với những linh hóa
tử trên R, nếu không có gì nhầm lẫn ta có thể kí hiệu l, r cho gọn.
Mệnh đề 1.1.1 ([1], MĐ 1.2.3, p.153). Cho
R
M. X, Y ≤ M, A, B ≤ R
R
. Lúc
đó:
i) A ≤ B ⇒ r
M
(A) ≥ r
M
(B).
ii) X ≤ r
M
l
R
(X), A ≤ l
R
r
M
(A).
iii) l
R
(X) = l
R
r
M
l
R


A
l
R
(K
α
).
ii) r
M
(

A
I
α
) =

A
r
M
(I
α
).
1.1.2. Căn và đế của vành
Mệnh đề 1.1.3 ([1], MĐ 1.1.1, p.101). Cho M = M
R
. Khi đó:
i)

AM
A =

ii) Môđun con của M thỏa mãn Mệnh đề 1.1.3 (ii) được gọi là đế của M,
kí hiệu là soc(M).
Mệnh đề 1.1.4 ([3], Proposition 9.14, p.120). Cho M, N là các R-môđun
phải, f : M −→ N là một R-đồng cấu. Khi đó f(RadM) ≤ RadN.
Mệnh đề 1.1.5 ([6], Lemma 9.3.1). Cho A ≤ R
R
. Khi đó các mệnh đề sau
là tương đương:
i) A  R
R
.
ii) A ≤ rad(R
R
).
iii) ∀a ∈ A[1 − a khả nghịch phải trongR].
iv) ∀a ∈ A[1 − a khả nghịch trong R].
7
1.1.3. Tích trực tiếp và tổng trực tiếp của các môđun
Trong lí thuyết môđun, ta không chỉ nghiên cứu môđun đã cho nhờ sự phân
tích nó thành những môđun đơn giản mà còn xây dựng những môđun mới từ
các môđun đã cho. Đó chính là các cấu trúc của tích trực tiếp và tổng trực
tiếp các môđun.
Định nghĩa 1.3. (Tích trực tiếp). Cho một họ những R-môđun phải A
i
i∈I
với I = ∅. Khi đó tích Descartes

i∈I
A
i

i
)
i∈I
là một R-môđun phải, gọi là tích trực tiếp (direct product) của họ {A
i
}
i∈I
.
Trường hợp A
i
= A với mọi i ∈ I ta kí hiệu

i∈I
A
i
= A
I
.
Định nghĩa 1.4. Họ (a
i
)
i∈I
∈

i∈I
A
i
được gọi là có giá hữu hạn nếu a
i
= 0

.
Trường hợp A
i
= A với mọi i ∈ I ta kí hiệu

i∈I
A
i
= A
(I)
.
Với mỗi j ∈ I, đồng cấu η
j
: A
j
−→

i∈I
A
i
xác định bởi a
j
−→ (a
i
)
i∈I
=
( , 0, a
j
, 0, ) là một phép nhúng.

Mệnh đề 1.1.6 ([1], MĐ 4.3.4, p.191). Iđêan phải I của vành R là một hạng
tử trực tiếp của R
R
khi và chỉ khi tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho I = eR.
Hơn nữa, nếu e là một phần tử lũy đẳng của R thì 1 − e cũng là một phần tử
lũy đẳng của R và (1 − e)R là phần phụ của eR, tức là R
R
= eR ⊕ (1 − e)R.
Định nghĩa 1.8. (Vành đơn - Vành nửa đơn).
i) Vành R khác không được gọi là đơn nếu R chỉ có hai iđêan là 0 và R.
ii) Vành R được gọi là nửa đơn nếu R
R
có một phân tích nửa đơn, nghĩa
là R
R
có thể biểu diễn thành tổng trực tiếp của một tập các môđun con
đơn của nó.
Bổ đề 1.1.7 ([5], Corollary 2.16). Vành R/J là nửa đơn nếu nó không chứa
tập vô hạn các lũy đẳng trực giao.
1.1.4. Iđêan nil, lũy linh và T-lũy linh
Định nghĩa 1.9. Iđêan nil, lũy linh và T-lũy linh.
i) Iđêan phải (trái, hai phía) của vành R được gọi là nil nếu ∀a ∈ A, ∃ n ∈
N | a
n
= 0.
ii) Iđêan phải (trái, hai phía) của vành R được gọi là lũy linh nếu ∃ n ∈
N | A
n
= 0.
iii) Tập con I của vành R là T-lũy linh trái nếu mọi dãy a

Bổ đề 1.1.9 ([10], Lemma 3.29, p.70). Nếu R là vành thỏa ACC đối với các
linh hóa tử phải thì Z
r
lũy linh.
Chứng minh.
Đặt Z = Z
r
. Ta có Z ≥ Z
2
≥ . . . nên ta có r(Z) ≤ r(Z
2
) ≤ . . Do R thỏa
ACC đối với các linh hóa tử phải nên tồn tại n sao cho r(Z
n
) = r(Z
n+1
). Ta
cần chứng minh Z
n
= 0 tức là chứng minh r(Z
n
) = R.
Giả sử Z
n
a = 0 với a ∈ R, chọn r(b) là cực đại trong {r(b) | Z
n
b = 0}.
Với z ∈ Z thì r(z) ≤
e
R

và K ≤ N ≤ M, H ≤ M.
Khi đó:
1. K ≤
e
M ⇔ K ≤
e
N và N ≤
e
M.
2. H ∩ K ≤
e
M ⇔ H ≤
e
M và K ≤
e
M.
Mệnh đề 1.1.11 ([2], BĐ 8.2.4, tr.193). Môđun con K ≤ M là cốt yếu trong
M khi và chỉ khi với mỗi 0 = x ∈ M tồn tại r ∈ R sao cho 0 = xr ∈ K.
Định nghĩa 1.11. (Môđun suy biến). Cho M
R
.
Z(M
R
) = {m ∈ M | r(m) ≤
e
R
R
} ≤ M là tập tất cả các phần tử suy
biến phải của M và được gọi là môđun con suy biến phải của M.
Kí hiệu: Z

GG
g

B
h
~~
M
ii) Môđun phải N
R
được gọi là xạ ảnh (projective) nếu mọi toàn cấu α :
B
R
−→ C
R
và với mỗi đồng cấu β : N
R
−→ C
R
luôn tồn tại một đồng cấu
γ : N
R
−→ B
R
sao cho β = αγ, tức là sơ đồ sau giao hoán
N
γ
~~
β

B

) = R
R
.
Định nghĩa 1.14. (Vành F-nội xạ). Vành R được gọi là vành F-nội xạ
phải nếu mọi iđêan phải hữu hạn sinh đều mở rộng được.
Bổ đề 1.2.2 ([10], Lemma 1.36, p.21). Cho T và T’ là các iđêan phải của
vành R. Khi đó nếu l(T ∩T

) = l(T )+l(T

) và α : T +T

−→ R là R-đồng cấu
sao cho α|
T
: T −→ R và α|
T

: T

−→ R đều có thể mở rộng thành R −→ R
thì α cũng mở rộng thành đồng cấu từ R −→ R.
Chứng minh.
Do α|
T
: T −→ R và α|
T

: T



∈ R thì:
at = (b − d)t = bt = α(t), ∀t ∈ T (vì dt = 0)
at

= (c − d

)t

= ct

= α(t

), ∀t

∈ T

(vì d

t

= 0).
Suy ra α(t + t

) = α(t) + α(t

) = a(t + t

) tức là α = a·, a ∈ R do đó α là
mở rộng được thành R −→ R.

13
Chứng minh.
i) Nếu kR là đơn và 0 = ak ∈ Rk, ta xác định tương ứng γ = a· : kR −→
akR. Khi đó γ là một R-đồng cấu và cũng là một song ánh nên γ là một đẳng
cấu. Mặt khác do R là vành nội xạ cực tiểu phải nên γ
−1
= c·, c ∈ R. Do đó
k = γ
−1
(ak) = cak ∈ Rak. Suy ra Rk là đơn.
ii) Giả sử x ∈ S
r
, x = k
1
R ⊕ . . . ⊕ k
n
R với mỗi k
i
R là đơn. Khi đó theo
(i) mỗi Rk
i
cũng là đơn nên x ∈ S
l
. Vậy S
r
⊆ S
l
. 
1.2.3. Vành nội xạ chính
Một trong các mở rộng tự nhiên của môđun nội xạ thông qua tiêu chuấn

Bổ đề 1.2.4 ([9], Lemma 11). Các khẳng định sau là tương đương đối với
vành R:
i) R là P-nội xạ phải.
ii) lr(a) = Ra với mọi a ∈ R.
iii) Nếu r(a) ≤ r(b) với a ∈ R, b ∈ R suy ra Rb ≤ Ra.
iv) l(bR ∩ r(a)) = l(b) + Ra với mọi a ∈ R, b ∈ R.
v) Nếu γ : aR −→ R, a ∈ R là một R-đồng cấu thì γ(a) ∈ Ra.
Chứng minh.
Tương tự Bổ đề 2.2.2.
1.3. Một số lớp vành liên quan
Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định nghĩa và các tính chất quen
thuộc của các lớp vành liên quan như: vành Kasch, vành PF, vành QF nhằm
mục đích mở rộng hơn các khái niệm này ở chương sau.
1.3.1. Vành Kasch
Định nghĩa 1.17. (Vật sinh - Vật đối sinh).
i) Môđun C
R
được gọi là vật sinh (generator) của phạm trù các R-môđun
phải nếu nó sinh ra mọi môđun phải. Hay nói cách khác, với mọi môđun
phải M
R
, luôn tồn tại toàn cấu C
(I)
−→ M.
15
ii) Môđun C
R
được gọi là vật đối sinh (cogenerator) của phạm trù các
R-môđun phải nếu nó đối sinh ra mọi môđun phải. Hay nói cách khác,
với mọi môđun phải M

có môđun con cực đại N. Do đó M/N là đơn và α : M −→ M/N
là một phép chiếu hay α(M) là môđun đơn. Theo giả thiết R là vành Kasch
phải nên tồn tại đơn cấu 0 = β : α(M) −→ R
R
. Như vậy βα : M −→ R
R
là
một đồng cấu khác 0 hay Hom(M, R
R
) = 0.
(ii ⇒ iii) Giả sử T là một iđêan phải cực đại của R. Khi đó R/T là một
iđêan phải hữu hạn sinh. Từ giả thiết (ii) suy ra tồn tại đồng cấu 0 = γ :
R/T −→ R
R
. Đặt γ(1 + T ) = a, lúc đó a = 0 và aT = γ(1 + T ).γ(0) = γ(0) =
0. Suy ra a ∈ l(T ). Vậy l(T) = 0.
16
(iii ⇒ iv) Giả sử T là một iđêan phải cực đại của R. Khi đó ta luôn có
T ≤ rl(T). Mặt khác theo giả thiết (iii) ta có l(T ) = 0 do đó rl(T ) = R. Vì
T là iđêan cực đại nên ta suy ra T = rl(T ).
(iv ⇒ v) Giả sử T là một iđêan phải cực đại của R. Theo giả thiết (iv)
ta có rl(T ) = T, suy ra l(T) = 0. Do đó tồn tại 0 = a ∈ l(T) suy ra
rl(T ) ≤ r(a) hay T ≤ r(a) = R. Mà T là cực đại nên T = r(a). Xét tương
ứng α : R/T −→ R xác định bởi α(r + T) = ar. Dễ thấy α là một ánh xạ và
là một R-đồng cấu. Ta có kerα = {r ∈ R | α(r + T) = 0} = {r ∈ R | ar =
0} = r(a) = T . Do đó α là đơn cấu hay R/T → R ≤ E(R). Theo bổ đề 1.3.1
ta có E(R
R
) là vật đối sinh.
(v ⇒ i) Giả sử K

17
Vì b là phần tử chính quy nên tồn tại phần tử d ∈ R sao cho b = bdb.
Khi đó a − aca = bdb hay a = aca + bdb = aca + (a − aca)d(a − aca). Suy ra
a = a[c + (1 − ca)d(1 − ac)]a. Do đó a là phần tử chính quy. 
Định nghĩa 1.21. (Vành I-nửa chính quy phải). Cho I là một iđêan của
vành R. Vành R được gọi là vành I-nửa chính quy phải (right I-semiregular)
nếu với mọi a ∈ I, aR = eR ⊕ T với e
2
= e, T ≤ I
R
.
Định lý 1.3.6 ([10], Theorem B.58, p.283). Cho R là vành I-nửa chính quy
phải. Khi đó với mọi iđêan phải hữu hạn sinh T ≤ R, T = eR ⊕ S với
e
2
= e, S ≤ I là iđêan phải.
Chứng minh.
Giả sử T = a
1
R + a
2
R + . . . + a
n
R. Ta chứng minh quy nạp theo n. Với
n = 1 khẳng định trên là đúng.
Giả sử khẳng định trên đúng với n − 1, trong đó (n ≥ 2). Do R là I-nửa
chính quy nên tồn tại f
2
= f ∈ R sao cho a
1

1
R nên ta có T = a
1
R + L.
Theo giả thiết quy nạp tồn tại g
2
= g ∈ L sao cho (1−g)L = L∩(1−g)R ≤
I. Vì g ∈ L nên g = (1 − f)a
2
r + . . . + (1 − f)a
n
r suy ra fg = 0, do đó đặt
e = f + g − gf thì e ∈ T và e
2
= e. Lúc đó ta có (1 − e) = (1 − g)(1 − f) và
(1 − f)L = L (vì (1 − f)(1 − f) = 1 − f). Suy ra
T ∩ (1 − e)R = (1 − e)T ≤ (1 − g)(1 − f)a
1
R + (1 − f)(1 − g)L
≤ (1 − g)I + (1 − g)L ≤ I.
Ta chọn S = T ∩ (1 − e)R ta được T = eR ⊕ S. 
Trong trường hợp I = J vành J-nửa chính quy còn được gọi là vành nửa
chính quy.
18
Định nghĩa 1.22. (Vành nửa chính quy). Vành R được gọi là nửa chính
quy (semiregular ring) nếu R/J là chính quy và các lũy đẳng nâng được lên
môdulô J.
Định lý 1.3.7 ([10], Theorem B.51, p.280). R là vành nửa chính quy nếu và
chỉ nếu mọi I iđêan phải hữu hạn sinh của R thì R = H ⊕ K với H ≤ I và
I ∩ K  R.

. Khi đó R là nửa nguyên sơ.
Chứng minh.
Vì R là vành nội xạ cực tiểu phải nên theo Định lí 1.2.3 ta có S
r
≤ S
l
.
Mặt khác ta luôn có JS
l
≤ rad(S
l
) suy ra JS
r
≤ rad(S
l
) = 0 ⇒ J ≤ l(S
r
).
Theo giả thiết ta có S
r
≤
e
R
R
nên l(S
r
) ≤ Z
r
. Mặt khác do R thỏa ACC đối
với các linh hóa tử phải nên Z

b = cab ⇒ ab = acab do đó b ∈ r(a − aca)\r(a).
Nếu a − aca ∈ J thì a là chính quy. Nếu a không chính quy, ta giả
sử a
1
= a − aca lúc đó tồn tại phần tử a
2
= a
1
− a
1
c
1
a
1
với c
1
∈ R và
r(a
1
) < r(a
2
). Lập lại quá trình trên ta có dãy tăng ngặt r(a
1
) < r(a
2
) . . .
(mâu thuẩn). Vậy R chính quy. Ngoài ra do J = l(S
r
) nên R/J = R/l(S
r

R
được gọi là trung thành (faithful) nếu r(M) = 0.
ii) Vành R được gọi là vành giả Frobenius phải (Pseudo-Frobenius, viết tắt
là PF) nếu mọi R-môđun phải trung thành là một vật sinh của phạm
trù các R-môđun phải.
Định lý 1.3.13 ([10], Threorem 1.56, p.32). (Azumaya-Kato-Osofsky-
Utumi Theorem). Cho R là một vành. Những khẳng định sau là tương
đương:
i) R là vành PF phải.
ii) Mọi vật đối sinh phải là vật sinh.
iii) R là tự nội xạ phải với đế phải S
r
là hữu hạn sinh và cốt yếu trong R
R
(tức là S
r
≤
e
R).
iv) R là tự nội xạ phải, nửa hoàn chỉnh với đế phải cốt yếu.
v) R là vật đối sinh, Kasch trái.
21
1.3.4. Vành QF
Định nghĩa 1.30. (Vành QF). Vành R được gọi là vành tựa Frobenius
(Quasi-Frobenius, viết tắt là QF) nếu R là tự nội xạ phải và trái, Artin phải
và trái.
Như vậy mọi vành nửa đơn đều là vành QF và mọi vành QF đều là vành
PF phải và trái. Đây là lớp vành rất quan trọng và được nhiều nhà toán học
quan tâm. Người ta thu được nhiều điều kiện yếu hơn nhưng vẫn tương đương
định nghĩa của vành QF.