Trang 1
Trang 2
PHẦN MỞ ĐẦU
@…?
I. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, hình học vi phân nghiên cứu những vấn đề hình học mà có
thể được giải quyết bằng công cụ giải tích. Đối với sinh viên ngành Toán, những kiến
thức hình học vi phân được trang bị vào năm thứ ba, đó là những lý thuyết về đường
và mặt trong không gian hai chiều, ba chiều cũng như khảo sát một số đặc trưng cơ
bản của đường và mặt dựa vào phép tính vi tích phân trong không gian E
2
, E
3
. Qua
việc tìm hiểu các khái niệm và tính chất về đường trong không gian E
2
, E
3
, em nhận
thấy lý thuyết về hình học vi phân còn khá mới mẻ đối với nhiều sinh viên ngành Sư
phạm Toán.
Nhờ có sự gợi ý và hướng dẫn tận tình của thầy Đặng Văn Thuận, em đã chọn đề
tài “Một số bài tập về lý thuyết đường cong” để hoàn thành luận văn tốt nghiệp ngành
Toán.
II. Mục đích nghiên cứu
Luận văn với đề tài “Một số bài tập về lý thuyết đường cong” nhằm tiếp cận sâu

trường mục tiêu, cung tham số, trường vectơ dọc một cung tham số, đạo hàm của
trường vectơ nhằm tạo nền tảng về kiến thức cho phần sau.
Bài tập chương 1: Trình bày một số bài tập có liên quan và làm rõ một số tính
chất trong phần trên.
Chương 2: Chương này tóm tắt lý thuyết về định nghĩa cung trong
)3,2( =nE
n
các tính chất mêtric của nó (độ cong, độ xoắn, cung túc bế, cung thân khai
của một cung), giải phương trình tự nhiên.
Bài tập chương 2: Trình bày một số bài tập có liên quan và làm rõ một số tính
chất trong phần trên.
Phụ lục : Chương trình Maple để vẽ đường cong và giải một số bài toán về
đường cong. Trang 4
PHẦN NỘI DUNG
@…?
CHƯƠNG 1: PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH
TRÊN KHÔNG GIAN EUCLIDE E
nA. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.1 Hàm vectơ:
Định nghĩa: U là một tập hợp tùy ý, ánh xạ :
n
XUE
→→
→ là một hàm vectơ xác


Nếu
X
→
khả vi thì
X
→
là hàm hằng khi và chỉ khi
()
'0,
XttJ
→→
=∀∈

Với các hàm vectơ
X
→
,
Y
→
xác định trên U, hàm số
ϕ
xác định trên U, có thể
xác định được các hàm vectơ ,
XYX
ϕ
→→→
+ , hàm số
X
→




=+



∧=∧+∧



Với hàm vectơ :
n
XJE
→→
→ (J là một khoảng trong R) thì có thể xét đạo hàm
cấp cao
() ( )
1
',(2)
kk
XXk
−
→→

=≥


. )'(
)1()( −

n
YJE
→→
→ mà
'
YX
→→
=
.
1.2 Vectơ tiếp xúc
Xét tập tích
nnn
TEEE
=×
uur

Định nghĩa: Mỗi phần tử ,
n
pTE
α
→

∈


, còn viết
p
α , được gọi là một vectơ
tiếp xúc của
n

→
:
sao
cho với mọi UTpXUp
p
∈∈ )(,
(
)
pXp
a

Trường vectơ
TUUX
→
:
xác định ánh xạ :
n
XUE
→→
→ bởi
))(,()( pXppX
→
= . X khả vi lớp
k
C nếu
→
X
khả vi lớp
k
C . Khi

∈ là
một cơ sở của T
P
U.
Nếu với mọi ,)()(,
ijji
pUpUUp δ=∈ hay
ijji
UU δ= thì trường mục tiêu
{
}
ni
i
U
1=
gọi là một trường mục tiêu trực chuẩn.
1.5 Cung tham số
Định nghĩa: Mỗi ánh xạ :
n
JE
ρ → ,(
J
là một khoảng trong
R
) gọi là một
cung tham số trong
n
E
.
Lấy

C . Trang 6

1.6 Trường vectơ dọc cung tham số
Định nghĩa: Trường vectơ dọc cung tham số :
n
JE
ρ → là ánh xạ
:
n
XJE
→ mà với mọi
(
)
()
,
tn
tJXtTE
ρ
∈∈ :
n
JE
ρ → là một cung tham số trong
n
E

n
E
,
VUf
→
: là một ánh xạ thì f khả vi (lớp
k
C )

(
)
pfp
a

nếu với
n
OE
∈
, hàm vectơ :
n
UE
ϕ
→
→ là khả vi lớp
k
C )(pOp ρ
a

cho
(
)
0
,',:
ppp
TUftJU
ααρ∈=→ là một cung tham số, thì
(
)
(
)
(
)
0
'
pp
Tfft
αρ=o
Nếu
p
Tf
là đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì f được gọi theo thứ tự là dìm,
ngập, hay trải tại p . Nếu điều đó đúng với mọi p thì nói f là dìm, ngập, trải.
1.9 Đạo hàm của trường vectơ dọc cung tham số
Định nghĩa: Cho cung tham số :
n
JE
ρ → và cho trường vectơ dọc
ρ

→
tXttXt ',' ρa
, gọi là đạo hàm của
X
dọc
ρ
trong
n
E
. Ký hiệu trường
vectơ
'
X
dọc
ρ
là
dt
DX
,
'
'
X
là
2
2
dt
XD
,…

= λ
λλ
o
o
dt
DX
ds
d
ds
XD )(

X, Y là trường vectơ dọc cung tham số
(
)
:,
n
JEtt
ρρ
→
a
, và
ϕ
là hàm số
trên
J
, ta định nghĩa bởi ảnh tại từng điểm các trường vectơ ,
XYX
ϕ
+

XD
dt
DY
dt
DX
YX
dt
D
+=
+=+
ϕϕ )(dt
DY
XY
dt
DX
YX
dt
D
dt
DY
XY
dt
DX
YX
dt
d
∧+∧=∧

là một
cơ sở của
()
tn
TE
ρ
. Khi đó, mọi trường vectơ
X
dọc
ρ
được biểu diễn duy nhất dưới
dạng
i
n
i
i
i
UX ϕϕ ,
1
∑
=
=
là hàm số trên
J
, và
∑
=
+=
n
i

()
0
Xt
→→
≠

với mọi
tJ
∈
. Chứng minh rằng
()
Xt
→
có phương không phụ thuộc t khi và chỉ khi
()
Xt
→
và
()
'
Xt
→
phụ thuộc tuyến tính với mọi
tJ
∈
.
Giải
Giả sử
()
Xt

tJXtXt
→→
∀∈ phụ thuộc tuyến tính và
()
0
Xt
→→
≠
.
Đặt
()
()
()
Xt
ut
Xt
→
→
→
= (1)
()
3
2
.'.'
'
XXXXX
ut
X
→→→→→
→

Vì
()
Xt
→
và
()
'
Xt
→
phụ thuộc tuyến tính nên
()
'0
ut
→→
=
suy ra
()
ut
→
không đổi
Vậy
()
Xt
→
có phương không đổi.
Bài 2
Cho hàm vectơ
()
:,
n

Xt
→
luôn thuộc một
không gian vectơ con hai chiều cố định của
3
E
→
là hệ
() () ()
{
}
,',''
XtXtXt
→→→
phụ thuộc
tuyến tính với mọi
tJ
∈
.
b. Xét điều đó khi
3
>
n

Giải
a. Khi
3
=
n
, giả sử

→→→→→→→→
→→→→

=−



=

'0
YY
→→→
⇒∧=
khi và chỉ khi
,',''0
XXX
→→→→

=


áp dụng bài 1 ta có
→→→→
⇔=∧ YYY 0' có phương không đổi. Khi đó
()
Xt
→

i
Atxe
→→
=
=
∑

suy ra
() () ()
,',''
XtXtXt
→→→
phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
'''0
iii
xtftxtgtxt
++=
(1) (i=1…n) trong đó f, g là các hàm số.
Mỗi phương trình của hệ (1) có nghiệm duy nhất thỏa

:
XRE
→→
→ (có hướng) thỏa mãn '
XlX
→→→
=∧
, trong đó
l
→
là
một hàm vectơ hằng cho trước. Trang 10
Giải
Ta có alXlXXlX =⇒=⇒∧=
→→→→→→→
.0'.' là hằng số và
1
Xc
→
=
là hằng số.
Khi
0
l
→→
≠
, không mất tính tổng quát ta giả sử

→→→→→→→

→=+


là cơ sở trực chuẩn
của
2
E
→
. Hãy tìm các nguyên hàm của hàm vectơ
()
ttet
→
a .
Giải
Đặt
()
ftte
→
=
, gọi
(
)
Ft
là nguyên hàm của
(
)
ft
thì ta có



∫( )
()
2
2
tetetc
tetetc
π
π
π
→→
→→

=−−−+



=−−+



Bài 5
Cho hệ tọa độ Aphin
12
,,
Oee

ρ
→→
=++
c.
()
12
s
tOchtehte
ρ
→→
=++
Trang 11
Giải
Đặt
(
)
(
)
(
)
(
)
,
txxtyyt
ρ ===
a. Ta có
2

xy
yt
=

⇒+=

=


Vậy ảnh của
ρ
là đường tròn
22
1
xy
+=

c. Ta có
22
1
xcht
xy
ysht
=

phác họa ảnh của các cung tham số
(
)
(
)
(
)
(
)
2,
:,
JEtxtyt
ρρ→= xác định bởi: (a, b là
hằng số dương)
a.
() () ( ) ( )
11
,,,00,
22
ab
xttyttJ
tt

=+=−=−∞∪+∞



b.
() () ( ) ( ) ( )
2

1
xy
ab
−=

b. Hợp của ba cung là hyperpol
22
22
1
xy
ab
−=

c. Ảnh của cung là elip
22
22
1
xy
ab
+=

Bài 7
Xác định quỹ đạo trong E
2
của một điểm gắn chặt trên một đường tròn lăn
không trượt
a) trên một đường thẳng (cycloid)
b) trên và bên ngoài một vòng tròn (epicycloid)
c) trên và bên trong một vòng tròn (hypocycloid)
Giải


=+


Trang 13
O
1
A

P

M

N

t

u( ) ( )
sin1cos
OMattiatj
→→
⇒=−+−
uuuur


OMRretretu
π
→→
=++++
uuuur
(u là góc
·
1
NOM
, Rt=ru)

( ) ()
1
R
OMRretret
r
π
→→


=++++




uuuur( )
( )y
z O
M
2a I
N
P
t
2
a
π
Trang 14
c. Trường hợp điểm M(x, y) nằm trên đường tròn tâm O
1
bán kính r lăn
không trượt về phía trong đường tròn tâm O bán kính R, điểm xuất phát là A. Gọi
∧
= OPOt
1
(với P là hình chiếu của O
1



−


=−−




r
R
4
=

Bài 8
Cho trường vectơ liên tục X trên một tập mở U của E
3
mà có điểm
UO
∉

sao cho
()
pX
→
cùng phương với

2) Khi
()
2
k
Xp
Op
→
=
uuur
với mọi Up
∈
(k là hằng số dương), chứng minh
rằng
(
)
J
ρ nằm trên một đường thẳng qua O hay một đường bậc hai nhận O làm một
tiêu điểm. Giải
1) Ta viết
() ()
tOt ρρ =
→
, vì
() ()( )
tXt ρρ
→→
='' và X là một trường xuyên tâm nên




∧=






∧ 0'''''''' ρρρρρρρρ

→→→
=∧⇒ a'ρρ không đổi.
+ Nếu
()
→→→→
⊥≠ ata ρ,0 với mọi t nên
(
)
J
ρ nằm trong một mặt phẳng qua O
và vuông góc với
→
a .
+ Nếu ',0
→→→→
= ρρ vàa cùng phương nên suy ra
→
ρ có phương không đổi (áp



∧+






∧−== 0''''
1
',0' ρρ aa
k
ba

→→
⇒ ba, cố định
Mặt khác 0. =
→→
ba và 0. =
→→
ρa
+ Nếu
→→
= 0a thì
(
)
J
ρ nằm trên một đường thẳng qua O
+ Nếu

ρρρρρ
22
''
1
.
01cos
2
=−






−⇒
→
→
k
a
br ϕ (
(
)
ϕ,r là tọa độ cực trong mặt phẳng đó đối với
gốc O, trục OB). Vậy trong hệ tọa độ đó

ϕcos1
2
→
→
−

rIEtr(t)
→
a
gọi là tương
đương nếu có vi phôi
(
)
uttIJ =→ λλ
a
,: sao cho
ρ
λ
=
o
r . Đây là một quan hệ
tương đương. Mỗi lớp tương đương của nó là một cung trong
n
E
, mỗi cung tham số
của lớp tương đương gọi là một tham số hóa của cung, vi phôi
λ
gọi là phép đổi tham
số của cung.
2.2 Điểm chính quy, điểm kỳ dị, tiếp tuyến và pháp diện của cung
Cho cung
Γ
xác định bởi :
n
JE
ρ → . Điểm

t'ρ .
Ý nghĩa hình học của tiếp tuyến: Ta có ))(')(()()(
→→
+−= ερρρ ttttt
oo

→→
→ 0ε
khi
o
tt → , nên cát tuyến qua
oo
Mt =)(ρ và Mt
=
)(
ρ
của cung có một vectơ chỉ
phương là
(
)
(
)
o
o
tt
tt
−
ρρ
dần về
(

k
t
−
ρ =
0
và )(
)(
o
k
tρ
≠
0
thì số k đó không đổi qua phép
đổi tham số. Khi đó đường thẳng qua
(
)
0
tρ với vectơ chỉ phương )(
)(
o
k
tρ cũng là tiếp
tuyến của đường cong tại
(
)
0
tρ .
Nếu tại
Jt ∈
0

t
+
ρ ,…, )(
)1(
o
l
t
−
ρ và cùng phương với )(
)(
o
k
tρ , )(
)(
o
l
tρ không cùng
phương với )(
)(
o
k
tρ
(
)
1≥>kl thì trong mặt phẳng
2
E
, đường thẳng
∆
qua

k
lẻ,
l
chẵn: cung đó nằm về một phía đối với
∆
, và nằm trong 2 góc phần tư
khác nhau.
+k lẻ,
l
lẻ: cung đó nằm về 2 phía đối với
∆
, và nằm trong 2 góc phần tư đối
đỉnh (điểm
(
)
o
tρ là điểm uốn).
+k chẵn, l lẻ: cung đó nằm về một phía đối với d, và nằm trong 2 góc phần tư
khác nhau (điểm
(
)
o
tρ gọi là điểm lùi loại một).
+k chẵn, l chẵn: cung đó nằm trong 1 góc phần tư (
(
)
o
tρ gọi là điểm lùi loại hai).
2.4 Độ dài cung
2.4.1 Định nghĩa:

2.4.2 Định lý:
Nếu
[
]
:,
n
abE
ρ → khả vi trên lớp
1
C thì nó có độ dài cung và độ dài cung đó
là
dtt
b
a
∫
)('ρ
.
Nhận xét:
Nếu hai cung tham số
[
]
(
)
:,,
n
abEtt
ρρ→
a
và
[

n
rabEsrs
→
a
của một cung chính
quy
Γ
gọi là một tham số hoá tự nhiên của nó nếu 1' =r (s còn gọi là tham số hoá độ
dài cung).

Trang 19
2.5 Độ cong của một cung chính quy trong E
n

Định nghĩa: Độ cong của
Γ
tại điểm s trong tham số hoá tự nhiên )(srs
→
của
nó là ).(
'
)()( s
ds
Dr
s
ds
DT

sin2 ε
θ
+∆=−∆+= sTssTssT trong đó
0→ε
khi
0
→
∆
s

Từ đó:

0000
2sin
222
limlimlimlim()'()()
sinsin
22
ssss
DT
TsTss
ssds
θθθ
θ
ε
θθ
→→
∆→∆→∆→∆→
==+==
∆∆

tại điểm đó là 2-phẳng đi qua )(t
ρ
với không gian vectơ chỉ
phương )('',)(' tt ρρ .
Trong E
3
, nếu
(
)
(
)
(
)
(
)
tztytxt ,,)( =ρ thì mặt phẳng mật tiếp đó là
0
)('')('')(''
)(')(')('
)()()(
=
−−−
tztytx
tztytx
tzZtyYtxX

θ

)(sT
)( ssT ∆+

tại
o
t
là các đường thẳng vuông góc với
∆
, chúng tạo thành mặt phẳng pháp tuyến (pháp
diện) của
Γ
tại
o
t
.

Pháp tuyến của
Γ
tại
o
t

nằm trong mặt phẳng mật tiếp của
Γ
tại
o
t

gọi là
pháp tuyến chính của
Γ
tại
o

E

2.7.1 Định nghĩa:
Cung
Γ
trong
n
E
được gọi là cung song chính quy nếu mọi điểm của
Γ
là
điểm song chính quy.
Nhận xét: Cung song chính quy là cung chính quy. Cung chính quy
Γ
là
cung song chính quy khi và chỉ khi độ cong của nó khác không tại mọi điểm.
2.7.2 Định nghĩa:
Xét trường vectơ
ds
DT
dọc cung song chính quy
Γ
trong E
n
. Đặt
:
DTDT
N
dsds
= thì được trường vectơ đơn vị

là một cung song chính quy định hướng trong
n
E
thì có trường vectơ tiếp
xúc đơn vị
T
và trường vectơ pháp tuyến chính đơn vị
N
dọc
Γ
. Với
3
=
n
thì trong Trang 21
3
E
(có hướng), ta xác định được trường vectơ đơn vị
NTB
∧
=
dọc
Γ
gọi là trường
vectơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc
Γ
.

số đo của góc giữa )(sB
→
và )( ssB ∆+
→
thì
2
0
()lim
s
ks
s
θ
∆→
=
∆

Thật vậy, ta có:
))()()(
2
sin2 ε
θ
+∆=−∆+= sBssBssB trong đó
0→ε
khi
0
→
∆

E
(có hướng). Khi đó ta có công thức sau gọi là công thức Frenet:

1
DT
kN
ds
=

12
DN
kTkB
ds
=−+
Nk
ds
DB
2
−=
2.10 Công thức tính độ cong, độ xoắn
Cho cung song chính quy định hướng
Γ
trong E
3
(có hướng) xác định bởi
(
)
3
:,
JEtt

ttt
ρρ
ρ
ρ
ρ
τ =

2.11 Cung định hướng và trường vectơ tiếp xúc đơn vị
Định nghĩa: Nếu trong định nghĩa 2.1,
λ
là những vi phôi bảo tồn hướng
(tức là
(
)
tt ∀> ,0'λ hoặc
(
)
tt ∀< ,0'λ ) thì ta được khái niệm cung định hướng.
2.12 Định lý cơ bản của lý thuyết đường trong
3
E

Định lý: Cho 2 hàm số
12
và
kk
(khả vi lớp 0≥, lC
l
) trên khoảng
RJ

o
fr
=
.
Định nghĩa: Các phương trình
(
)
1122
(), s
kkskk==
1
trong đó
sk(s),
a

(
)
2
sks
a
là 2 hàm số khả vi lớp 0≥l, C
l
cho trước trên khoảng
RJ
⊂
, gọi là
phương trình tự nhiên của cung song chính quy định hướng trong
3
E
với độ cong

Γ
gọi là
trường mục tiêu Fretnet dọc
Γ
, N gọi là trường vectơ pháp tuyến đơn vị dọc
Γ
. Rõ
ràng phương của N tại mỗi điểm là phương của pháp tuyến của
Γ
tại điểm đó.
* Với mọi tham số hóa tự nhiên )(srs
a
của trường
Γ
,ta có các công
thức sau
1
DT
kN
ds
=
2
DN
kT
ds
=−
gọi là công thức Frenet của
Γ
.


()
'()'()
xtytxtyt
kt
xtyt
−
=
+

Nếu
Γ
cho bởi )(xfy
=
thì
( )
1
3
2
2
''
1'
y
k
y
=
+

Nếu
Γ
cho bởi dạng hàm ẩn F(x, y) = 0 thì

Γ=
a
, các phương trình sau
(
)
11
kks
= ,
(
)
22
kks
= gọi là phương
trình tự nhiên của đường cong
Γ

Trong trường hợp
Γ
cho bởi
(
)
(
)
(
)
(
)
sysxsrs ,=
a


1
()()
sksds
ϕ =
∫∫
∫
=
=
(s)dssy
dsssx
ϕ
ϕ
sin)(
)(cos)(

Và cung phải tìm là
(
)
)(),()(: sysxsrs =Γ
a
Trang 24
2.13.3 Các đường tròn mật tiếp của một cung chính quy phẳng, cung túc bế
của nó:
*Đường tròn mật tiếp:

o
ρ
. Đó là
đường tròn có bán kính
)(
1
0
sk
(gọi là bán kính cong của
Γ
tại s
0
) có tâm
)(
)(
1
)(
0
0
0
sN
sk
sq += ρ (tâm cong hay khúc tâm của
Γ
tại s
0
).
Nếu cung
Γ
cho bởi

tytxtytx
tytx
txtytY
tytxtytx
tytx
tytxtX

*Cung túc bế và cung thân khai của một cung trong E
2
:
Xét hai cung chính quy
Γ
và
γ
trong E
2
xác định như sau )(: tt
ρ
a
Γ
và
)(: trt
a
γ
với
Jt
∈
. Ta nói
Γ
là cung túc bế của

tytxtr ,= . Ta có phương trình
cung túc bế
)(
)(
1
)()( tN
tk
trt +=ρ)(')('')('')('
)(')('
)(')()(
)(')('')('')('
)(')('
)(')()(
22
22







−
+
+=
−
+

)('
)(')(')()(
22
22
22
22







+
+−+=
+
+−+=
∫
∫
tytx
ty
dttytxCtytY
tytx
tx
dttytxCtxtX
Trang 25
2.14 Bao hình của họ các cung phẳng phụ thuộc tham số

≤
α
trong đó
ϕ
là hàm khả vi liên tục theo
tất cả các biến, thỏa mãn điều kiện: 0
22
≠+
yx
ϕϕ . Khi đó bao hình
Γ
của họ
(
)
α
ΓS , nếu
tồn tại, được cho bởi hệ phương trình:

( )



=
=
0,,'
0),,(
αϕ
αϕ
α
yx